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第1章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
已知Sn求an
例1　已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn>0,求数列{bn}的前n项和.
方法指导　由数列{an}的前n项和Sn,先分两步求得数列{an}的通项公式,再根据an=log5bn求得数列{bn}的通项公式,并判断其类型再求和.
小结　注意由Sn求an时,分两步完成后要判断a1是否符合当n≥2时的式子,若符合,则可统一为一个式子,若不符合,则需要分段写出.
等差、等比数列的性质
例2　(1)设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N+都有Sn≤Sk成立,则k的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.22 B.21 C.20 D.19
(2)已知公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=(　　).
A.4 B.5 C.6 D.7
　　方法指导　利用等差、等比数列的性质进行运算.
小结　(1)等差数列中利用等差中项将已知等式化简求出基本量,注意由判断出使得Sn取最大值时的项数.(2)设{an}为等比数列,m,n,p,q∈N+,若m+n=p+q,则am·an=ap·aq,=qm-n.利用等比数列的性质解题时要充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.
裂项相消法求和
例3　(2022年新高考全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列.
(1)求{an}的通项公式.
(2)证明:++…+<2.
小结　本题考查数列的递推关系式、数列的通项公式的求法、数列的求和以及裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力.先利用前n项和求出an与an-1之间的关系,再利用递推关系求出an的表达式是本题的解题关键.
等差数列、等比数列的证明
例4　(2021年全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1.
方法指导　首先确定条件和结论,然后结合等差数列的通项公式和前n项和公式证明结论即可.
小结　本题主要考查等差数列的判定与证明、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式等知识,提升学生逻辑推理和数学运算的核心素养.证明数列是等差数列的主要方法:
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数.
(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N+)都成立.
(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数) {an}是等差数列.
(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数) {an}是等差数列.
问题的最终判定还是利用等差数列的定义.
错位相减法求和
例5　(2020年全国Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.
(1)求{an}的公比;
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
方法指导　(1)由已知条件结合等差中项的性质,建立关于公比q的方程,求解即可得出结论;
(2)由(1)结合条件得出{an}的通项公式,根据{nan}的通项公式特征运用错位相减法,即可求出结论.
小结　本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质以及错位相减法求和.如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可用错位相减法求解.本题考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
分组求和法
例6　(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
　　方法指导　(1)由数列{an}的通项公式可求得a2,a4,从而可求得b1,b2,由bn-bn-1=3可得数列{bn}是等差数列,从而可求得数列{bn}的通项公式;
(2)由数列{an}的通项公式可得数列{an}的奇数项和偶数项分别构成等差数列,再求解即可.
小结　本题主要考查数列的递推式,数列的求和,提升学生数学运算和逻辑推理的核心素养.
1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,则可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
数列的单调性
例7　已知数列{an}中,an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0).
(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围.
方法指导　(1)先代入a的值,构造函数判断其单调性,再求出最大项和最小项;(2)先构造函数判断an的单调性,再由条件列出不等式,求出实数a的取值范围.
小结　本题考查数列与函数思想的综合应用,通过构造函数来判断数列的单调性.本题考查了数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
数列的实际应用
例8　某市去年11月份发生流感,据统计,11月1日该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人,由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多 并求这一天的新患者人数.
方法指导　先设第n天新患者人数最多,由题意分析出前n天流感病毒感染人数构成一个等差数列,后(30-n)天也构成一个等差数列,再由等差数列前n项和公式计算.
小结　对于数列的实际应用问题,要先弄清把哪些量构成一个数列,并判断出数列的类型,写出数列的基本量,再判断所求是数列的某一项还是前n项和.本题考查了数学建模和数学运算的核心素养.
【拓展延伸】
数学文化与数列
数列中的数学文化题一般以数学名著以及古典建筑等中的等差数列和等比数列问题为背景,考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式.解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题.
一、等差数列中的数学文化
例1　(2020年全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　).
A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块
小结　以数学文化为背景的等差数列题型的求解关键:(1)会脱去数学文化背景,读懂题意;(2)构建数学模型,即由题意构建等差数列模型;(3)解模,即把文字语言转化为求等差数列的相关问题,如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等.
