资源简介

4.3　课时2　组合数的应用
【学习目标】
1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.(数学运算)
2.能解决有限制条件的组合问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.组合与排列的异同点是什么
2.组合数的性质有哪些
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)+=(m≥2且m∈N+). (　　)
(2)从4名男生3名女生中任选2人,至少有1名女生的选法共有种. (　　)
(3)把4本书分成3堆,每堆至少一本,共有种不同分法. (　　)
(4)由三个3和四个4可以组成30个不同的七位数. (　　)
2.从甲、乙、丙、丁 四个人中选取2人参加会议,不同的选取方法有(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6种 B.8种 C.12种 D.16种
3.某城市街道如图所示,某人要选择最短路程从A地前往B地,则不同的走法有　　　　种.
4.从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.
(1)共有多少种不同的选择方法
(2)如果至少有1位女生入选,共有多少种不同的选择方法
【合作探究】
探究1：简单的组合问题
情境设置
　　平面内有A,B,C,D这4个点.
问题1:以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
问题2:以其中2个点为端点的线段共有多少条
问题3:如何解决简单组合问题
新知生成
　　解答简单的组合问题的思考方法:
(1)弄清要做的这件事是什么事.
(2)选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题.
(3)结合两个计数原理,利用组合数公式求出结果.
特别提醒:要关注将要计的数是分类还是分步,在分类和分步时,一定要注意有无重复或遗漏.
新知运用
例1　在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.
【方法总结】求解简单组合问题的一般步骤
巩固训练
　　现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
(1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不同的选法
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法
探究2：有限制条件的组合问题
情境设置
　　问题1:从2,3,4,5,6,7中任取3个不同的数字,组成无重复数字的三位数,要求个位数最大,百位数最小,这样的三位数有多少个
问题2:某天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,请问不同的裁员方案有多少种
问题3:根据问题1,2,想一想如何解决有限制条件的问题
新知生成
　　有限制条件的组合应用题中“含”与“不含”问题的解题策略:
(1)这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置,一般来讲,特殊要先满足,其余则“一视同仁”.
(2)若正面入手不易,则从反面入手,寻找问题的突破口,即采用排除法.
(3)解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义,准确把握分类标准.
新知运用
例2　某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,在下列不同条件下,各有多少种选法
(1)至少有一名队长当选;
(2)至多有两名女生当选;
(3)既要有队长,又要有女生当选.
【方法总结】有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类:一是“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数.二是“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:①直接分类法,但要注意分类要不重不漏;②间接法,注意找准对立面,确保不重不漏.
巩固训练
　　在12件产品中,有10件正品,2件次品,从这12件产品中任意抽取3件.
(1)共有多少种不同的抽法
(2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种
探究3：分组、分配问题
情境设置
　　问题1:把a,b,c,d平均分成两组,有多少种分法
　　问题2:把a,b,c,d分成两组,一组3个元素,一组1个元素,有多少种分法
问题3:若把4个不同的苹果分给三个人,每人至少1个,共有几种方法
新知生成
1.一般地,平均分成n堆(组),必须除以n!,如若部分平均分成m堆(组),必须再除以m!,即平均分组问题,一般来说,km个不同的元素分成k组,每组m个,则不同的分法有种.故平均分组要除以分组数的全排列.
2.一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制,那么实际上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘不同对象数的全排列数.通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则:先分组后排列.
新知运用
例3　6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法
(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;
(2)分为三份,每份两本;
(3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;
(4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本;
(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本.
【方法总结】组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:(1)完全均匀分组,每组的元素个数均相等;(2)部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!;(3)完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
巩固训练
　　将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有　　　　种.
【随堂检测】
1.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,则不同的安排方案共有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
2.编号为1,2,3,4,5的5个人分别去坐编号为1,2,3,4,5的五个座位,其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有(　　).
A.10种 B.20种 C.30种 D.60种
3.为了配合创建全国文明城市的活动,某校现从4名男教师和5名女教师中选取3人,组成创文明志愿者小组.若小组中男女至少各有一人,则不同的选法共有(　　).
A.140种 B.84种 C.70种 D.35种
4.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有　　　　种.
