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5.2.1　课时1等差数列的定义及通项公式
【学习目标】
1.能够通过实际问题理解等差数列、公差的概念,提升分析问题、解决问题的能力.(数学抽象)
2.掌握等差数列的通项公式及其推导方法,并能够灵活地进行运算.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握等差数列的判定方法,能运用定义法证明等差数列.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
1.等差数列是如何定义的
2.观察所给的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列.
(1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0.
3.由等差数列的通项公式可以看出,要求等差数列an的通项公式,需要哪几个条件
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列4,4,4,…是等差数列. (　　)
(2)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4,则{an}(n>4)一定是等差数列. (　　)
(3)在等差数列{an}中,a1,n,d,an任意给出三个,可求剩下的一个. (　　)
(4)等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数. (　　)
2.下列数列不是等差数列的为(　　).
A.6,6,6,6,6 B.-2,-1,0,1,2
C.5,8,11,14 D.0,1,3,6,10
3.已知在等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an=　　　　.
4.在等差数列{an}中,若a2=1,a5=3,则公差d=　　　　.
【合作探究】
探究1　等差数列的定义
　　奥林匹克运动会(Olympic Games,简称奥运会),是国际奥林匹克委员会主办的世界规模最大的综合性运动会,每四年一届,会期不超过16日,是世界上影响力最大的体育盛会.奥林匹克运动会发源于两千多年前的古希腊,因举办地在奥林匹亚而得名.小明为了更加了解奥运会,通过互联网查询到了第23届到第31届奥运会的年份依次为1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008,2012,2016.
　　问题:这个数列有什么规律
新知生成
一般地,若数列{an}从第　2　项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d,即　an+1-an=d　恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的　公差　.
注意:等差数列定义的理解
(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算的要求是指“相邻且后项减去前项”,强调了作差的顺序且这两项必须相邻.
(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数列不能称为等差数列.
新知运用
例1　判断下列数列是否为等差数列.
(1)在数列{an}中,an=3n+2;
(2)在数列{an}中,an=n2+n.
【方法总结】　　定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法,其步骤如下:
(1)作差an+1-an.
(2)对差式进行变形.
(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,数列{bn}中,bn=3an+4.问:数列{bn}是否为等差数列 并说明理由.
探究2　等差数列的通项公式
　　一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位: cm)依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320.
问题1:这个数列是等差数列吗 如果是,它的公差是多少
问题2:你能归纳出这个数列的通项公式吗
新知生成
若{an}是等差数列,则其通项公式an=a1+(n-1)d.
①{an}是等差数列 an=pn+q,其中p=d,q=a1-d,点(n,an)是直线y=dx+(a1-d)上一群孤立的点.
②单调性:当d>0时,{an}为递增数列;当d<0时,{an}为递减数列;当d=0时,{an}为常数列.
新知运用
例2　(1)解答《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积是　　　　升.
(2)已知在等差数列{an}中,a1+a6=12,a4=7,求an.
【方法总结】　　1.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称为“知三求一”.
2.熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征,并且公差d是一次项系数,它的符号决定了数列的单调性,当d>0时,数列{an}为递增数列,当d=0时,数列{an}为常数列,当d<0时,数列{an}为递减数列.
1.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是(　　).
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0
D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0
2.在等差数列{an}中,已知a15=33,a45=153,则an=　　　　.
探究3　等差中项
　　某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径为40 mm,满盘时直径为100 mm,已知卫生纸的厚度为0.2 mm,将绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆,则从最内层到最外层卫生纸所在圆的半径分别为20.2 mm,20.4 mm,20.6 mm,20.8 mm,21.0 mm,…,50.0 mm.
问题:观察上面这个数列,其任意连续三项之间有什么样的关系
新知生成
如果三个数x,A,y成等差数列,那么A叫作x与y的等差中项,这三个数满足的关系式是A=.
新知运用
例3　已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,若a+b+c=15,求a,b,c的值.
【方法总结】　　三个数a,b,c成等差数列的条件是b=(或2b=a+c),这个条件可用来解决等差数列的判定问题或有关等差中项的计算问题.如若要证明数列{an}为等差数列,则可证明2an+1=an+an+2(n∈N+).
在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
探究4　等差数列的判定与证明
　　问题1:对于给定的等差数列{an},从第二项起的每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等差中项吗
问题2:问题1的结论可以给我们什么样的启示
问题3:若数列{an}的通项公式为an=kn+b,则该数列是等差数列吗
新知生成
等差数列的判定方法有以下三种:
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N+) 数列{an}为等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+) 数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法:an=an+b(a,b是常数,n∈N+) 数列{an}为等差数列.
新知运用
例4　(2023·安徽卓越第二次月考)已知数列{an}的前n 项积为Tn,且an+2Tn=1,n∈N*.
(1)求证:数列是等差数列.
(2)求数列{an} 的通项公式.
