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4.4　课时1　二项式定理
【学习目标】
1.能用两种计数原理证明二项式定理.(逻辑推理)
2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.(数学抽象)
3.能解决与二项展开式有关的简单问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.你能写出(b+a)n的二项展开式吗 二项展开式中的字母a,b能交换位置吗
【答案】(1)(b+a)n=bn+bn-1a+bn-2a2+…+an.
(2)二项展开式中的字母a,b是不能交换位置的.虽然(a+b)n与(b+a)n的结果相同,但(a+b)n与(b+a)n的展开式是有区别的,即二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆,如(a+b)3的展开式中第2项是3a2b,而(b+a)3的展开式中第2项是3ab2,故两者是不同的.
2.(1+2x)n的二项展开式是什么 其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么
【答案】(1+2x)n=+2x+(2x)2+(2x)3+…+(2x)n.其第5项的二项式系数为,第5项的系数为·24=16.
3.在二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别
【答案】二项式系数与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,而项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)(a+b)n展开式中共有n项. (　　)
(2)二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第r+1项相同. (　　)
(3)arbn-r是(b+a)n展开式中的第r(r=0,1,2,…,n)项. (　　)
(4)在(1±x)n的展开式中各项的系数与其二项式系数均相等. (　　)
　　【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.若(x+2)n的展开式共有11项,则n=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.10 C.11 D.8
【答案】B
【解析】因为(a+b)n的展开式共有n+1项,而(x+2)n的展开式共有11项,所以n=10.
3.将(a1+b1+c1)(a2+b2+c2+d2)展开后有　　　个不同的项.
【答案】12
【解析】由题意知,共有=12(个)不同的项.
4.求x+6的展开式.
【解析】根据二项式定理可知x+6=x+x-16
=x6+x5x-1+x4x-2+x3x-3+x2x-4+x1x-5+x-6
=x6+6x4+15x2+20+15x-2+6x-4+x-6.
【合作探究】
探究1：二项式定理
情境设置
　　问题1:在初中,我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程
【答案】从上述过程可以看到,(a+b)2是2个(a+b)相乘,根据多项式乘法法则,每个(a+b)在相乘时有两种选择,选a或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定后,才能得到展开式的一项.于是,由分步乘法计数原理,在合并同类项之前,(a+b)2的展开式共有2×2=22项,而且每一项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式.
问题2:在合并同类项之前,(a+b)2的展开式为aa+ab+ba+bb,每项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式,你能从组合的观点解释合并同类项后a2-kbk的系数特点吗
【答案】当k=0时,a2-kbk=a2,是由2个(a+b)中都不选b得到的,相当于从2个(a+b)中取0个b(即都取a)的组合数,因此a2只有1个;
当k=1时,a2-kbk=ab,是由一个(a+b)中选a,另一个(a+b)中选b得到的,由于b选定后,a的选法也随之确定,因此,ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1个b的组合数,即ab共有2个;
当k=2时,a2-kbk=b2,是由2个(a+b)中都选b得到的,相当于从2个(a+b)中取2个b的组合数,因此b2只有1个.
由上述分析可以得到(a+b)2=a2+ab+b2.
问题3:仿照上述过程,你认为(a+b)3,(a+b)4,(a+b)n的展开式是什么
【答案】(a+b)3=a3+a2b+ab2+b3;
(a+b)4=a4+a3b+a2b2+ab3+b4;
(a+b)n=an+an-1b+…+abn-1+bn.
新知生成
　　二项式定理
公式(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N+)叫作二项式定理.等号右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,一共有(n+1)项,其中各项的系数(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二项式系数.
新知运用
例1　(1)求的展开式.
(2)化简:(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
方法指导　(1)解答本题先将看成a,-看成b,利用二项式定理展开,也可以先将化简后再展开.(2)可先把x+1看成一个整体,分析其结构形式,逆用二项式定理求解.
【解析】(1)(法一)=()4-()3·+()2-··+=x2-2x+-+.
