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5.1.1　数列的概念
【学习目标】
1.了解数列的概念和数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),会根据数列的前几项写出数列的通项公式.(数学抽象、逻辑推理)
2.理解数列的通项公式,并能够根据通项公式求数列中的某些项.(数学运算)
3.用函数思想理解数列,掌握数列的单调性,要求能够对数列进行合理分类,以提高学生分析问题和解决问题的能力.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
1.数列的定义是什么
【答案】　一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
2.数列的项与项数有什么不同
【答案】　数列的项与项数是两个不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,它是一个函数值,即f(n);而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是函数值f(n)对应的自变量的值,即n.
3.同一个数在数列中能重复出现吗
【答案】　能,数列中的数可以重复出现.
4.数列1,2,3,4,5与集合{1,2,3,4,5}有什么区别
【答案】　一方面,形式上不一致;另一方面,集合中的元素具有无序性.
5.什么叫数列的通项公式
【答案】　如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的通项公式.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列1,1,1,…是无穷数列. (　　)
(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列. (　　)
(3)有些数列没有通项公式. (　　)
(4)如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.已知数列{an}的通项公式为an=,那么a5=(　　).
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　∵an=,∴a5==,故选B.
3.数列0,1,2,3,4,…的一个通项公式可以为(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
【答案】　A
【解析】　结合选项可知,an=n-1,故选A.
4.下列说法正确的是　　　　.(填序号)
①1,1,1,1是有穷数列;
②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列;
③数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.
【答案】　①②
【解析】　因为1,1,1,1只有4项,所以①正确;②正确;数列1,2,3,4,…,2n,共有2n项,是有穷数列,所以③错误.
【合作探究】
探究1　数列的概念
　　2022年在北京举办了冬奥会,第17届冬季奥运会是在1994年举办的,冬奥会每四年举办一届.
问题1:北京冬奥会是第多少届
【答案】　由题意可知举办冬奥会的年份分别是1994,1998,2002,2006,2010,2014,2018,2022,因为1994年是第17届,所以2022年北京冬奥会是第24届.
问题2:预计第27届冬奥会是哪一年
【答案】　是2034年.
问题3:我们能否引入一个概念,体现从第17届冬奥会到第24届冬奥会,届别与举办年份之间的关系
【答案】　记第i届冬奥会举办年份为ai,那么a17=1994,a18=1998,a19=2002,a20=2006,a21=2010,a22=2014,a23=2018,a24=2022.
问题4:结合教材中的例子,这些数的共同特点是什么
【答案】　(1)都是一系列数;(2)这些数有一定的次序.
新知生成
1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数的项.各项依次称为这个数列的第1项(通常也叫作首项),第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.
2.数列的项数:组成数列的数的个数称为数列的项数.
注意:(1)数列中的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列.
(2)数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不相同,因此,同一个数在数列中是允许重复出现的.
3.数列的分类
类别 含义
按项的 个数 有穷数列 项数　有限　的数列
无穷数列 项数　无限　的数列
按项的 变化 趋势 递增数列 从第2项起,每一项都　大于　它的前一项的数列
递减数列 从第2项起,每一项都　小于　它的前一项的数列
常数列 各项　相等　的数列
　　注意:摆动数列是从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
新知运用
例1　下列数列哪些是有穷数列 哪些是无穷数列 哪些是递增数列 哪些是递减数列 哪些是常数列
(1)1,0.84,0.842,0.843,…;
(2)2,4,6,8,10,…;
(3)7,7,7,7,…;
(4),,,,…;
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1.
【解析】　(5)是有穷数列;(1)(2)(3)(4)是无穷数列;(2)是递增数列;(1)(4)(5)是递减数列;(3)是常数列.
【方法总结】　　(1)判断数列是何种数列一定要严格按照定义进行判断.
(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项,不能有例外.
　　下列数列哪些是有穷数列 哪些是无穷数列 哪些是递增数列 哪些是递减数列 哪些是常数列
(1)2017,2018,2019,2020,2021,2022,2023;
(2)0,,,…,,…;
(3)1,,,…,,…;
(4)-,,-,,…;
(5)1,0,-1,…,sin,…;
(6)9,9,9,9,9,9.
