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第3章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
圆锥曲线的定义及应用
例1　(1)(2022年全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　).
A.2　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.3
　　(2)(2021年全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　).
A. B. C. D.
【答案】(1)B　(2)A
【解析】(1)由题意得F(1,0),则|AF|=|BF|=2,
即点A到准线x=-1的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1.
不妨设点A在x轴上方,代入得A(1,2),
所以|AB|==2.故选 B.
(2)因为|PF1|=3|PF2|,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,所以|PF2|=a,|PF1|=3a.
因为∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2×3a·a·cos 60°,整理可得4c2=7a2,所以e2==,即e=.故选A.
小结　涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.运用定义解题时应注意圆锥曲线定义中的限制条件.本题渗透了数学运算、逻辑推理的素养.
圆锥曲线的方程
例2　(2021年北京卷)双曲线C:-=1的离心率为2,过点(,),则该双曲线的标准方程为(　　).
A.-y2=1 B.x2-=1
C.x2-=1 D.-y2=1
【答案】B
【解析】∵e==2,∴c=2a,b==a,则双曲线C的方程为-=1,
将点(,)的坐标代入双曲线C的方程可得-==1,解得a=1,故b=,
因此,双曲线C的方程为x2-=1.故选B.
小结　一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.本题考查了数学运算的素养.
圆锥曲线的几何性质
例3　(1)(多选题)(2022年新高考全国Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(　　).
A.C的准线方程为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
(2)(2022年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0), C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　　.
【答案】(1)BCD　(2)13
【解析】(1)∵点A(1,1)在抛物线C:x2=2py上,∴1=2p,得p=,∴抛物线C的方程为x2=y,∴准线方程为y=-,故A不正确.
直线AB的方程为y=2x-1,联立得x2-2x+1=0,∵Δ=22-4=0,∴直线AB与抛物线C相切,故B正确.
设直线PQ的方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立得x2-kx+1=0,∴Δ=k2-4>0,得|k|>2,∴x1+x2=k,x1x2=1.
∵|OP|·|OQ|=·======|k|>2.又∵|OA|2=1+1=2,∴|OP|·|OQ|>|OA|2,故C正确.
|BA|2=1+(1+1)2=5,|BP|·|BQ|=·=·=·====|(x1+x2)2-2x1x2+3|=k2+1>5,∴|BP|·|BQ|>|BA|2,故D正确.
(2)根据离心率得a=2c,b=c,所以△AF1F2是等边三角形,点A与点F2关于直线DE对称,所以△ADE的周长等于△F2DE的周长,根据椭圆的定义知,该周长为4a=8c.
不妨设F1是左焦点,则直线DE的方程是y=(x+c),设点D(xD,yD),E(xE,yE),将直线DE的方程代入椭圆的方程+=1,消去y,化简并整理得13x2+8cx-32c2=0,所以xD+xE=-,xDxE=-c2,
所以|DE|===·=·=c=6,解得c=.所以△ADE的周长为8c=13.
小结　应用圆锥曲线的性质时,要注意与数形结合、方程思想等结合运用.本题考查了数学运算、直观想象以及逻辑推理的素养.
直线与圆锥曲线的位置关系
例4　(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),右焦点为F(,0),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
【解析】(1)由题意得,c=,e==,所以a=,b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由(1)得,曲线方程为x2+y2=1(x>0),
当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,不合题意.
当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),
必要性:
若M,N,F三点共线,可设直线MN:y=k(x-),即kx-y-k=0,
由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得=1,解得k=±1,
联立可得4x2-6x+3=0,所以x1+x2=,x1x2=,
所以|MN|=·=,所以必要性成立.
充分性:
设直线MN:y=kx+b(kb<0),即kx-y+b=0,
由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得=1,所以b2=k2+1,
联立可得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0,
所以x1+x2=-,x1x2=,
所以|MN|=·=·=·=,化简得(k2-1)2=0,所以k=±1,
所以或
故直线MN:y=x-或y=-x+,
可知直线MN过点F(,0),所以M,N,F三点共线,充分性成立.
