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第4章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
两个计数原理的应用
例1 在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型如图所示,图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成),△ABE,△BCF,△CDG,△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色,且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色,已知有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数是( ).
A.48 B.54 C.72 D.108
方法指导 设这五个区分别为①,②,③,④,⑤区,由分步乘法计数原理分步为每一个区进行涂色,当给④区涂色时,分为④区与②区同色和④区与②区不同色这两个情况,讨论即可得出答案.
小结 (1)应用分类加法计数原理,要明确分类的标准,做到不重不漏,每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”;(2)应用分步乘法计数原理,应准确理解“分步”的含义,完成这件事,需要分成若干步骤,只有每个步骤都完成了,这件事情才能完成.求解过程渗透了数学运算、直观想象的核心素养.
排列组合应用题
例2 (1)(2022年新高考全国Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有( ).
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
(2)(2020年新高考全国Ⅱ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( ).
A.120种 B.90种
C.60种 D.30种
小结 将具体问题抽象为排列问题或组合问题,是解排列、组合应用题的关键一步.(1)正确分类或分步,恰当选择两个计数原理.(2)有限制条件的排列组合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”.而排列组合讨论的问题的共同点是“元素不相同”,不同点是排列与顺序有关,组合与顺序无关.本题渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
二项式定理的应用
例3 在二项式+2n的展开式中.
(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于67,求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若n为满足8方法指导 (1)根据条件求出n的值,然后判断第几项的二项式系数最大,并求之;(2)常数项说明x的指数为0,根据这一特点,利用项数n与第几项r的关系求解出n的值.
小结 二项式定理的问题类型及解答策略:(1)确定二项展开式中的指定项或指定项系数:先写出其通项公式,建立方程,确定项数,然后代入通项公式求解.(2)求二项展开式中各项系数的和与差:赋值代入.(3)确定二项展开式中的系数最大或最小项:利用二项式系数的性质,渗透了数学运算的核心素养.
二项式定理中的“赋值”问题
例4 已知(1+ax)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.若a3=-80,则a1+a2+a3+a4+a5=( ).
A.1 B.0 C.-1 D.-2
小结 赋值法的应用规律与二项式系数有关,包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和,主要方法是赋值法,通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系,确定给字母所赋的值,有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项,此时要专门求出这一项,而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时,往往要赋值两次,再由方程组求出结果.
【拓展延伸】
数学文化与计数原理
数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分,是数学史、数学与文化学、社会学的交叉学科.其内涵是一种理性思维方法在实践过程中不断探索形成的数学史、数学精神及其应用. 纵观近几年高考,计数原理部分以数学文化为背景的问题层出不穷,让人耳目一新.同时考生们也受困于背景陌生,使阅读受阻,思路无法打开.下面通过对典型例题的剖析,让同学们增加对数学文化的认识,进而加深对数学文化的理解,提升数学核心素养.
一、以古代文化经典为素材
例1 如图,洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数,则选取的3个数之和为奇数的方法数为( ).
A.30 B.40 C.42 D.44
小结 本题渗透了古代数学文化,在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中一朵绚烂的奇葩.数学不仅是中国古代实用科学的基石,而且含有神秘的文化色彩,有着深厚的文化积淀,它渗透在数学的各个章节,有待我们去挖掘.
二、以数学家为素材
例2 杨辉三角如图所示,数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中,就已经出现了这个表,它揭示了(a+b)n(n∈N)展开式的项数及各项系数的有关规律.图中第7行从左到右第4个数是 ;第n行的所有数的和为 .
小结 “杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中,此书还说明表内除“1”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它,这表明我国发现这个表不晚于11世纪.
三、以古建筑为背景
例3 永定土楼位于中国东南沿海的福建省龙岩市,是世界上独一无二的神奇的山区居民建筑,是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月,永定土楼成功列入世界遗产名录.它历史悠久、风格独特、规模宏大、结构精巧.土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼进行调查研究.要求调查顺序中,圆形要排在第一个,五角形、八角形不能相邻,则不同的排法共有 种.
小结 本题以永定土楼为背景,让学生在学习数学的同时欣赏我国古建筑,弘扬优秀传统文化.
2第4章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
两个计数原理的应用
例1 在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型如图所示,图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成),△ABE,△BCF,△CDG,△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色,且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色,已知有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数是( ).
A.48 B.54 C.72 D.108
方法指导 设这五个区分别为①,②,③,④,⑤区,由分步乘法计数原理分步为每一个区进行涂色,当给④区涂色时,分为④区与②区同色和④区与②区不同色这两个情况,讨论即可得出答案.
【答案】C
【解析】
如图,设“赵爽弦图”ABCD为①区,△ABE,△BCF,△CDG,△DAH这4个三角形分别为②,③,④,⑤区.
第一步,给①区涂色,有4种涂色方法.
第二步,给②区涂色,有3种涂色方法.
第三步,给③区涂色,有2种涂色方法.
第四步,给④区涂色,若④区与②区同色,则⑤区有2种涂色方法.
若④区与②区不同色,则④区有1种涂色方法,⑤区有1种涂色方法.
由分类、分步计数原理可得共有4×3×2×(2+1×1)=72(种)涂色方法,故选C.
小结 (1)应用分类加法计数原理,要明确分类的标准,做到不重不漏,每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”;(2)应用分步乘法计数原理,应准确理解“分步”的含义,完成这件事,需要分成若干步骤,只有每个步骤都完成了,这件事情才能完成.求解过程渗透了数学运算、直观想象的核心素养.
排列组合应用题
例2 (1)(2022年新高考全国Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有( ).
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
(2)(2020年新高考全国Ⅱ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( ).