【解析】　(1)(6)是有穷数列;(2)(3)(4)(5)是无穷数列;(1)(2)是递增数列;(3)是递减数列;(6)是常数列.
探究2　数列的通项
　　数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
问题1:数列{an}中的各项ak与各项序号k(k=1,2,3,…,n,…)之间的对应关系是什么
【答案】　　序号 1 2 3 … n …
↓ ↓ ↓ ↓
　　　　　　项　 a1 a2 a3 … an …
问题2:你能从函数的角度解释这个数列的特点吗
【答案】　数列{an}可以看成从正整数集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).
问题3:在数列中,符号{an}与an所表示的意义是否相同
【答案】　{an}与an是两个不同的概念,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an只表示数列{an}中的第n项.
新知生成
一般地,如果数列的第n项an与　n　之间的关系可以用　an=f(n)　来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称此关系式为这个数列的通项公式.
注意:①并不是所有数列都能写出其通项公式;②一个数列的通项公式有时不是唯一的;③数列的通项公式具有双重身份,它既能表示数列的第n项,又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系.
新知运用
例2　(1)在数列0,,,,…,,…中,是它的第　　　　项.
(2)根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式:
①-1,7,-13,19,…;
②,,,,,…;
③3,5,3,5;
④5,55,555,5555,….
【答案】　(1)7
【解析】　(1)令=,解得n=7,所以是它的第7项.
(2)①偶数项为正,奇数项为负,故通项公式的正负性可用(-1)n来调节,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).
②这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积.故数列的一个通项公式为an=.
③(法一)数列给出前4项,其中奇数项为3,偶数项为5,
所以通项公式的一种表示方法为an=
(法二)此数列还可以这样考虑,4+1=5,4-1=3,因此数列的一个通项公式又可以写为an=4+(-1)n.
④将原数列改写为×9,×99,×999,…,易知数列9,99,999,…的通项为10n-1,故数列的一个通项公式为an=(10n-1).
【方法总结】　　1.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项符号特征,并对此进行联想、归纳.
2.观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察项与序号之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)进行转换而使问题得到解决;对于正负符号的变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
　　写出下列各数列的一个通项公式,它们的前几项分别是:
(1)1,3,7,15,31,…;
(2),,,,,…;
(3)-,,-,,-,…;
(4)2×3,3×4,4×5,5×6,….
【解析】　(1)由1=2-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,…,
可得an=2n-1.
(2)由=,=,=,=,=,…,
可得an=.
(3)由-,,-,,-,…可知奇数项为负数,偶数项为正数,
可得an=(-1)n×.
(4)由2×3=(1+1)×(1+2),3×4=(2+1)×(2+2),4×5=(3+1)×(3+2),5×6=(4+1)×(4+2),…,
可得an=(n+1)(n+2).
探究3　数列的函数特性
问题1:我们已经归纳出了数列的概念,从给出的具体例子中你能发现数列与函数的联系吗 如果数列是函数,那么它们的对应关系、定义域分别是什么
【答案】　数列是特殊的函数,它们的对应关系是an=f(n),定义域是N+ .
问题2:1,3,5,7是一个数列,7,5,3,1也是一个数列,这两个数列是不是同一个数列 是否具有单调性 你能写出一个递增的数列吗
【答案】　不是;具有单调性,数列1,3,5,7是递增数列,数列7,5,3,1是递减数列;能,如2,4,6,8,10,….
新知生成
(1)数列的定义域为正整数集N+ (或它的有限子集).数列{an}是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数.
(2)单调性
从第二项起,每一项都大于它的前一项(an+1>an )的数列叫作递增数列;从第二项起,每一项都小于它的前一项(an+1新知运用
例3　(1)已知递增数列{an}满足an=则实数m 的取值范围是(　　).
A.[12,+∞) B.(1,12)
C.(1,9) D.[9,+∞)
(2)已知数列{an}满足an=n+,则数列{an}的最小值为　　　　.
【答案】　(1)B　(2)
【解析】　(1)∵{an}为递增数列,∴即解得1即实数m 的取值范围为(1,12).故选B.
(2)∵f(x)=x+ 在(0,4) 上单调递减,在(4,+∞) 上单调递增,且5<4<6,
∴当x=n(n∈N+)时,f(n)min=min{f(5),f(6)},
又f(5)=5+=,f(6)=6+=,>,
∴f(n)min=,
即数列{an}的最小值为.