因此M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
小结　直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数的方法,还要多结合圆锥曲线的定义,根与系数的关系以及“点差法”等.本题渗透了数学运算、逻辑推理、直观想象的素养.
与圆锥曲线有关的最值和范围问题
例5　(2022年全国甲卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.
(1)求C的方程.
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程.
【解析】(1)由题意可知,当x=p时,y2=2p2,得yM=p,可知|MD|=p,|FD|=.
则在Rt△MFD中,|FD|2+|MD|2=|MF|2,得2+(p)2=9,解得p=2.
则抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),
由(1)可知F(1,0),D(2,0),则tan α=kMN===,
又N,D,B三点共线,则kND=kBD,即=,
∴=,
得y2y4=-8,即y4=-;同理由M,D,A三点共线,得y3=-,
则tan β==.
由题意可知,直线MN的斜率不为0,不妨设直线MN的方程为 x=my+1,
由消去x得y2-4my-4=0,
∴y1+y2=4m,y1y2=-4,则tan α==,tan β==,
则tan(α-β)===,当m>0时,tan(α-β)=≤=;当m<0时,tan(α-β)无最大值.
∴当且仅当2m=,即m=时,tan(α-β)取最大值.
此时直线AB的方程为y-y3=(x-x3),即4x-(y3+y4)y+y3y4=0,
又y3+y4=--==8m=4,y3y4=·=-16,
∴直线AB的方程为4x-4y-16=0,即x-y-4=0.
小结　圆锥曲线中的最值问题通常有两类:一类是有关长度、面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题.这两类问题的解决往往需要回归定义,结合所学平面几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及数形结合,设参,转化,代换等途径来解决.本题考查学生的数学运算、逻辑推理的素养.
圆锥曲线中的定点、定值问题
例6　(2020年全国Ⅰ卷)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程.
(2)证明:直线CD过定点.
【解析】(1)依据题意作出如下图象:
由椭圆方程E:+y2=1(a>1)可得A(-a,0),B(a,0),G(0,1),∴=(a,1),=(a,-1),
∴·=a2-1=8,得a2=9,
∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)设P(6,y0),则直线AP的方程为y=(x+3),即y=(x+3),
联立直线AP的方程与椭圆E方程可得整理得(+9)x2+6x+9-81=0,解得x=-3或x=,
将x=代入直线方程y=(x+3),可得y=,
∴点C的坐标为,.
同理可得,点D的坐标为,.
当≠3时,直线CD的方程为y-=x-,
整理可得y+=x-=x-,
整理得y=x+=x-,
∴直线CD过定点,0.
当=3时,直线CD:x=,直线CD过点,0.
故直线CD过定点,0.
小结　对于圆锥曲线中的定点、定值问题,有以下两种求法:(1)从特殊情况入手,先求含变量的定点(定值),再证明这个点(值)与变量的关系.(2)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值).
【拓展延伸】
圆锥曲线的光学性质及应用
　　圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆,通过平面直角坐标系,它们又与一元二次方程对应,所以圆锥曲线又叫作二次曲线.圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一,在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线.
一、圆锥曲线的光学性质
1.椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上,如图所示.
椭圆的这种光学性质,常被用来设计一些照明设备或聚热装置,例如点F1处放置一个热源,那么红外线也能聚焦于点F2处,对F2处的物体加热.电影放映机的反光镜也是这个原理.
2.双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上,如图.
双曲线的这种反向虚聚焦性质,在天文望远镜的设计等方面,也能找到实际应用.
3.抛物线的光学性质
从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后,反射光线都平行于抛物线的对称轴,如图所示.
抛物线的这种聚焦性质,成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线,把光源置于它的焦点处,经镜面反射后能成为平行光束,使照射距离加大,并可通过转动抛物线的对称轴方向,控制照射方向.卫星通信像碗一样接收或发射天线,一般也是以抛物线对称轴旋转得到的,把接收器置于其焦点,抛物线的对称轴跟踪对准卫星,这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线最大限度地集中到接收器上,保证接收效果;反之,把发射装置安装在焦点,让对称轴跟踪卫星,则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置,同样保证接收效果.最常见的太阳能热水器,它也是以抛物线镜面聚集太阳光,以加热焦点处的储水器的.