A.120种 B.90种
C.60种 D.30种
【答案】(1)B (2)C
【解析】(1)因为丙和丁要在一起,先把丙和丁捆绑,看成一个元素,连同乙、戊看成三个元素排列,有3!种排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式;注意到丙和丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有3!×2×2=24(种)不同的排列方式,故选B.
(2)首先从6名同学中选1名去甲场馆,方法数有,
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆,方法数有,
最后剩下的3名同学去丙场馆,故不同的安排方法共有·=6×10=60(种).故选C.
小结 将具体问题抽象为排列问题或组合问题,是解排列、组合应用题的关键一步.(1)正确分类或分步,恰当选择两个计数原理.(2)有限制条件的排列组合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”.而排列组合讨论的问题的共同点是“元素不相同”,不同点是排列与顺序有关,组合与顺序无关.本题渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
二项式定理的应用
例3 在二项式+2n的展开式中.
(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于67,求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若n为满足8方法指导 (1)根据条件求出n的值,然后判断第几项的二项式系数最大,并求之;(2)常数项说明x的指数为0,根据这一特点,利用项数n与第几项r的关系求解出n的值.
【解析】(1)由已知得++=++=+n+1=67,
整理得n2+n-132=0,即(n+12)(n-11)=0,显然n=11(负值舍去),
则展开式中二项式系数最大的项为第6项和第7项,
T6=6x-625=231,T7=5x-5·26x3=924x-2.
(2)设第r+1项为常数项,r为整数,
Tr+1=n-rx-(n-r)2r=22r-n,则有=0,即n=r,
所以8当r=6时,n=9;当r=7时,n=(不符合题意,舍去),所以n=9,
常数项为T7=23=672.
小结 二项式定理的问题类型及解答策略:(1)确定二项展开式中的指定项或指定项系数:先写出其通项公式,建立方程,确定项数,然后代入通项公式求解.(2)求二项展开式中各项系数的和与差:赋值代入.(3)确定二项展开式中的系数最大或最小项:利用二项式系数的性质,渗透了数学运算的核心素养.
二项式定理中的“赋值”问题
例4 已知(1+ax)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.若a3=-80,则a1+a2+a3+a4+a5=( ).
A.1 B.0 C.-1 D.-2
【答案】D
【解析】由题意得(1+ax)5展开式的通项公式为Tk+1=15-k(ax)k=(ax)k,
令k=3,则T4=a3x3,所以a3=a3=-80,解得a=-2,
令x=0,可得a0=1,令x=1,可得a0+a1+…+a5=(1-2×1)5=-1,
所以a1+a2+a3+a4+a5=-2,故选D.
小结 赋值法的应用规律与二项式系数有关,包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和,主要方法是赋值法,通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系,确定给字母所赋的值,有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项,此时要专门求出这一项,而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时,往往要赋值两次,再由方程组求出结果.
【拓展延伸】
数学文化与计数原理
数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分,是数学史、数学与文化学、社会学的交叉学科.其内涵是一种理性思维方法在实践过程中不断探索形成的数学史、数学精神及其应用. 纵观近几年高考,计数原理部分以数学文化为背景的问题层出不穷,让人耳目一新.同时考生们也受困于背景陌生,使阅读受阻,思路无法打开.下面通过对典型例题的剖析,让同学们增加对数学文化的认识,进而加深对数学文化的理解,提升数学核心素养.
一、以古代文化经典为素材
例1 如图,洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数,则选取的3个数之和为奇数的方法数为( ).
A.30 B.40 C.42 D.44
【答案】B
【解析】根据题意,4个阴数即2,4,6,8;5个阳数即1,3,5,7,9,
从中任选3个,使选出的三个数的和为奇数,共有两种可能:
①选出的3个数都是奇数,有=10(种)选法;
②选出的3个数有2个偶数,1个奇数,共有=30(种)选法.
综上所述,一共有30+10=40(种)选法.故选B.
小结 本题渗透了古代数学文化,在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中一朵绚烂的奇葩.数学不仅是中国古代实用科学的基石,而且含有神秘的文化色彩,有着深厚的文化积淀,它渗透在数学的各个章节,有待我们去挖掘.
二、以数学家为素材
例2 杨辉三角如图所示,数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中,就已经出现了这个表,它揭示了(a+b)n(n∈N)展开式的项数及各项系数的有关规律.图中第7行从左到右第4个数是 ;第n行的所有数的和为 .
【答案】35 2n
【解析】根据题意,在图中,第0行有1个数,为1;
第1行有2个数,依次为,;
第2行有3个数,依次为,,;
…
则第7行有8个数,依次为,,…,,故第7行从左到右第4个数是=35,
第n行有n+1个数,依次为,,,…,,其和为+++…+=2n.
小结 “杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中,此书还说明表内除“1”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它,这表明我国发现这个表不晚于11世纪.
三、以古建筑为背景
例3 永定土楼位于中国东南沿海的福建省龙岩市,是世界上独一无二的神奇的山区居民建筑,是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月,永定土楼成功列入世界遗产名录.它历史悠久、风格独特、规模宏大、结构精巧.土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼进行调查研究.要求调查顺序中,圆形要排在第一个,五角形、八角形不能相邻,则不同的排法共有 种.
【答案】480
【解析】因为圆形排在第一个,五角形、八角形不能相邻,所以采用插空法.
其他四个图形全排列有=24(种)排法,
然后把五角形、八角形进行插空,有=20(种)不同的排法,
则满足条件的排法共有=480(种).
小结 本题以永定土楼为背景,让学生在学习数学的同时欣赏我国古建筑,弘扬优秀传统文化.
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