【方法总结】　　数列的单调性与最值
(1)数列的单调性可以依据相应函数的单调性进行判断,也可以根据an+1-an的符号进行判断.
(2)求数列中最大(小)项的方法
①若an最大,则若an最小,则要注意等号是否成立,即两项有无可能相等.
②考虑数列的单调性,注意自变量为正整数,如果取最值时的自变量不是正整数,那么需要与该数相邻的正整数验证比较.
1.已知数列{an}的通项公式为an=若{an}是递增数列,则实数a 的取值范围是(　　).
A.(3,6) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,3)
【答案】　D
【解析】　由题意可得解得22.已知数列{an}的通项公式为an=n2-11n+,a5 是数列{an}的最小项,则实数a 的取值范围是　　　　.
【答案】　[-25,0]
【解析】　由题意可得n2-11n+≥25-55+,整理得(n-5)(n-6)≥,
当n≤4 时,不等式化简为a≥5n(n-6)恒成立,所以a≥-25;
当n≥6 时,不等式化简为a≤5n(n-6)恒成立,所以a≤0.
综上,-25≤a≤0.
【随堂检测】
1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(　　).
A.-1,-2,-3,-4,…
B.-1,-,-,-,…
C.-1,-2,-4,-8,…
D.1,,,,…,
【答案】　B
【解析】　A,B,C中的数列都是无穷数列,但是A,C中的数列是递减数列,故选B.
2.数列0.9,0.99,0.999,…的一个通项公式是(　　).
A.1+ B.-1+
C.1- D.1-
【答案】　C
【解析】　原数列前几项可改写为1-,1-,1-,…,故该数列的一个通项公式为an=1-.故选C.
3.已知数列{an}的通项公式为an=n·,则数列{an}中的最大项为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　因为数列{an}的通项公式为an=n·,显然an>0,令即得2≤n≤3,所以数列{an}中的最大项为a2=a3=2×=.
4.若数列{an}满足an=log2(n2+3)-2,则log23是这个数列的第　　　　项.
【答案】　3
【解析】　令an=log2(n2+3)-2=log23,解得n=3.
25.1.1　数列的概念
【学习目标】
1.了解数列的概念和数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),会根据数列的前几项写出数列的通项公式.(数学抽象、逻辑推理)
2.理解数列的通项公式,并能够根据通项公式求数列中的某些项.(数学运算)
3.用函数思想理解数列,掌握数列的单调性,要求能够对数列进行合理分类,以提高学生分析问题和解决问题的能力.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
1.数列的定义是什么
2.数列的项与项数有什么不同
3.同一个数在数列中能重复出现吗
4.数列1,2,3,4,5与集合{1,2,3,4,5}有什么区别
5.什么叫数列的通项公式
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列1,1,1,…是无穷数列. (　　)
(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列. (　　)
(3)有些数列没有通项公式. (　　)
(4)如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列. (　　)
2.已知数列{an}的通项公式为an=,那么a5=(　　).
A. B. C. D.
3.数列0,1,2,3,4,…的一个通项公式可以为(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
4.下列说法正确的是　　　　.(填序号)
①1,1,1,1是有穷数列;
②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列;
③数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.
【合作探究】
探究1　数列的概念
　　2022年在北京举办了冬奥会,第17届冬季奥运会是在1994年举办的,冬奥会每四年举办一届.
问题1:北京冬奥会是第多少届
问题2:预计第27届冬奥会是哪一年
问题3:我们能否引入一个概念,体现从第17届冬奥会到第24届冬奥会,届别与举办年份之间的关系
问题4:结合教材中的例子,这些数的共同特点是什么
新知生成
1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数的项.各项依次称为这个数列的第1项(通常也叫作首项),第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.
2.数列的项数:组成数列的数的个数称为数列的项数.
注意:(1)数列中的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列.
(2)数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不相同,因此,同一个数在数列中是允许重复出现的.
