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4.4　课时2　二项式系数的性质
【学习目标】
1.了解杨辉三角.(逻辑推理)
2.掌握二项式系数的性质.(逻辑推理、数学运算)
3.会用赋值法求项(二项式)的系数和.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.在(1+2x)2022的展开式中,二项式系数的最大项是第几项 最大值是多少 在(1+x)2022的展开式中,二项式系数的最大值是多少
2.若(a+b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n为何值
3.(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和与a,b的取值有关系吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的. (　　)
(2)二项展开式的二项式系数和为++…+. (　　)
(3)在(a-b)n的展开式中,当n为偶数时,二项展开式中中间一项的系数最大. (　　)
(4)在(a+b)n的展开式中,二项式系数具有对称性,所以=. (　　)
2.(1+2x)7 的展开式中二项式系数最大的项是(　　).
A.280x3 B.560x4
C.280x3和560x4 D.672x5和560x4
3.在(1+x)n(n∈N+)的二项展开式中,若只有x5的系数最大,则n=　　　　.
4.若x-6的展开式中常数项为-160,则展开式中各项系数之和为　　　　.
【合作探究】
探究1：杨辉三角
情境设置
　　下图是历史上的杨辉三角.
问题1:各行的数字有什么关系
问题2:第1,2,3,4,5,6行的数字之和各是多少 由此你能猜出第n行的数字之和吗
由此你能得出什么结论
问题4:试写出第n行、第n+1行的数字,并探讨与,之间有什么关系
问题5:杨辉三角有什么作用
新知生成
　　杨辉三角的特点
(1)在同一行中每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.
(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和,即=+.
新知运用
例1　杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示,在杨辉三角中,第15行第15个数是　　　　　.(用数字作答)
【方法总结】解决与杨辉三角有关问题的一般思路:(1)观察:对题目要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察.(2)找规律:通过观察找出每一行的数之间,行与行之间的数据的规律.
巩固训练
　　将杨辉三角中的奇数全部换成1,偶数全部换成0,得到如图所示的三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n次全行的数都为1的是第　　　　行;第61行中1的个数是　　　　.
探究2：二项式系数的性质
情境设置
　　问题1:根据杨辉三角的特点,在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等,你可以得到二项式系数的什么性质
问题2:计算,并说明你得到的结论.
.
问题3:二项式系数何时取得最大值
新知生成
1.对称性
二项式系数f(r) 关于直线r=对称,即f(r)=f(n-r) .在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即= .
2.最大值与单调性
二项式系数f(r) 从两端向中间逐渐增大,且当n是偶数时,展开式的项数n+1 是奇数,中间一项的二项式系数 取得最大值;当n是奇数时,展开式的项数n+1是偶数,中间两项的二项式系数, 相等,且同时取得最大值.
新知运用
例2　已知(+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992,求2x-2n的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
方法指导　(1)先根据二项式系数和列方程求n的值,再根据组合数性质确定二项式系数最大的项,最后根据二项展开式通项公式求结果;(2)先根据二项展开式通项公式得各项系数,根据条件列方程组,解得系数的绝对值最大的项的项数,再代入二项展开式通项公式得结果.
【方法总结】1.根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式(组),解不等式(组)的方法求解.一般地,如果第r+1项的系数最大,那么与之相邻两项(第r项,第r+2项)的系数均不大于第r+1项的系数,由此列不等式组可确定r的范围,再依据r∈N来确定r的值,即可求出最大项.
巩固训练
　　在-8的展开式中,
(1)求二项式系数最大的项.
(2)系数的绝对值最大的项是第几项
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
探究3：赋值法的应用
情境设置
　　问题1:如何求二项式系数和
问题2:什么是赋值法
新知生成
　　二项展开式中系数和的求法:
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
新知运用
例3　设(1-2x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2020的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a2019的值;
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2020|的值.
方法指导　先观察所求式子与展开式各项的特点,利用赋值法进行求解.
【方法总结】
巩固训练
　　(多选题)已知(1-2x)2021=a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021,则下列说法中正确的是(　　).
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22021
B.展开式中所有奇次项系数的和为
C.展开式中所有偶次项系数的和为
D.+++…+=-1
【随堂检测】
1.使得3x+n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.5
C.4 D.3
2.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为(　　).
A.-2 B.1
C.2 D.2×39
3.当n∈N时,将三项式(x2+x+1)n 展开,可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”:
(x2+x+1)0=1
(x2+x+1)1=x2+x+1
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
(x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1
…
若在(1+ax)(x2+x+1)5 的展开式中,x8 的系数为75,则实数a 的值为(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.已知+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展开式中二项式系数最大的项的系数.
24.4　课时2　二项式系数的性质
【学习目标】
1.了解杨辉三角.(逻辑推理)
2.掌握二项式系数的性质.(逻辑推理、数学运算)
3.会用赋值法求项(二项式)的系数和.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.在(1+2x)2022的展开式中,二项式系数的最大项是第几项 最大值是多少 在(1+x)2022的展开式中,二项式系数的最大值是多少
【答案】在(1+2x)2022和(1+x)2022的二项展开式中,都含有2023项,中间一项的二项式系数最大,即第1012项的二项式系数最大,最大值是.