(法二)==(2x-1)4=(16x4-32x3+24x2-8x+1)=x2-2x+-+.
(2)原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
【方法总结】二项式定理的双向应用:(1)正用:将二项式(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.(2)逆用:将展开式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.
巩固训练
1.1-2+4-8+16+…+(-2)n的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n
【答案】C
【解析】1-2+4-8+16+…+(-2)n=[1+(-2)]n=(1-2)n=(-1)n.
2.求x2+-23的展开式.
【解析】x2+-23=x-6=(x2-1)6
=[(x2)6-(x2)5+(x2)4-(x2)3+(x2)2-x2+]
=(x12-6x10+15x8-20x6+15x4-6x2+1)
=x6-6x4+15x2-20+-+.
探究2：二项展开式的通项
情境设置
　　问题1:在(a+b)n的二项展开式中,第k项是什么
【答案】Tk=T(k-1)+1=an-k+1bk-1 .
问题2:在(a+b)n的二项展开式中,Tk+1=an-kbk是二项展开式的第几项 其二项式系数是什么
【答案】Tk+1=an-kbk是第k+1项,其二项式系数为.
问题3:(1+3x)n的二项展开式是什么 其第6项的二项式系数和第6项的系数各是什么
【答案】(1+3x)n=+·3x+(3x)2+(3x)3+…+(3x)n.其第6项的二项式系数为,第6项的系数为·35=243.
新知生成
　　二项展开式的通项
(a+b)n展开式中的an-rbr叫作二项展开式的通项,记作Tr+1,它表示展开式的第r+1项,即Tr+1=an-rbr.
新知运用
例2　已知在-n的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求第4项的二项式系数及第4项的系数;
(4)求展开式中所有的有理项.
方法指导　(1)写出二项式的通项Tr+1,令r=5,x的指数为0,求出n的值;(2)由二项式的通项求含x2的项的系数;(3)由二项式的通项写出第4项的二项式系数及第4项的系数;(4)令通项中“变元”的幂指数为整数,建立方程,解方程得对应的有理项.
【解析】(1)通项为Tr+1=(-3)r
=(-3)r.
因为第6项为常数项,所以当r=5时,有=0,即n=10.
(2)令=2,得r=2,可得所求的项的系数为·(-3)2=405.
(3)因为-10的展开式的通项是Tr+1=(-3)r,
所以第4项的二项式系数为=120,第4项的系数为(-3)3=-120×27=-3240.
(4)根据通项公式,由题意得则r可取2,5,8.
则第3项,第6项与第9项为有理项,
它们分别为(-3)2x2,(-3)5,(-3)8x-2,
即405x2,-61236,295245x-2.
【方法总结】求二项展开式的特定项问题,一般需要建立方程求k的值,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项;(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0,建立方程.
巩固训练
　　求x2-9的展开式中:
(1)第6项的二项式系数;
(2)第3项的系数;
(3)常数项.
【解析】(1)由二项式定理及展开式的通项公式可得,第6项的二项式系数为=126.
(2)由题意可知,T3=(x2)7-2=9x12,故第3项的系数为9.
(3)因为Tk+1=(x2)9-k-k=-kx18-3k,令18-3k=0,解得k=6,所以T7=-6=,即常数项为.
探究3：有理项问题
情境设置
　　问题1:什么是展开式的有理项
【答案】展开式中的有理项,就是指系数为有理数,次数为整数的项,一般是指通项公式中字母的指数为整数的项.
问题2:什么是二项式中的整数项 与有理项相同吗
【答案】二项式中整数项是有理项的一部分,是有理项中分母不含字母的部分,与有理项不同.
新知生成
1.求二项式中的有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.
2.求二项展开式中的整数项,其通项公式中同一字母的指数应是自然数,求解方式与求有理项一致.
新知运用
例3　在+n的展开式中,前3项的系数成等差数列.