3.数列的分类
类别 含义
按项的 个数 有穷数列 项数　有限　的数列
无穷数列 项数　无限　的数列
按项的 变化 趋势 递增数列 从第2项起,每一项都　大于　它的前一项的数列
递减数列 从第2项起,每一项都　小于　它的前一项的数列
常数列 各项　相等　的数列
　　注意:摆动数列是从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
新知运用
例1　下列数列哪些是有穷数列 哪些是无穷数列 哪些是递增数列 哪些是递减数列 哪些是常数列
(1)1,0.84,0.842,0.843,…;
(2)2,4,6,8,10,…;
(3)7,7,7,7,…;
(4),,,,…;
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1.
【方法总结】　　(1)判断数列是何种数列一定要严格按照定义进行判断.
(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项,不能有例外.
　　下列数列哪些是有穷数列 哪些是无穷数列 哪些是递增数列 哪些是递减数列 哪些是常数列
(1)2017,2018,2019,2020,2021,2022,2023;
(2)0,,,…,,…;
(3)1,,,…,,…;
(4)-,,-,,…;
(5)1,0,-1,…,sin,…;
(6)9,9,9,9,9,9.
探究2　数列的通项
　　数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
问题1:数列{an}中的各项ak与各项序号k(k=1,2,3,…,n,…)之间的对应关系是什么
问题2:你能从函数的角度解释这个数列的特点吗
问题3:在数列中,符号{an}与an所表示的意义是否相同
新知生成
一般地,如果数列的第n项an与　n　之间的关系可以用　an=f(n)　来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称此关系式为这个数列的通项公式.
注意:①并不是所有数列都能写出其通项公式;②一个数列的通项公式有时不是唯一的;③数列的通项公式具有双重身份,它既能表示数列的第n项,又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系.
新知运用
例2　(1)在数列0,,,,…,,…中,是它的第　　　　项.
(2)根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式:
①-1,7,-13,19,…;
②,,,,,…;
③3,5,3,5;
④5,55,555,5555,….
【方法总结】　　1.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项符号特征,并对此进行联想、归纳.
2.观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察项与序号之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)进行转换而使问题得到解决;对于正负符号的变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
　　写出下列各数列的一个通项公式,它们的前几项分别是:
(1)1,3,7,15,31,…;
(2),,,,,…;
(3)-,,-,,-,…;
(4)2×3,3×4,4×5,5×6,….
探究3　数列的函数特性
问题1:我们已经归纳出了数列的概念,从给出的具体例子中你能发现数列与函数的联系吗 如果数列是函数,那么它们的对应关系、定义域分别是什么
问题2:1,3,5,7是一个数列,7,5,3,1也是一个数列,这两个数列是不是同一个数列 是否具有单调性 你能写出一个递增的数列吗
新知生成
(1)数列的定义域为正整数集N+ (或它的有限子集).数列{an}是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数.
(2)单调性
从第二项起,每一项都大于它的前一项(an+1>an )的数列叫作递增数列;从第二项起,每一项都小于它的前一项(an+1新知运用
例3　(1)已知递增数列{an}满足an=则实数m 的取值范围是(　　).
A.[12,+∞) B.(1,12)
C.(1,9) D.[9,+∞)
(2)已知数列{an}满足an=n+,则数列{an}的最小值为　　　　.
【方法总结】　　数列的单调性与最值
(1)数列的单调性可以依据相应函数的单调性进行判断,也可以根据an+1-an的符号进行判断.
(2)求数列中最大(小)项的方法
①若an最大,则若an最小,则要注意等号是否成立,即两项有无可能相等.
②考虑数列的单调性,注意自变量为正整数,如果取最值时的自变量不是正整数,那么需要与该数相邻的正整数验证比较.
1.已知数列{an}的通项公式为an=若{an}是递增数列,则实数a 的取值范围是(　　).
A.(3,6) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,3)
2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-11n+,a5 是数列{an}的最小项,则实数a 的取值范围是　　　　.
【随堂检测】
1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(　　).
A.-1,-2,-3,-4,…
B.-1,-,-,-,…
C.-1,-2,-4,-8,…
D.1,,,,…,
2.数列0.9,0.99,0.999,…的一个通项公式是(　　).
A.1+ B.-1+
C.1- D.1-
3.已知数列{an}的通项公式为an=n·,则数列{an}中的最大项为(　　).
A. B. C. D.
4.若数列{an}满足an=log2(n2+3)-2,则log23是这个数列的第　　　　项.
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