2.若(a+b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n为何值
【答案】由二项式系数的性质可知,第5项为二项展开式的中间项,即二项展开式共有9项,故n=8.
3.(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和与a,b的取值有关系吗
【答案】(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和与a,b的值无关,其和为+++…+=2n.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的. (　　)
(2)二项展开式的二项式系数和为++…+. (　　)
(3)在(a-b)n的展开式中,当n为偶数时,二项展开式中中间一项的系数最大. (　　)
(4)在(a+b)n的展开式中,二项式系数具有对称性,所以=. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.(1+2x)7 的展开式中二项式系数最大的项是(　　).
A.280x3 B.560x4
C.280x3和560x4 D.672x5和560x4
【答案】C
【解析】(1+2x)7 展开式的通项公式为Tr+1=(2x)r=2rxr,
因为(1+2x)7 展开式共有8项,所以第4项和第5项的二项式系数最大,
所以(1+2x)7 展开式中二项式系数最大的项为23x3和24x4,即280x3和560x4.故选C.
3.在(1+x)n(n∈N+)的二项展开式中,若只有x5的系数最大,则n=　　　　.
【答案】10
【解析】由题意知,(1+x)n的展开式中,x5的系数就是第6项的二项式系数,因为只有它是二项式系数中最大的,所以n=10.
4.若x-6的展开式中常数项为-160,则展开式中各项系数之和为　　　　.
【答案】1
【解析】由Tr+1=x6-r-r=(-2a)rx6-2r,只有当r=3时展开式中才存在常数项,从而得(-2a)3=-160,求得a=1,令x=1,则各项系数之和为1.
【合作探究】
探究1：杨辉三角
情境设置
　　下图是历史上的杨辉三角.
问题1:各行的数字有什么关系
【答案】每一行中的系数具有对称性.
问题2:第1,2,3,4,5,6行的数字之和各是多少 由此你能猜出第n行的数字之和吗
【答案】第1,2,3,4,5,6行的数字之和分别是21,22,23,24,25,26,故第n行的数字之和应为2n.
问题3:第2行的数字2与第1行的各个数字之间有什么关系
第3行的数字3与第2行的数字之间有什么关系
第4行的数字4,6与第3行的数字之间有什么关系
第5行的数字5,10与第4行的数字之间有什么关系
第6行的数字6,15,20与第5行的数字之间有什么关系
由此你能得出什么结论
【答案】2=1+1,3=1+2,4=1+3,6=3+3,5=1+4,10=4+6,6=1+5,15=5+10,20=10+10.结论:相邻两行中,除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
问题4:试写出第n行、第n+1行的数字,并探讨与,之间有什么关系
【答案】第n行　1　　　…　　　…　　1
第n+1行　1　　　…　　　…　　1
关系:=+.
问题5:杨辉三角有什么作用
【答案】利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质,当二项式的次数不大时,可借助它直接写出各项的二项式系数.
新知生成
　　杨辉三角的特点
(1)在同一行中每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.
(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和,即=+.
新知运用
例1　杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示,在杨辉三角中,第15行第15个数是　　　　　.(用数字作答)
【答案】15
【解析】由杨辉三角知,
第0行:1,
第1行:,,
第2行:,,,
第3行:,,,,
第4行:,,,,,
由此可得第n行,第r(1≤r ≤n+1)个数为,
所以第15行第15个数是= =15.
【方法总结】解决与杨辉三角有关问题的一般思路:(1)观察:对题目要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察.(2)找规律:通过观察找出每一行的数之间,行与行之间的数据的规律.
巩固训练
　　将杨辉三角中的奇数全部换成1,偶数全部换成0,得到如图所示的三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n次全行的数都为1的是第　　　　行;第61行中1的个数是　　　　.
【答案】2n-1　32
【解析】观察可得第1行、第3行、第7行、第15行全行都为1,故第n次全行的数都为1的是第2n-1行.
当n=6,26-1=63,∴第63行共有64个1,递推知第62行共有32个1,故第61行共有32个1.
探究2：二项式系数的性质
情境设置
　　问题1:根据杨辉三角的特点,在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等,你可以得到二项式系数的什么性质
【答案】对称性,因为=,也可以从f(k)=的图象中得到.
问题2:计算,并说明你得到的结论.
【答案】=.
当k<时,>1,说明二项式系数逐渐增大;
同理,当k>时,二项式系数逐渐减小.
问题3:二项式系数何时取得最大值
【答案】当n是偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数,相等,且同时取得最大值.
新知生成
1.对称性
二项式系数f(r) 关于直线r=对称,即f(r)=f(n-r) .在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即= .