(1)求展开式中x的系数;
(2)求展开式中的有理项,其中的整数项有几个
方法指导　(1)由=+可得出关于n的一元二次方程,结合n的取值范围可求得n的值,然后写出展开式的通项,令x的指数为1,求出参数的值,代入通项即可得解;(2)设展开式中,第k+1项为有理项,可知4-k∈Z,求出k的可能取值,代入通项即可得解.
【解析】(1)因为前3项的系数成等差数列,且前3项的系数分别为,,,
所以=+,即n=1+,所以n2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去),则二项式+8展开式的通项公式为Tk+1=···=··.
令4-k=1,得k=4,所以展开式中x的系数为·=.
(2)设展开式中,第k+1项为有理项,则4-k∈Z,
则当k=0,4,8时对应的项为有理项,有理项分别为T1=x4,T5=x,T9=.
该展开式中的整数项为T1=x4,T5=x,共有2项.
【方法总结】求展开式的有理项,应写出它的通项公式,令未知量的指数为整数,便能求出符合题意的有理项.
巩固训练
　　在-n(n≥3,n∈N+)的展开式中,第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列.
(1)证明:展开式中没有常数项.
(2)求展开式中所有的有理项.
【解析】(1)由第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列,得2=+,
解得n=2(舍去)或n=7,
所以-7的展开式的通项公式为Tr+1=()7-r-r=-r,
令=0,得r= N+,故展开式中没有常数项.
(2)令∈Z,则r=2或r=6,
所以T3=-2=x2,T7=·-6x-1=,
故展开式中的有理项为T3=x2和T7=.
【随堂检测】
1.在(1-2x)6的展开式中,x3的系数为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.20 B.-20 C.160 D.-160
【答案】D
【解析】(1-2x)6的展开式的通项公式为Tr+1=·16-r·(-2)rxr=(-2)rxr,
令r=3可得T4=(-2)3x3=-160x3,所以x3的系数为-160.
2.化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1 的结果为(　　).
A.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4 D.x4-1
【答案】A
【解析】(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1
=(x+1)4+(x+1)3×(-1)+(x+1)2×(-1)2+(x+1)×(-1)3+(-1)4
=[(x+1)-1]4=x4.
3.1+(1+x)6的展开式中x2的系数为(　　).
A.15 B.20 C.30 D.35
【答案】C
【解析】因为(1+x)6的展开式的通项为Tk+1=xk,所以1+(1+x)6的展开式中含x2的项为1·x2和·x4,所以1+(1+x)6的展开式中x2的系数为+=2=2×=30.
4.x2+-2n的展开式中的常数项是70,则n=　　　　.
【答案】4
【解析】x2+-2n=x-2n的展开式的通项公式为Tr+1=·(-1)r·x2n-2r,
令2n-2r=0,求得n=r,故展开式的常数项为(-1)n·=70,求得n=4.
5.已知二项式3x+4.
(1)求展开式中x的系数;
(2)求展开式中所有含x的有理项.
【解析】(1)由题意知,展开式的第r+1项为Tr+1=(3x)4-r·r=34-r.
令4-r=1,得r=2,则展开式中x的系数为32×=54.
(2)由(1)可知,令4-r∈Z,则有r=0,2,4,
所以含x的有理项有第1项81x4,第3项54x,第5项x-2.
24.4　课时1　二项式定理
【学习目标】
1.能用两种计数原理证明二项式定理.(逻辑推理)
2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.(数学抽象)
3.能解决与二项展开式有关的简单问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.你能写出(b+a)n的二项展开式吗 二项展开式中的字母a,b能交换位置吗
2.(1+2x)n的二项展开式是什么 其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么
3.在二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)(a+b)n展开式中共有n项. (　　)
(2)二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第r+1项相同. (　　)
(3)arbn-r是(b+a)n展开式中的第r(r=0,1,2,…,n)项. (　　)
(4)在(1±x)n的展开式中各项的系数与其二项式系数均相等. (　　)
　
2.若(x+2)n的展开式共有11项,则n=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.10 C.11 D.8
3.将(a1+b1+c1)(a2+b2+c2+d2)展开后有　　　个不同的项.