二、等比数列中的数学文化
例2　(多选题)在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是(　　).
A.此人第六天只走了5里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C.此人第二天走的路程比全程的还多0.5里
D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
小结　以数学文化为背景的等比数列题型的求解关键:(1)会透过数学文化的“表象”看“本质”;(2)构建数学模型,即盯准题眼,构建等比数列的模型;(3)解模,即把文字语言转化为求等比数列的相关问题,如求指定项、公比或项数、通项公式或前n项和等.
三、递推数列中的数学文化
例3　斐波那契数列,又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,….从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记此数列为{an},则++…+=(　　).
A.a2020a2021 B.a2020a2022
C.a2021a2022 D.a2022a2023
小结　以数学文化为背景的已知递推公式的数列题型的求解关键是耐心读题、仔细理解题意,将实际问题转化为数学模型进行解答,“盯紧”题设条件中的递推公式,利用此递推关系式往要求的量转化.
2第1章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
已知Sn求an
例1　已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn>0,求数列{bn}的前n项和.
方法指导　由数列{an}的前n项和Sn,先分两步求得数列{an}的通项公式,再根据an=log5bn求得数列{bn}的通项公式,并判断其类型再求和.
【解析】设数列{bn}的前n项和为Tn,
当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3-2n.
经检验,a1=1也符合上式,∴an=3-2n(n∈N+).
又∵an=log5bn,∴bn==53-2n(n∈N+).
∵==,b1=5,
∴数列{bn}是以5为首项,为公比的等比数列,
∴Tn==1-.
小结　注意由Sn求an时,分两步完成后要判断a1是否符合当n≥2时的式子,若符合,则可统一为一个式子,若不符合,则需要分段写出.
等差、等比数列的性质
例2　(1)设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N+都有Sn≤Sk成立,则k的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.22 B.21 C.20 D.19
(2)已知公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=(　　).
A.4 B.5 C.6 D.7
　　方法指导　利用等差、等比数列的性质进行运算.
【答案】(1)C　(2)B
【解析】(1)因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以a4=33,a5=31,所以数列{an}是以首项为39,公差为-2的等差数列.对任意n∈N+都有Sn≤Sk成立,则Sk为数列{Sn}的最大项,而在数列{an}中,a20=1>0,a21=-1<0,故S20为数列{Sn}的最大项.
(2)因为数列{an}是公比为的等比数列,a3a11=16,
所以=16.
又因为an>0,
所以a7=4,
所以a16=a7q9=32.
故log2a16=log232=log225=5.
小结　(1)等差数列中利用等差中项将已知等式化简求出基本量,注意由判断出使得Sn取最大值时的项数.(2)设{an}为等比数列,m,n,p,q∈N+,若m+n=p+q,则am·an=ap·aq,=qm-n.利用等比数列的性质解题时要充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.
裂项相消法求和
例3　(2022年新高考全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列.
(1)求{an}的通项公式.
(2)证明:++…+<2.
【解析】(1)∵a1=1,∴S1=a1=1,∴=1,
又是公差为的等差数列,
∴=1+(n-1)=,∴Sn=,
当n≥2时,Sn-1=,
∴an=Sn-Sn-1=-,
整理得(n-1)an=(n+1)an-1,
即=,
∴an=a1···…··
=1×××…··=,
显然对于n=1也成立,
∴{an}的通项公式为an=(n∈N+).
(2)∵==2-,
∴++…+=2×1-+-+…+-=21-<2.
小结　本题考查数列的递推关系式、数列的通项公式的求法、数列的求和以及裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力.先利用前n项和求出an与an-1之间的关系,再利用递推关系求出an的表达式是本题的解题关键.
等差数列、等比数列的证明
例4　(2021年全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1.
方法指导　首先确定条件和结论,然后结合等差数列的通项公式和前n项和公式证明结论即可.
【解析】若选择①③为条件,则②为结论.
证明如下:
设数列{an}的公差为d,
由题意可得a2=a1+d=3a1,∴d=2a1,
数列{an}的前n项和Sn=na1+d=na1+×2a1=n2a1,
故-=n-(n-1)=,
∴数列{}是等差数列.