2.最大值与单调性
二项式系数f(r) 从两端向中间逐渐增大,且当n是偶数时,展开式的项数n+1 是奇数,中间一项的二项式系数 取得最大值;当n是奇数时,展开式的项数n+1是偶数,中间两项的二项式系数, 相等,且同时取得最大值.
新知运用
例2　已知(+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992,求2x-2n的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
方法指导　(1)先根据二项式系数和列方程求n的值,再根据组合数性质确定二项式系数最大的项,最后根据二项展开式通项公式求结果;(2)先根据二项展开式通项公式得各项系数,根据条件列方程组,解得系数的绝对值最大的项的项数,再代入二项展开式通项公式得结果.
【解析】由题意知,22n-2n=992,解得n=5.
(1)2x-10的展开式中第6项的二项式系数最大,
即T6=T5+1=·(2x)5·-5=-8064.
(2)设第r+1项的系数的绝对值最大,
∵Tr+1=·(2x)10-r·-r=(-1)r··210-r·x10-2r,
∴
∴即
∴≤r≤,∴r=3,
∴T4=(2x)7-3=-15360x4,
即系数的绝对值最大的项为-15360x4.
【方法总结】1.根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式(组),解不等式(组)的方法求解.一般地,如果第r+1项的系数最大,那么与之相邻两项(第r项,第r+2项)的系数均不大于第r+1项的系数,由此列不等式组可确定r的范围,再依据r∈N来确定r的值,即可求出最大项.
巩固训练
　　在-8的展开式中,
(1)求二项式系数最大的项.
(2)系数的绝对值最大的项是第几项
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
【解析】Tr+1=·()8-r·-r=(-1)r··2r·.
(1)二项式系数最大的项为中间项,即第5项,故T5=·24·=1120x-6.
(2)设第r+1项系数的绝对值最大,
则即整理得所以r=5或r=6.
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
(3)由(2)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,第6项的系数为负,第7项的系数为正.
故系数最大的项为T7=·26·x-11=1792x-11.
系数最小的项为T6=(-1)5·25=-1792.
探究3：赋值法的应用
情境设置
　　问题1:如何求二项式系数和
【答案】赋值法,在二项展开式中令a=b=1,整理可得+++…+=2n.
问题2:什么是赋值法
【答案】赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到解决问题的目的.
新知生成
　　二项展开式中系数和的求法:
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
新知运用
例3　设(1-2x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2020的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a2019的值;
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2020|的值.
方法指导　先观察所求式子与展开式各项的特点,利用赋值法进行求解.
【解析】(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2020=(-1)2020=1.
(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2019+a2020=32020,
结合(1)得2(a1+a3+…+a2019)=1-32020,∴a1+a3+a5+…+a2019=.
(3)∵Tr+1=(-2x)r=(-1)r··(2x)r,∴a2k-1<0(k∈N+),a2k>0(k∈N).
∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2020|=a0-a1+a2-a3+…-a2019+a2020=32020.
【方法总结】
巩固训练
　　(多选题)已知(1-2x)2021=a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021,则下列说法中正确的是(　　).
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22021
B.展开式中所有奇次项系数的和为
C.展开式中所有偶次项系数的和为
D.+++…+=-1
【答案】ACD
【解析】由二项式定理知,++…+=(1+1)2021=22021,故A正确.
当x=1时,有a0+a1+a2+…+a2021=-1,　①
当x=-1时,有a0-a1+a2-a3+…+a2020-a2021=32021,　②
由得a1+a3+a5+…+a2021=-,故B错误.
由得a0+a2+a4+…+a2020=,故C正确.
由二项式定理知,Tr+1=(-2x)r=(-2)rxr,
则a1=(-2)·,a2=(-2)2·,…,a2021=(-2)2021·,
所以+++…+= -+-+…+-=(1-1)2021-=-1,故D正确.
故选ACD.
【随堂检测】
1.使得3x+n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.5
C.4 D.3
【答案】D
【解析】3x+n的展开式的通项公式为Tr+1=(3x)n-r·r=3n-r··,
令n-=0,可得n=,当r=2时,n取得最小值,最小值为3.
2.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为(　　).
A.-2 B.1
C.2 D.2×39
【答案】A
【解析】令x=-1,得a0+a1+a2+…+a11=-2.
3.当n∈N时,将三项式(x2+x+1)n 展开,可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”:
(x2+x+1)0=1
(x2+x+1)1=x2+x+1
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
(x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1
…
若在(1+ax)(x2+x+1)5 的展开式中,x8 的系数为75,则实数a 的值为(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】C
【解析】由“广义杨辉三角形”可得(x2+x+1)5=x10+5x9+15x8+30x7+45x6+51x5+45x4+30x3+15x2+5x+1,
故在(1+ax)(x2+x+1)5 的展开式中,x8 的系数为15+30a=75,解得a=2.
4.已知+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展开式中二项式系数最大的项的系数.
【解析】由++=37,得1+n+n(n-1)=37,解得n=8或n=-9(舍去),则第5项的二项式系数最大,T5=××(2x)4=x4,故该项的系数为.
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