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第2章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
直线的倾斜角与斜率
例1　已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是　　　　.
小结　求直线的倾斜角与斜率的注意点:(1)求直线的倾斜角,关键是依据平面几何知识判断直线向上方向与x轴正方向之间所成的角,同时应明确倾斜角的范围.(2)当直线的倾斜角α∈0,时,随着α的增大,直线的斜率k为非负值且逐渐变大;当直线的倾斜角α∈,π时,随着α的增大,直线的斜率k为负值且逐渐变大.
直线方程及其应用
例2　在平面直角坐标系中,已知菱形ABCD的顶点A(-1,2)和C(5,4),AB所在直线的方程为x-y+3=0.
(1)求对角线BD所在的直线方程;
(2)求AD所在直线的方程.
小结　求直线方程的两种方法:(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论.(2)待定系数法:设定含有参数的直线方程,由条件求出参数,最后代入直线方程.
两条直线的位置关系
例3　设常数m∈R,已知两条直线l1:mx+3y-1=0,l2:x+(m-2)y+1=0.
(1)若l1与l2垂直,求m的值.
(2)若l1与l2平行,求m的值.
小结　两条直线的位置关系的判断方法及注意点:(1)判断方法:两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种,主要考查两条直线的平行和垂直,通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.(2)注意点:解题时要注意分析斜率是否存在,用一般式方程来判断,可以避免讨论斜率不存在的情况.
距离问题
例4　点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C. D.2
小结　距离问题的解决方法:牢记各类距离的公式并能直接应用,解决距离问题时,往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合.本题考查了逻辑推理、数学运算的素养.
圆的方程
例5　(1)(2022年全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0 上,点(3,0) 和(0,1) 均在☉M 上,则☉M 的方程为　　　　　　　.
(2)(2022年全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2) 中的三点的一个圆的方程为　　　　　　.
小结　求圆的方程的方法:先设出圆的标准方程或一般方程,然后利用待定系数法解题.
直线与圆的位置关系
例6　(1)(多选题)(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　).
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2022年新高考全国Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16 都相切的一条直线的方程:　　　　　.
小结　直线与圆的位置关系是高考考查的重点,切线问题更是重中之重,判断点、直线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.本题渗透了逻辑推理、数学运算的素养.
弦长问题
例7　(多选题)(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　).
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
小结　直线与圆相交时求弦长的常用的方法是解弦心距d,圆的半径r及半弦长构成的直角三角形.本题渗透了直观想象、逻辑推理、数学运算的素养.
圆与圆的位置关系
例8　已知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0.
(1)证明圆C1与圆C2相切,并求过切点的两圆公切线的方程;
(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.
小结　判断两圆位置关系的两种比较方法
(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较,得到两圆位置关系.
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题,转化为方程组解的组数问题,从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系,但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系,而不能像几何法一样,能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系.
【拓展延伸】
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.
在近几年的高考中,以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现,备受命题者的青睐,下面我们通过一道例题来讲解如何运用阿波罗尼斯圆,进一步加强对与此圆有关试题的认识.
例1　如图,A,B为两定点,动点P满足|PA|=λ|PB|(λ>0),求证:当λ=1时,动点P的轨迹为直线;当λ≠1时,动点P的轨迹为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆.
例2　在△ABC中,若|AB|=2,|AC|=|BC|,则S△ABC的最大值为　　　　.
小结　阿波罗尼斯圆是一个重要的题根,备受许多命题者青睐.我们在学习过程中应该强化对这一知识点的整理.如果掌握这一知识背景,可以主动引导求解的方向,降低求解的难度.但在有些问题中,阿波罗尼斯圆并不那么明显,需要对图形分析后才能找到对应的动点具有阿波罗尼斯圆的特点.
2第2章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
直线的倾斜角与斜率
例1　已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是　　　　.
【答案】(-∞,-4]∪,+∞
【解析】
如图,若直线l与线段MN相交,则k≤kPM或k≥kPN,
因为kPM==-4,kPN==,所以k≤-4或k≥.
小结　求直线的倾斜角与斜率的注意点:(1)求直线的倾斜角,关键是依据平面几何知识判断直线向上方向与x轴正方向之间所成的角,同时应明确倾斜角的范围.(2)当直线的倾斜角α∈0,时,随着α的增大,直线的斜率k为非负值且逐渐变大;当直线的倾斜角α∈,π时,随着α的增大,直线的斜率k为负值且逐渐变大.
直线方程及其应用
例2　在平面直角坐标系中,已知菱形ABCD的顶点A(-1,2)和C(5,4),AB所在直线的方程为x-y+3=0.
(1)求对角线BD所在的直线方程;
(2)求AD所在直线的方程.