若选择①②为条件,则③为结论.
证明如下:
设数列{an}的公差为d,
则=,==,==,
∵数列{}为等差数列,∴+=2,即[+]2=(2)2,整理得d=2a1,∴a2=a1+d=3a1.
若选择②③为条件,则①为结论.
证明如下:
∵S2=a1+a2=4a1,∴=2,
则数列{}的公差d=-=,
∴数列{}的通项公式为=+(n-1)d=n,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,
∵当n=1时上式也成立,∴数列{an}的通项公式为an=(2n-1)a1,
由an+1-an=[2(n+1)-1]a1-(2n-1)a1=2a1,可知数列{an}是等差数列.
小结　本题主要考查等差数列的判定与证明、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式等知识,提升学生逻辑推理和数学运算的核心素养.证明数列是等差数列的主要方法:
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数.
(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N+)都成立.
(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数) {an}是等差数列.
(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数) {an}是等差数列.
问题的最终判定还是利用等差数列的定义.
错位相减法求和
例5　(2020年全国Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.
(1)求{an}的公比;
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
方法指导　(1)由已知条件结合等差中项的性质,建立关于公比q的方程,求解即可得出结论;
(2)由(1)结合条件得出{an}的通项公式,根据{nan}的通项公式特征运用错位相减法,即可求出结论.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q(q≠1),∵a1为a2,a3的等差中项,
∴2a1=a2+a3,a1≠0,∴q2+q-2=0,
∵q≠1,∴q=-2.
(2)设数列{nan}的前n项和为Sn,∵a1=1,q=-2,∴an=(-2)n-1,
∴Sn=1×1+2×(-2)+3×(-2)2+…+n·(-2)n-1,　①
-2Sn=1×(-2)+2×(-2)2+3×(-2)3+…+(n-1)·(-2)n-1+n(-2)n,　②
由①-②得,3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n(-2)n
=-n(-2)n=,
∴Sn=.
小结　本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质以及错位相减法求和.如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可用错位相减法求解.本题考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
分组求和法
例6　(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
　　方法指导　(1)由数列{an}的通项公式可求得a2,a4,从而可求得b1,b2,由bn-bn-1=3可得数列{bn}是等差数列,从而可求得数列{bn}的通项公式;
(2)由数列{an}的通项公式可得数列{an}的奇数项和偶数项分别构成等差数列,再求解即可.
【解析】(1)因为a1=1,an+1=
所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=4,a4=a3+1=5,
所以b1=a2=2,b2=a4=5,
bn-bn-1=a2n-a2n-2=a2n-a2n-1+a2n-1-a2n-2=1+2=3,
所以数列{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列,
所以bn=2+3(n-1)=3n-1(n∈N+).
(2)由(1)可得a2n=3n-1,n∈N+,
则a2n-1=a2n-2+2=3(n-1)-1+2=3n-2,n≥2,
当n=1时,a1=1也符合上式,所以a2n-1=3n-2,n∈N+,
所以数列{an}的奇数项和偶数项分别为等差数列,
则{an}的前20项和为a1+a2+…+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)
=10+×3+10×2+×3=300.
小结　本题主要考查数列的递推式,数列的求和,提升学生数学运算和逻辑推理的核心素养.
1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,则可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
数列的单调性
例7　已知数列{an}中,an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0).
(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围.
方法指导　(1)先代入a的值,构造函数判断其单调性,再求出最大项和最小项;(2)先构造函数判断an的单调性,再由条件列出不等式,求出实数a的取值范围.
【解析】(1)∵an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0),且a=-7,∴an=1+(n∈N+).结合函数f(x)=1+的单调性可知,1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N+),
∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.
(2)已知an=1+=1+,
对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,
结合函数f(x)=1+的单调性可知,5<<6,
∴-10小结　本题考查数列与函数思想的综合应用,通过构造函数来判断数列的单调性.本题考查了数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
数列的实际应用
例8　某市去年11月份发生流感,据统计,11月1日该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人,由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多 并求这一天的新患者人数.
方法指导　先设第n天新患者人数最多,由题意分析出前n天流感病毒感染人数构成一个等差数列,后(30-n)天也构成一个等差数列,再由等差数列前n项和公式计算.