4.求x+6的展开式.
【合作探究】
探究1：二项式定理
情境设置
　　问题1:在初中,我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程
问题2:在合并同类项之前,(a+b)2的展开式为aa+ab+ba+bb,每项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式,你能从组合的观点解释合并同类项后a2-kbk的系数特点吗
问题3:仿照上述过程,你认为(a+b)3,(a+b)4,(a+b)n的展开式是什么
新知生成
　　二项式定理
公式(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N+)叫作二项式定理.等号右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,一共有(n+1)项,其中各项的系数(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二项式系数.
新知运用
例1　(1)求的展开式.
(2)化简:(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
方法指导　(1)解答本题先将看成a,-看成b,利用二项式定理展开,也可以先将化简后再展开.(2)可先把x+1看成一个整体,分析其结构形式,逆用二项式定理求解.
【方法总结】二项式定理的双向应用:(1)正用:将二项式(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.(2)逆用:将展开式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.
巩固训练
1.1-2+4-8+16+…+(-2)n的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n
2.求x2+-23的展开式.
探究2：二项展开式的通项
情境设置
　　问题1:在(a+b)n的二项展开式中,第k项是什么
问题2:在(a+b)n的二项展开式中,Tk+1=an-kbk是二项展开式的第几项 其二项式系数是什么
问题3:(1+3x)n的二项展开式是什么 其第6项的二项式系数和第6项的系数各是什么
新知生成
　　二项展开式的通项
(a+b)n展开式中的an-rbr叫作二项展开式的通项,记作Tr+1,它表示展开式的第r+1项,即Tr+1=an-rbr.
新知运用
例2　已知在-n的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求第4项的二项式系数及第4项的系数;
(4)求展开式中所有的有理项.
方法指导　(1)写出二项式的通项Tr+1,令r=5,x的指数为0,求出n的值;(2)由二项式的通项求含x2的项的系数;(3)由二项式的通项写出第4项的二项式系数及第4项的系数;(4)令通项中“变元”的幂指数为整数,建立方程,解方程得对应的有理项.
【方法总结】求二项展开式的特定项问题,一般需要建立方程求k的值,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项;(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0,建立方程.
巩固训练
　　求x2-9的展开式中:
(1)第6项的二项式系数;
(2)第3项的系数;
(3)常数项.
探究3：有理项问题
情境设置
　　问题1:什么是展开式的有理项
问题2:什么是二项式中的整数项 与有理项相同吗
新知生成
1.求二项式中的有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.
2.求二项展开式中的整数项,其通项公式中同一字母的指数应是自然数,求解方式与求有理项一致.
新知运用
例3　在+n的展开式中,前3项的系数成等差数列.
(1)求展开式中x的系数;
(2)求展开式中的有理项,其中的整数项有几个
方法指导　(1)由=+可得出关于n的一元二次方程,结合n的取值范围可求得n的值,然后写出展开式的通项,令x的指数为1,求出参数的值,代入通项即可得解;(2)设展开式中,第k+1项为有理项,可知4-k∈Z,求出k的可能取值,代入通项即可得解.
【方法总结】求展开式的有理项,应写出它的通项公式,令未知量的指数为整数,便能求出符合题意的有理项.
巩固训练
　　在-n(n≥3,n∈N+)的展开式中,第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列.
(1)证明:展开式中没有常数项.
(2)求展开式中所有的有理项.
【随堂检测】
1.在(1-2x)6的展开式中,x3的系数为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.20 B.-20 C.160 D.-160
2.化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1 的结果为(　　).
A.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4 D.x4-1
3.1+(1+x)6的展开式中x2的系数为(　　).
A.15 B.20 C.30 D.35
4.x2+-2n的展开式中的常数项是70,则n=　　　　.
5.已知二项式3x+4.
(1)求展开式中x的系数;
(2)求展开式中所有含x的有理项.
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