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4.3　课时1　组合与组合数公式
【学习目标】
1.理解并掌握组合与组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.(数学抽象)
2.会推导组合数公式,并会应用公式进行求值.(数学运算)
3.理解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法 这一问题与“从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另外1名同学参加下午的活动”有什么区别和联系
2.你能说说排列与组合之间的区别和联系吗
3.我们知道,“排列”与“排列数”是两个不同的概念,那么“组合”与“组合数”是同一个概念吗 为什么
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是. (　　)
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得个积. (　　)
(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合. (　　)
(4)=5×4×3=60. (　　)
2.(+)÷的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.101 C. D.
3.在报名的3名男教师和3名女教师中,选取3人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方法种数为　　　　　.(结果用数值表示)
4.求不等式-n<5的解集.
【合作探究】
探究1：组合的概念
情境设置
　　“校园歌手大赛”是某校的特色文化活动之一,它为同学们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台,同时也给同学们出了一道数学题.比较下列两个问题并发现它们之间的关系.
问题1:高二(1)班有3名同学想参加比赛,但是学校只给了每个班2个名额,且其中1名参加流行组,1名参加民歌组,共有几种不同的报名结果
问题2:高二(1)班有3名同学想参加比赛,但是学校只给了每个班2个名额,共有几种不同的报名结果
问题3:上述两个问题的区别是什么
新知生成
1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,不论次序地构成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.相同组合:当且仅当这两个组合的元素完全相同.
3.排列与组合的区别
排列需要考虑元素的顺序,组合不需要考虑元素的顺序.
新知运用
例1　判断下列问题是排列问题,还是组合问题.
(1)10个人相互写一封信,共写出了多少封信
(2)10个人相互通一次电话,共通了多少次电话
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次比赛需要进行多少场次
(4)从10个人中选出3人担任不同学科的科代表,有多少种选法
方法指导　区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序,而区分事件有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,若对结果产生影响,即说明有顺序,是排列问题;若对结果没有影响,即说明无顺序,是组合问题.
【方法总结】判断一个问题是否是组合问题的方法技巧:区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.
巩固训练
　　判断下列问题是排列问题,还是组合问题.
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数
(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同的选法
探究2：组合数公式
情境设置
　　问题1:组合的概念的要点是什么
问题2:两个组合是相同组合的充要条件是什么
问题3:前面已经提到,组合和排列有关系,我们能否利用这种关系,由排列数来求组合数呢
问题4:如何理解组合与组合数
新知生成
1.组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.
2.组合数公式
组合 数公 式 乘积式 ==
阶乘式 =
备注 ①n∈N+,m∈N且m≤n;②规定=1
新知运用
例2　计算:(1)3-2;(2)解关于n的不等式>.
方法指导　恰当选择组合数公式,一般地,公式=常用于n为具体数的数目,偏向于组合数的计算;公式=常用于n为字母的题目,偏向于解不等式或证明恒等式.注意使用组合数公式的隐含条件.
【方法总结】　(1)公式=(n∈N+,m∈N,m≤n)一般用于求值计算.
(2)公式=一般用于化简、证明或m,n较大的计算.
(3)在求解有关组合数的方程或不等式时,必须注意隐含条件,即中的n为正整数,m为自然数,且n≥m.因此求出方程或不等式的解后,要进行检验,将不符合的解舍去.
巩固训练
　　若-<,则n的取值集合为　　　　.
探究3：组合数的性质
情境设置
　　问题1:试用两种方法求:从a,b,c,d,e 5人中选出3人参加数学竞赛,2人参加英语竞赛,共有多少种选法 你有什么发现 你能得到一般结论吗
问题2:从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛,共有多少种选法 若队长必须参加,有多少种选法 若队长不能参加,有多少种选法 你有什么发现 你能推广到一般结论吗
问题3:在问题2中,若队长必须参加,有多少种选法 若队长不能参加有多少种选法 由问题2,3,你发现什么结论 你能推广到一般结论吗
新知生成
　　组合数的性质
(1)=;
(2)=+.
新知运用
例3　(1)求++…+的值;
(2)证明:++2=.
方法指导　利用组合数的性质做恰当变形后进行计算求值或证明.
【方法总结】　(1)性质“=”的意义及作用
(2)要注意=+的顺用、逆用及其变形应用.顺用是将一个组合数拆成两个,逆用则是“合二为一”,变形一般为=-,它为某些项相互抵消提供了方便,在解题中要注意灵活运用.
巩固训练
(1)化简:-+;
(2)已知-=,求n的值.