【解析】(1)
如图所示,菱形ABCD的顶点A(-1,2)和C(5,4),
所以AC的中点为M(2,3),
由题意知,直线AC的斜率kAC==,
又因为AC⊥BD,即kAC·kBD=-1,
所以直线BD的斜率kBD=-3,
所以直线BD的方程为y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0.
(2)将直线AB的方程和直线BD的方程联立,
得解得即B,.
又C(5,4),所以kAD=kBC=-.
又A(-1,2),所以直线AD的方程为y-2=-(x+1),即x+7y-13=0.
小结　求直线方程的两种方法:(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论.(2)待定系数法:设定含有参数的直线方程,由条件求出参数,最后代入直线方程.
两条直线的位置关系
例3　设常数m∈R,已知两条直线l1:mx+3y-1=0,l2:x+(m-2)y+1=0.
(1)若l1与l2垂直,求m的值.
(2)若l1与l2平行,求m的值.
【解析】(1)根据题意,若l1与l2垂直,则m+3(m-2)=0,解得m=.
(2)根据题意,若l1与l2平行,则m(m-2)=1×3=3,
解得m=-1或m=3,
当m=-1时,直线l1:-x+3y-1=0,l2:x-3y+1=0,两条直线重合,不符合题意;
当m=3时,直线l1:3x+3y-1=0,l2:x+y+1=0,两条直线平行,符合题意.
故m=3.
小结　两条直线的位置关系的判断方法及注意点:(1)判断方法:两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种,主要考查两条直线的平行和垂直,通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.(2)注意点:解题时要注意分析斜率是否存在,用一般式方程来判断,可以避免讨论斜率不存在的情况.
距离问题
例4　点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C. D.2
【答案】B
【解析】由y=k(x+1)可知直线过定点P(-1,0),
当直线y=k(x+1)与AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)的距离最大,最大值为|AP|=.故选B.
小结　距离问题的解决方法:牢记各类距离的公式并能直接应用,解决距离问题时,往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合.本题考查了逻辑推理、数学运算的素养.
圆的方程
例5　(1)(2022年全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0 上,点(3,0) 和(0,1) 均在☉M 上,则☉M 的方程为　　　　　　　.
(2)(2022年全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2) 中的三点的一个圆的方程为　　　　　　.
【答案】(1)(x-1)2+(y+1)2=5
(2)(x-2)2+(y-3)2=13 或(x-2)2+(y-1)2=5 或x-2+y-2=或x-2+(y-1)2=(写出一个即可)
【解析】(1)∵点M在直线2x+y-1=0上,
∴设点M为(a,1-2a),又点(3,0)和(0,1)均在☉M上,
∴点M到两点的距离相等且为半径R,
∴==R,
a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,
∴M(1,-1),R=,
故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(2)依题意,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),则
解得
故圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13;
若圆过点(0,0),(4,0),(4,2),则解得
故圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;
若圆过点(0,0),(4,2),(-1,1),则解得
故圆的方程为x2+y2-x-y=0,即x-2+y-2=;
若圆过点(-1,1),(4,0),(4,2),则解得
故圆的方程为x2+y2-x-2y-=0,即x-2+(y-1)2=.
小结　求圆的方程的方法:先设出圆的标准方程或一般方程,然后利用待定系数法解题.
直线与圆的位置关系
例6　(1)(多选题)(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　).
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2022年新高考全国Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16 都相切的一条直线的方程:　　　　　.
【答案】(1)ABD　(2)3x+4y-5=0或x=-1或7x-24y-25=0(写出一个即可)
【解析】(1)圆心C(0,0)到直线l的距离d=,
若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,故∴d==|r|,则直线l与圆C相切,故A正确;
若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2|r|,则直线l与圆C相离,故B正确;
若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,∴d=<|r|,则直线l与圆C相交,故C错误;
若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,∴d==|r|,则直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.
(2)由两圆方程可得,两圆圆心距d==5,两圆半径分别为r1=1,r2=4,∵r1+r2=5=d,∴两圆外切,∴两圆有三条公切线,如图所示.
∵kOC=,∴=-,设直线l1:y=-x+b,即3x+4y-4b=0,由=1,得b=(负值已舍去),
∴直线l1的方程为3x+4y-5=0.
由图可知,l2:x=-1,且l2与l3关于直线y=x对称,
联立解得
即直线l2与l3的一个交点为-1,-,
在l2上取一点(-1,0),设该点关于直线y=x的对称点为(x0,y0),则解得
∴==,
∴直线l3的方程为y=(x+1)-,即7x-24y-25=0.
故与两圆都相切的直线方程可以是3x+4y-5=0或x=-1或7x-24y-25=0.
小结　直线与圆的位置关系是高考考查的重点,切线问题更是重中之重,判断点、直线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.本题渗透了逻辑推理、数学运算的素养.
弦长问题
例7　(多选题)(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　).