24.3　课时2　组合数的应用
【学习目标】
1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.(数学运算)
2.能解决有限制条件的组合问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.组合与排列的异同点是什么
【答案】共同点:排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
2.组合数的性质有哪些
【答案】(1)=;(2)+=.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)+=(m≥2且m∈N+). (　　)
(2)从4名男生3名女生中任选2人,至少有1名女生的选法共有种. (　　)
(3)把4本书分成3堆,每堆至少一本,共有种不同分法. (　　)
(4)由三个3和四个4可以组成30个不同的七位数. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.从甲、乙、丙、丁 四个人中选取2人参加会议,不同的选取方法有(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6种 B.8种 C.12种 D.16种
【答案】A
【解析】按照组合的定义,从甲、乙、丙、丁四个人中选取2人参加会议,有==6(种)选法.
3.某城市街道如图所示,某人要选择最短路程从A地前往B地,则不同的走法有　　　　种.
【答案】10
【解析】因为从A地到B地的路程最短,我们可以在地面画出模型,实地实验探究一下走法可得出:①要走的路程最短必须走5步,且不能重复;②向东的走法定出后,向南的走法随之确定,所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可.故不同走法的种数为=10.
4.从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.
(1)共有多少种不同的选择方法
(2)如果至少有1位女生入选,共有多少种不同的选择方法
【解析】(1)从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动,选择方法数为=20.
(2)没有女生入选的选择方法数为=4,所以至少有1位女生入选的选择方法数为20-4=16.
【合作探究】
探究1：简单的组合问题
情境设置
　　平面内有A,B,C,D这4个点.
问题1:以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
【答案】每2个点为端点的有向线段有2条,故满足条件的有向线段条数为=4×3=12.
问题2:以其中2个点为端点的线段共有多少条
【答案】以每2个点为端点的线段只有1条,故满足条件的线段条数为==6.
问题3:如何解决简单组合问题
【答案】分析选出的元素是否与顺序有关,若与顺序无关,利用组合、组合数公式求解即可,若与顺序有关,可利用排列求解.
新知生成
　　解答简单的组合问题的思考方法:
(1)弄清要做的这件事是什么事.
(2)选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题.
(3)结合两个计数原理,利用组合数公式求出结果.
特别提醒:要关注将要计的数是分类还是分步,在分类和分步时,一定要注意有无重复或遗漏.
新知运用
例1　在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.
【解析】(1)共有=792(种)不同的选法.
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有=36(种)不同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有=126(种)不同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有种选法,再从另外的9人中选4人,有种选法.因此共有=378(种)不同的选法.
【方法总结】求解简单组合问题的一般步骤
巩固训练
　　现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
(1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不同的选法
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法
【解析】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即==45.
(2)可把问题分两类情况:第1类,选出2名男教师,有种方法;第2类,选出2名女教师,有种方法.根据分类加法计数原理知,共有+=15+6=21(种)不同的选法.
(3)从6名男教师中选2名的选法有种,从4名女教师中选2名的选法有种,根据分步乘法计数原理知,不同的选法共有=15×6=90(种).
探究2：有限制条件的组合问题
情境设置
　　问题1:从2,3,4,5,6,7中任取3个不同的数字,组成无重复数字的三位数,要求个位数最大,百位数最小,这样的三位数有多少个
【答案】先从6个数中任意取3个数,有=20(种)选法,再把三个数里最大的数排列在个位,有1种排法,把最小的数排在百位,有1种排法,剩下的数排在十位,有1种排法,共有20×1×1×1=20(种)方法.
问题2:某天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,请问不同的裁员方案有多少种
【答案】甲、乙中裁一人的方案有种,甲、乙都不裁的方案有种,故不同的裁员方案共有+=182(种).
问题3:根据问题1,2,想一想如何解决有限制条件的问题
【答案】解决有限制条件的组合问题,需将特殊元素优先安排,注意含有“至多”“至少”等限制语句,可以此作为分类依据,或采用间接法求解.
新知生成
　　有限制条件的组合应用题中“含”与“不含”问题的解题策略:
(1)这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置,一般来讲,特殊要先满足,其余则“一视同仁”.
(2)若正面入手不易,则从反面入手,寻找问题的突破口,即采用排除法.
(3)解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义,准确把握分类标准.
新知运用
例2　某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,在下列不同条件下,各有多少种选法
(1)至少有一名队长当选;
(2)至多有两名女生当选;
(3)既要有队长,又要有女生当选.