【随堂检测】
1.现有如下问题:
①将图案不同的4张扑克牌分给两人,每人2张,有几种方法
②将图案不同的4张扑克牌分给四人,每人1张,有几种分法
③空间中的10个点,任意3个点都不共线,能构成多少个以这些点为顶点的三角形
其中是组合问题的个数为(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
2.+=(　　).
A.25 B.30 C.35 D.40
3.计算:+=　　　　.
4.已知-=-,求的值.
24.3　课时1　组合与组合数公式
【学习目标】
1.理解并掌握组合与组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.(数学抽象)
2.会推导组合数公式,并会应用公式进行求值.(数学运算)
3.理解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法 这一问题与“从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另外1名同学参加下午的活动”有什么区别和联系
【答案】共有3种方法.由于“甲上午、乙下午”与“乙上午、甲下午”是两种不同的选法,因此解决后面的问题时,不仅要从3名同学中选出2名,而且还要将他们按照“上午在前,下午在后”的顺序排列,这是上一节研究的排列问题.本问题要研究的问题只是从3名同学中选出2名去参加一项活动,而不需要排列他们的顺序.
2.你能说说排列与组合之间的区别和联系吗
【答案】从排列与组合的定义可以知道,两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,这是排列、组合的共同点;它们的不同点是:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合.
3.我们知道,“排列”与“排列数”是两个不同的概念,那么“组合”与“组合数”是同一个概念吗 为什么
【答案】“组合”与“组合数”是两个不同的概念,“组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”,它不是一个数,而是指具体的一件事;“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个具体的数值.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是. (　　)
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得个积. (　　)
(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合. (　　)
(4)=5×4×3=60. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.(+)÷的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.101 C. D.
【答案】C
【解析】原式=(+)÷=÷==.
3.在报名的3名男教师和3名女教师中,选取3人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方法种数为　　　　　.(结果用数值表示)
【答案】18
【解析】选取方式有:选2名男教师1名女教师或选2名女教师1名男教师,
则不同的选取方法有2=18(种).
4.求不等式-n<5的解集.
【解析】由-n <5,得-n<5,即n2-3n-10<0,解得-2由题设条件知n≥2,且n∈N+,
所以n=2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.
【合作探究】
探究1：组合的概念
情境设置
　　“校园歌手大赛”是某校的特色文化活动之一,它为同学们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台,同时也给同学们出了一道数学题.比较下列两个问题并发现它们之间的关系.
问题1:高二(1)班有3名同学想参加比赛,但是学校只给了每个班2个名额,且其中1名参加流行组,1名参加民歌组,共有几种不同的报名结果
【答案】有=6(种).
问题2:高二(1)班有3名同学想参加比赛,但是学校只给了每个班2个名额,共有几种不同的报名结果
【答案】由列举法可知有3种.
问题3:上述两个问题的区别是什么
【答案】问题1是排列问题,有顺序,问题2是无顺序问题,是我们要学习的组合问题.
新知生成
1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,不论次序地构成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.相同组合:当且仅当这两个组合的元素完全相同.
3.排列与组合的区别
排列需要考虑元素的顺序,组合不需要考虑元素的顺序.
新知运用
例1　判断下列问题是排列问题,还是组合问题.
(1)10个人相互写一封信,共写出了多少封信
(2)10个人相互通一次电话,共通了多少次电话
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次比赛需要进行多少场次
(4)从10个人中选出3人担任不同学科的科代表,有多少种选法
方法指导　区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序,而区分事件有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,若对结果产生影响,即说明有顺序,是排列问题;若对结果没有影响,即说明无顺序,是组合问题.
【解析】(1)是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的.
(2)是组合问题,因为甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,没有顺序的区别.
(3)是组合问题,因为每两支球队比赛一次,没有顺序的区别.
(4)是排列问题,因为3个人担任哪一科的科代表是有顺序区别的.
【方法总结】判断一个问题是否是组合问题的方法技巧:区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.
巩固训练
　　判断下列问题是排列问题,还是组合问题.
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数
(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同的选法
【解析】(1)是组合问题,由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票),不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人,这和顺序无关.
(2)是排列问题,选出的2个数作分子或分母,结果是不同的.
(3)是组合问题,选出的4人无角色差异,不需要排列他们的顺序.
探究2：组合数公式
情境设置
　　问题1:组合的概念的要点是什么
【答案】(1)取出的对象是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个对象与顺序无关,无序性是组合的特征性质.
问题2:两个组合是相同组合的充要条件是什么
【答案】只要两个组合中的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的组合.
问题3:前面已经提到,组合和排列有关系,我们能否利用这种关系,由排列数来求组合数呢
【答案】能,下面从4个元素取出3个元素的排列与组合来分析:分析从4个元素取出3个元素的排列数为=24,组合数为=4,比较发现组合数===4.