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
【答案】ACD
【解析】圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),半径为4,直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=0,圆心M到直线AB的距离为==>4,
所以点P到直线AB的距离的最小值为-4<2,最大值为+4<10,故A正确,B错误;
如图所示,当∠PBA最大或最小时,PB与圆M相切,连接MP,BM,可知PM⊥PB,
|BM|==,|MP|=4,由勾股定理可得|BP|==3,故C,D正确.故选ACD.
小结　直线与圆相交时求弦长的常用的方法是解弦心距d,圆的半径r及半弦长构成的直角三角形.本题渗透了直观想象、逻辑推理、数学运算的素养.
圆与圆的位置关系
例8　已知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0.
(1)证明圆C1与圆C2相切,并求过切点的两圆公切线的方程;
(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.
【解析】(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式,得(x+2)2+(y-2)2=13,(x-4)2+(y+2)2=13,
圆心与半径长分别为C1(-2,2),r1=,
C2(4,-2),r2=.
因为|C1C2|==2=r1+r2,
所以圆C1与圆C2相切.
由得12x-8y-12=0,
即3x-2y-3=0,就是过切点的两圆公切线的方程.
(2)由圆系方程,可设所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+λ(3x-2y-3)=0,
将点(2,3)代入方程,解得λ=,
所以所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+(3x-2y-3)=0,即x2+y2+8x-y-9=0.
小结　判断两圆位置关系的两种比较方法
(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较,得到两圆位置关系.
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题,转化为方程组解的组数问题,从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系,但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系,而不能像几何法一样,能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系.
【拓展延伸】
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.
在近几年的高考中,以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现,备受命题者的青睐,下面我们通过一道例题来讲解如何运用阿波罗尼斯圆,进一步加强对与此圆有关试题的认识.
例1　如图,A,B为两定点,动点P满足|PA|=λ|PB|(λ>0),求证:当λ=1时,动点P的轨迹为直线;当λ≠1时,动点P的轨迹为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆.
【解析】设P(x,y),|AB|=2m(m>0),以AB的中点为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则A(-m,0),B(m,0).
由|PA|=λ|PB|得=λ,
两边平方并化简整理得(λ2-1)x2-2m(λ2+1)x+(λ2-1)y2=m2(1-λ2),
当λ=1时,x=0,点P的轨迹为线段AB的垂直平分线;
当λ≠1时,x-m2+y2=,点P的轨迹为以点m,0为圆心,以为半径的圆.
例2　在△ABC中,若|AB|=2,|AC|=|BC|,则S△ABC的最大值为　　　　.
【答案】2
【解析】(法一:利用余弦定理和函数的最值问题处理)
设|AC|=|BC|=x,所以cos C=,则sin C==,
所以S=|AC||BC|sin C==,
故当x2=12时,S△ABC取得最大值,最大值为2.
(法二:建立平面直角坐标系处理最值问题)
以AB的中点O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,如图,则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),由|AC|=|BC|得=·,
整理得y2=-x2+6x-1=-(x-3)2+8≤8,
所以|y|≤2,
则S△ABC=×2|y|≤2,
所以S△ABC的最大值是2.
(法三:利用阿波罗尼斯圆求解)
显然这是一例阿波罗尼斯圆,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),
因为=,所以点C的轨迹是一个阿波罗尼斯圆,计算得点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=8(y≠0),
设圆心为M,显然当CM⊥x轴时,△ABC的面积最大,此时|CM|=2,
所以(S△ABC)max=×2×2=2.
(法四:利用阿波罗尼斯圆及内外角平分线求解)
既然△ABC存在,说明点C的轨迹不包括其与x轴的两个交点P,Q,现在问:P,Q这两点究竟有什么性质 因为点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=8,所以点P(3-2,0),点Q(3+2,0),所以|PA|=4-2,|PB|=2-2,所以==,所以CP为△ABC的内角平分线.
　　因为==,所以CQ为△ABC的外角平分线.
这就是说,P,Q分别是线段AB的内分点和外分点,而PQ正是阿波罗尼斯圆的直径,于是阿波罗尼斯圆在我国又被称为“内外圆”.因此该题又有如下的简洁解法:
因为动点C 到定点A(-1,0),B(1,0)距离之比为,所以 |x+1|=|x-1|,解得x1=3+2或x2=3-2,
则x1=3-2为内分点,x2=3+2为外分点,
圆半径r=(x2-x1)=2,即三角形高的最大值,
故△ABC的面积的最大值是×2×2=2.
小结　阿波罗尼斯圆是一个重要的题根,备受许多命题者青睐.我们在学习过程中应该强化对这一知识点的整理.如果掌握这一知识背景,可以主动引导求解的方向,降低求解的难度.但在有些问题中,阿波罗尼斯圆并不那么明显,需要对图形分析后才能找到对应的动点具有阿波罗尼斯圆的特点.
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