【解析】(1)至少有一名队长含有两种情况:有一名队长和有两名队长.故共有+=825(种).(或采用排除法,有-=825(种))
(2)至多有两名女生含有三种情况:有两名女生,只有一名女生,没有女生.故共有++=966(种).
(3)分两种情况:第一种,女队长当选,有种;第二种,女队长不当选,有+++种.故共有++++=790(种).
【方法总结】有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类:一是“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数.二是“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:①直接分类法,但要注意分类要不重不漏;②间接法,注意找准对立面,确保不重不漏.
巩固训练
　　在12件产品中,有10件正品,2件次品,从这12件产品中任意抽取3件.
(1)共有多少种不同的抽法
(2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种
【解析】(1)从这12件产品中任意抽出3件,共有=220(种)不同的抽法.
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法,是指2件正品,1件次品,有=90(种)不同的抽法.
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数,可以用12件产品中任意抽出3件的抽法种数减去抽出3件产品全是正品的抽法种数,因此,共有-=220-120=100(种)不同的抽法.
探究3：分组、分配问题
情境设置
　　问题1:把a,b,c,d平均分成两组,有多少种分法
【答案】把a,b,c,d平均分成两组,有=3(种)分法.
　　问题2:把a,b,c,d分成两组,一组3个元素,一组1个元素,有多少种分法
【答案】共有=4(种)分法.
问题3:若把4个不同的苹果分给三个人,每人至少1个,共有几种方法
【答案】先分组1,1,2,有种方法,再把这三组分给3个人,共有=36(种)分法.
新知生成
1.一般地,平均分成n堆(组),必须除以n!,如若部分平均分成m堆(组),必须再除以m!,即平均分组问题,一般来说,km个不同的元素分成k组,每组m个,则不同的分法有种.故平均分组要除以分组数的全排列.
2.一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制,那么实际上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘不同对象数的全排列数.通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则:先分组后排列.
新知运用
例3　6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法
(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;
(2)分为三份,每份两本;
(3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;
(4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本;
(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本.
【解析】(1)根据分步乘法计数原理,共有=90(种).
(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有种方法,这个过程可以分两步完成:第一步,分为三份,每份两本,设有x种方法;第二步,再将这三份分给甲、乙、丙三名同学,有种方法.根据分步乘法计数原理可得=x,所以x==15.因此分为三份,每份两本一共有15种方法.
(3)这是“不均匀分组”问题,一共有=60(种)方法.
(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有=360(种)方法.
(5)可以分为三类情况:①“2、2、2型”,即(1)中的分配情况,有=90(种)方法;②“1、2、3型”,即(4)中的分配情况,有=360(种)方法;③“1、1、4型”,有=90(种)方法,所以一共有90+360+90=540(种)方法.
【方法总结】组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:(1)完全均匀分组,每组的元素个数均相等;(2)部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!;(3)完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
巩固训练
　　将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有　　　　种.
【答案】36
【解析】分两步完成:第一步,将4名大学生按2,1,1分成三组,其分法有种;第二步,将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有种,
则满足条件的分配方案有·=36(种).
【随堂检测】
1.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,则不同的安排方案共有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
【答案】A
【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地,再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地,共有=12(种)安排方案.
2.编号为1,2,3,4,5的5个人分别去坐编号为1,2,3,4,5的五个座位,其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有(　　).
A.10种 B.20种 C.30种 D.60种
【答案】B
【解析】先选择两个编号与座位号一致的人,方法数有=10,另外三个人编号与座位号不一致,方法数有2,所以不同的坐法有10×2=20(种).
3.为了配合创建全国文明城市的活动,某校现从4名男教师和5名女教师中选取3人,组成创文明志愿者小组.若小组中男女至少各有一人,则不同的选法共有(　　).
A.140种 B.84种 C.70种 D.35种
【答案】C
【解析】从4名男教师和5名女教师中,选取3人,共有种情况.
若全为男生,共有种情况;若全为女生,共有种情况.
所以若小组中男女至少各有一人,则不同的选法共有--=70(种).故选C.
4.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有　　　　种.
【答案】10
【解析】根据2号盒子里放球的个数分类.第一类,2号盒子里放2个球,有种放法.第二类,2号盒子里放3个球,有种放法,因此不同的放球方法的种数为+=10.
2

展开更多......

收起↑