【解析】设第n天新患者人数最多,则从第(n-1)天起该市医疗部门采取措施,于是前n天流感病毒感染者总人数构成一个首项为20,公差为50的等差数列的前n项和,设为Sn,则Sn=20n+×50=25n2-5n(1≤n≤30,n∈N+).而后(30-n)天的流感病毒感染者的总人数构成一个首项为20+(n-1)×50-30=50n-60,公差为-30,项数为30-n的等差数列的和,设为Tn,则Tn=(30-n)(50n-60)+×(-30)=-65n2+2445n-14850,依题设构建方程Sn+Tn=8670,所以25n2-5n+(-65n2+2445n-14850)=8670,化简得n2-61n+588=0,所以n=12或n=49(舍去).第12天的新的患者人数为20+(12-1)×50=570.故11月12日,该市感染此病毒的新患者人数最多,新患者人数为570.
小结　对于数列的实际应用问题,要先弄清把哪些量构成一个数列,并判断出数列的类型,写出数列的基本量,再判断所求是数列的某一项还是前n项和.本题考查了数学建模和数学运算的核心素养.
【拓展延伸】
数学文化与数列
数列中的数学文化题一般以数学名著以及古典建筑等中的等差数列和等比数列问题为背景,考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式.解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题.
一、等差数列中的数学文化
例1　(2020年全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　).
A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块
【答案】C
【解析】由题意知,由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列,记为{an},易知其首项a1=9,公差d=9,所以an=a1+(n-1)d=9n.设数列{an}的前n项和为Sn,由等差数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差数列,所以2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,所以(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=S2n-2Sn=-2×=9n2=729,解得n=9.所以三层共有扇面形石板的块数为S3n===3402.故选C.
小结　以数学文化为背景的等差数列题型的求解关键:(1)会脱去数学文化背景,读懂题意;(2)构建数学模型,即由题意构建等差数列模型;(3)解模,即把文字语言转化为求等差数列的相关问题,如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等.
二、等比数列中的数学文化
例2　(多选题)在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是(　　).
A.此人第六天只走了5里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C.此人第二天走的路程比全程的还多0.5里
D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
【答案】BD
【解析】根据题意,此人每天行走的路程成等比数列,设此人第n天走an里路,则数列{an}是首项为a1,公比为q=的等比数列.
则S6===378,解得a1=192.
所以a6=a1q5=192×5=6,故A错误.
由a1=192,得S6-a1=378-192=186,且192-186=6,故B正确.
a2=a1q=192×=96,而S6=94.5,96-94.5=1.5,故C错误.
a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=192×1++=336,则后三天走的路程为378-336=42,而且336÷42=8,故D正确.故选BD.
小结　以数学文化为背景的等比数列题型的求解关键:(1)会透过数学文化的“表象”看“本质”;(2)构建数学模型,即盯准题眼,构建等比数列的模型;(3)解模,即把文字语言转化为求等比数列的相关问题,如求指定项、公比或项数、通项公式或前n项和等.
三、递推数列中的数学文化
例3　斐波那契数列,又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,….从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记此数列为{an},则++…+=(　　).
A.a2020a2021 B.a2020a2022
C.a2021a2022 D.a2022a2023
【答案】C
【解析】由已知条件可知an+2=an+1+an,则an+1=an+2-an,又a1=a2,
所以=a1a2,=a2(a3-a1)=a2a3-a1a2,=a3(a4-a2)=a3a4-a2a3,…,
=a2020(a2021-a2019)=a2020a2021-a2019a2020,
=a2021(a2022-a2020)=a2021a2022-a2020a2021,
上述各式相加得++…+
=a2a1+(a2a3-a1a2)+(a3a4-a2a3)+…+(a2020a2021-a2019a2020)+(a2021a2022-a2020a2021)
=a2021a2022.故选C.
小结　以数学文化为背景的已知递推公式的数列题型的求解关键是耐心读题、仔细理解题意,将实际问题转化为数学模型进行解答,“盯紧”题设条件中的递推公式,利用此递推关系式往要求的量转化.
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