二、圆锥曲线光学的应用
例1　如图所示,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线C的方程为+=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C相切于点P,且|PF1|=,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M,则|F1M|∶|F2M|=　　　　　　.
【答案】3∶5
【解析】由椭圆的光学性质得到直线l'平分∠F1PF2,所以=,
由|PF1|=,|PF1|+|PF2|=4,得|PF2|=,故|F1M|∶|F2M|=3∶5.
例2　双曲线的光学性质为:如图①,从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分,如图②,其方程为-=1(a>0,b>0),F1,F2分别为其左、右焦点,若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后,满足∠BAD=90°,tan∠ABC=-,则该双曲线的离心率为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】易知F1,A,D三点共线,F1,B,C三点共线,如图,
设|AF1|=m,|AF2|=n,则m-n=2a,
由tan∠ABC=-,得tan∠ABF1=,
又∠F1AB=180°-∠F2AD=90°,
所以tan∠ABF1==,则|AB|=m,
所以|BF2|=|AB|-|AF2|=m-n,
所以|BF1|=2a+|BF2|=2a+m-n=4a+m,
由|AF1|2+|AB|2=|BF1|2,得m2+m2=4a+m2,整理得m2-am-6a2=0,
因为m>0,所以m=3a,则n=3a-2a=a,
在Rt△AF1F2中,m2+n2=(2c)2,即9a2+a2=4c2,所以e==.故选C.
例3　抛物线具有以下光学性质:从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中的应用非常广泛.如图,从抛物线y2=4x的焦点F发出的两条光线a,b分别经抛物线上位于第一象限的A,B两点反射,已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°,则两条反射光线a'和b'之间的距离为(　　).
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由y2=4x,得F(1,0),∠OFA=60°,所以lAF:y-0=-(x-1),即y=-x+,联立方程消去x得y+2=,解得y1=,y2=-2(舍去),即yA=.
同理lBF:y-0=(x-1),即y=x-,联立方程消去x得y-2=,解得y3=2,y4=-(舍去),即yB=2.
所以|yA-yB|=2-=,即两条反射光线a'和b'之间的距离为.故选C.
三、总结
我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行,太阳系其他行星也如此,太阳则位于椭圆的一个焦点上.如果这些行星运行速度增大到某一程度,它们就会沿抛物线或双曲线运行.人类发射人造地球卫星或人造行星就是遵照了这个原理.
由抛物线绕其轴旋转,可得到一个叫作旋转抛物面的曲面.它也有一条轴,即抛物线的轴.在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点,任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后,都成为平行于对称轴的直线.这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理.
由双曲线的一支绕其虚轴旋转,可以得到双曲面,它又是一种直纹曲面,由两组母直线族组成,各组内母直线互不相交,而与另一组母直线却相交.人们在设计高大的立塔时,就采用单叶双曲面的体形,既轻巧又坚固.(比如教材当中的冷却塔)
由此可见,对于圆锥曲线的价值,无论如何也不会估计过高.圆锥曲线的光学性质是奇妙的,奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系.我们只有善于观察,勤于钻研,及时总结,才能闪现更多的灵感,才能在奥妙的数学世界畅游.
2第3章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
圆锥曲线的定义及应用
例1　(1)(2022年全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　).
A.2　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.3
　　(2)(2021年全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　).
A. B. C. D.
小结　涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.运用定义解题时应注意圆锥曲线定义中的限制条件.本题渗透了数学运算、逻辑推理的素养.
圆锥曲线的方程
例2　(2021年北京卷)双曲线C:-=1的离心率为2,过点(,),则该双曲线的标准方程为(　　).
A.-y2=1 B.x2-=1
C.x2-=1 D.-y2=1
小结　一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.本题考查了数学运算的素养.
圆锥曲线的几何性质
例3　(1)(多选题)(2022年新高考全国Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(　　).
A.C的准线方程为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
(2)(2022年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0), C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　　.
小结　应用圆锥曲线的性质时,要注意与数形结合、方程思想等结合运用.本题考查了数学运算、直观想象以及逻辑推理的素养.