问题4:如何理解组合与组合数
【答案】“组合”与“组合数”也是两个不同的概念,“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个具体的数值.例如,从3个不同元素a,b,c中每次取出两个元素的组合为ab,ac,bc,其中每一种都叫一个组合,这些组合共有3个,则组合数为3.
新知生成
1.组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.
2.组合数公式
组合 数公 式 乘积式 ==
阶乘式 =
备注 ①n∈N+,m∈N且m≤n;②规定=1
新知运用
例2　计算:(1)3-2;(2)解关于n的不等式>.
方法指导　恰当选择组合数公式,一般地,公式=常用于n为具体数的数目,偏向于组合数的计算;公式=常用于n为字母的题目,偏向于解不等式或证明恒等式.注意使用组合数公式的隐含条件.
【解析】(1)3-2=3×-2×=148.
(2)由>,得>,所以n2-9n-10<0,解得-1【方法总结】　(1)公式=(n∈N+,m∈N,m≤n)一般用于求值计算.
(2)公式=一般用于化简、证明或m,n较大的计算.
(3)在求解有关组合数的方程或不等式时,必须注意隐含条件,即中的n为正整数,m为自然数,且n≥m.因此求出方程或不等式的解后,要进行检验,将不符合的解舍去.
巩固训练
　　若-<,则n的取值集合为　　　　.
【答案】{5,6,7,8,9,10,11}
【解析】由-<,
可得n2-11n-12<0,解得-1又n∈N+,且n≥5,所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}.
探究3：组合数的性质
情境设置
　　问题1:试用两种方法求:从a,b,c,d,e 5人中选出3人参加数学竞赛,2人参加英语竞赛,共有多少种选法 你有什么发现 你能得到一般结论吗
【答案】(法一)从5人中选出3人参加数学竞赛,剩余2人参加英语竞赛,共==10(种)选法.
(法二)从5人中选出2人参加英语竞赛,剩余3人参加数学竞赛,共==10(种)选法.
发现:=.推广到一般结论:=.
问题2:从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛,共有多少种选法 若队长必须参加,有多少种选法 若队长不能参加,有多少种选法 你有什么发现 你能推广到一般结论吗
【答案】共有==210(种)选法.若队长必须参加,共=126(种)选法;若队长不能参加,共=84(种)选法.从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类,由分类加法计数原理可得+=.一般地,+=.
问题3:在问题2中,若队长必须参加,有多少种选法 若队长不能参加有多少种选法 由问题2,3,你发现什么结论 你能推广到一般结论吗
【答案】若队长必须参加,共有=126(种)选法.若队长不能参加,共有=84(种)选法.
由问题2,3发现,从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类,由分类加法计数原理可得=+.
能,一般地,=+.
新知生成
　　组合数的性质
(1)=;
(2)=+.
新知运用
例3　(1)求++…+的值;
(2)证明:++2=.
方法指导　利用组合数的性质做恰当变形后进行计算求值或证明.
【解析】(1)(法一)原式=+-+-+…+-==330.
(法二)原式=+++…+=++…+=++…+=…=+==330.
(2)利用公式=+推导得,
左边=(+)+(+)=+==右边.
【方法总结】　(1)性质“=”的意义及作用
(2)要注意=+的顺用、逆用及其变形应用.顺用是将一个组合数拆成两个,逆用则是“合二为一”,变形一般为=-,它为某些项相互抵消提供了方便,在解题中要注意灵活运用.
巩固训练
(1)化简:-+;
(2)已知-=,求n的值.
【解析】(1)原式=(+)-=-=0.
(2)由-=,可得=+,
则=,故8+7=n+1,解得n=14.
【随堂检测】
1.现有如下问题:
①将图案不同的4张扑克牌分给两人,每人2张,有几种方法
②将图案不同的4张扑克牌分给四人,每人1张,有几种分法
③空间中的10个点,任意3个点都不共线,能构成多少个以这些点为顶点的三角形
其中是组合问题的个数为(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】由组合的定义可知①③两个问题与顺序无关,是组合问题.
2.+=(　　).
A.25 B.30 C.35 D.40
【答案】B
【解析】+=+=10+20=30.故选B.
3.计算:+=　　　　.
【答案】466
【解析】因为所以所以n=10.
原式=+=+=+31=466.
4.已知-=-,求的值.
【解析】由已知得2=+,
所以2·=+,
整理得n2-21n+98=0,
解得n=7或n=14,
要求的值,故n≥12,所以n=14,于是=91.
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