直线与圆锥曲线的位置关系
例4　(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),右焦点为F(,0),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
小结　直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数的方法,还要多结合圆锥曲线的定义,根与系数的关系以及“点差法”等.本题渗透了数学运算、逻辑推理、直观想象的素养.
与圆锥曲线有关的最值和范围问题
例5　(2022年全国甲卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.
(1)求C的方程.
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程.
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小结　圆锥曲线中的最值问题通常有两类:一类是有关长度、面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题.这两类问题的解决往往需要回归定义,结合所学平面几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及数形结合,设参,转化,代换等途径来解决.本题考查学生的数学运算、逻辑推理的素养.
圆锥曲线中的定点、定值问题
例6　(2020年全国Ⅰ卷)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程.
(2)证明:直线CD过定点.
小结　对于圆锥曲线中的定点、定值问题,有以下两种求法:(1)从特殊情况入手,先求含变量的定点(定值),再证明这个点(值)与变量的关系.(2)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值).
【拓展延伸】
圆锥曲线的光学性质及应用
　　圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆,通过平面直角坐标系,它们又与一元二次方程对应,所以圆锥曲线又叫作二次曲线.圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一,在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线.
一、圆锥曲线的光学性质
1.椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上,如图所示.
椭圆的这种光学性质,常被用来设计一些照明设备或聚热装置,例如点F1处放置一个热源,那么红外线也能聚焦于点F2处,对F2处的物体加热.电影放映机的反光镜也是这个原理.
2.双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上,如图.
双曲线的这种反向虚聚焦性质,在天文望远镜的设计等方面,也能找到实际应用.
3.抛物线的光学性质
从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后,反射光线都平行于抛物线的对称轴,如图所示.
抛物线的这种聚焦性质,成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线,把光源置于它的焦点处,经镜面反射后能成为平行光束,使照射距离加大,并可通过转动抛物线的对称轴方向,控制照射方向.卫星通信像碗一样接收或发射天线,一般也是以抛物线对称轴旋转得到的,把接收器置于其焦点,抛物线的对称轴跟踪对准卫星,这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线最大限度地集中到接收器上,保证接收效果;反之,把发射装置安装在焦点,让对称轴跟踪卫星,则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置,同样保证接收效果.最常见的太阳能热水器,它也是以抛物线镜面聚集太阳光,以加热焦点处的储水器的.
二、圆锥曲线光学的应用
例1　如图所示,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线C的方程为+=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C相切于点P,且|PF1|=,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M,则|F1M|∶|F2M|=　　　　　　.
例2　双曲线的光学性质为:如图①,从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分,如图②,其方程为-=1(a>0,b>0),F1,F2分别为其左、右焦点,若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后,满足∠BAD=90°,tan∠ABC=-,则该双曲线的离心率为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
例3　抛物线具有以下光学性质:从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中的应用非常广泛.如图,从抛物线y2=4x的焦点F发出的两条光线a,b分别经抛物线上位于第一象限的A,B两点反射,已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°,则两条反射光线a'和b'之间的距离为(　　).
A. B.
C. D.
三、总结
我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行,太阳系其他行星也如此,太阳则位于椭圆的一个焦点上.如果这些行星运行速度增大到某一程度,它们就会沿抛物线或双曲线运行.人类发射人造地球卫星或人造行星就是遵照了这个原理.
由抛物线绕其轴旋转,可得到一个叫作旋转抛物面的曲面.它也有一条轴,即抛物线的轴.在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点,任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后,都成为平行于对称轴的直线.这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理.
由双曲线的一支绕其虚轴旋转,可以得到双曲面,它又是一种直纹曲面,由两组母直线族组成,各组内母直线互不相交,而与另一组母直线却相交.人们在设计高大的立塔时,就采用单叶双曲面的体形,既轻巧又坚固.(比如教材当中的冷却塔)
由此可见,对于圆锥曲线的价值,无论如何也不会估计过高.圆锥曲线的光学性质是奇妙的,奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系.我们只有善于观察,勤于钻研,及时总结,才能闪现更多的灵感,才能在奥妙的数学世界畅游.
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