【方法总结】　　对于等差数列的判定与证明,关键是根据题干给出的相关材料,选择合适的判定方法.
　　已知数列{an}满足a1=,an-an+1=2anan+1.
(1)证明:数列是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【随堂检测】
1.在等差数列{an}中,a3=0,a7-2a4=-1,则公差d=(　　).
A.-2 B.- C. D.2
2.若a=,b=,则a,b的等差中项为(　　).
A. B. C. D.
3.在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9=(　　).
A.12 B.18 C.24 D.30
4.等差数列1,-3,-7,…的通项公式为　　　　,其第20项是　　　　.
5.已知数列{an}和{bn}是两个无穷等差数列,公差分别为d1和d2,求证:数列{an+bn}是等差数列,并求它的公差.
25.2.1　课时1等差数列的定义及通项公式
【学习目标】
1.能够通过实际问题理解等差数列、公差的概念,提升分析问题、解决问题的能力.(数学抽象)
2.掌握等差数列的通项公式及其推导方法,并能够灵活地进行运算.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握等差数列的判定方法,能运用定义法证明等差数列.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
1.等差数列是如何定义的
【答案】　如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.
2.观察所给的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列.
(1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0.
【答案】　(1)3;(2)2;(3);(4)0.
3.由等差数列的通项公式可以看出,要求等差数列an的通项公式,需要哪几个条件
【答案】　只要求出等差数列的首项a1和公差d,代入公式an=a1+(n-1)d即可.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列4,4,4,…是等差数列. (　　)
(2)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4,则{an}(n>4)一定是等差数列. (　　)
(3)在等差数列{an}中,a1,n,d,an任意给出三个,可求剩下的一个. (　　)
(4)等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.下列数列不是等差数列的为(　　).
A.6,6,6,6,6 B.-2,-1,0,1,2
C.5,8,11,14 D.0,1,3,6,10
【答案】　D
【解析】　A中给出的是常数列,是等差数列,公差为0;
B中给出的数列是等差数列,公差为1;
C中给出的数列是等差数列,公差为3;
D中给出的数列中,第2项减去第1项等于1,第3项减去第2项等于2,故此数列不是等差数列.
3.已知在等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an=　　　　.
【答案】　6-2n
【解析】　∵a1=4,d=-2,∴an=4+(n-1)×(-2)=6-2n.
4.在等差数列{an}中,若a2=1,a5=3,则公差d=　　　　.
【答案】　
【解析】　由题意得d===.
【合作探究】
探究1　等差数列的定义
　　奥林匹克运动会(Olympic Games,简称奥运会),是国际奥林匹克委员会主办的世界规模最大的综合性运动会,每四年一届,会期不超过16日,是世界上影响力最大的体育盛会.奥林匹克运动会发源于两千多年前的古希腊,因举办地在奥林匹亚而得名.小明为了更加了解奥运会,通过互联网查询到了第23届到第31届奥运会的年份依次为1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008,2012,2016.
　　问题:这个数列有什么规律
【答案】　1988-1984
=1992-1988
=1996-1992
=2000-1996
=2004-2000
=2008-2004
=2012-2008
=2016-2012
=4.
因此可以发现,从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数4.
新知生成
一般地,若数列{an}从第　2　项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d,即　an+1-an=d　恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的　公差　.
注意:等差数列定义的理解
(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算的要求是指“相邻且后项减去前项”,强调了作差的顺序且这两项必须相邻.
(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数列不能称为等差数列.
新知运用
例1　判断下列数列是否为等差数列.
(1)在数列{an}中,an=3n+2;
(2)在数列{an}中,an=n2+n.
【解析】　(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由等差数列的定义知,这个数列为等差数列.
(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.
【方法总结】　　定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法,其步骤如下:
(1)作差an+1-an.
(2)对差式进行变形.
(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,数列{bn}中,bn=3an+4.问:数列{bn}是否为等差数列 并说明理由.
【解析】　数列{bn}是等差数列.理由如下:
∵数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,
∴an+1-an=d(n∈N+),
∴bn+1-bn=(3an+1+4)-(3an+4)=3(an+1-an)=3d,
∴根据等差数列的定义知,数列{bn}是等差数列.
探究2　等差数列的通项公式
　　一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位: cm)依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320.
问题1:这个数列是等差数列吗 如果是,它的公差是多少
【答案】　是,公差为16.
问题2:你能归纳出这个数列的通项公式吗
【答案】　因为从第2项起,后一项与前一项的差都为16,且这个数列的首项为16,所以an=16+(n-1)×16=16n(1≤n≤20,n∈N+).
新知生成
若{an}是等差数列,则其通项公式an=a1+(n-1)d.
①{an}是等差数列 an=pn+q,其中p=d,q=a1-d,点(n,an)是直线y=dx+(a1-d)上一群孤立的点.
②单调性:当d>0时,{an}为递增数列;当d<0时,{an}为递减数列;当d=0时,{an}为常数列.
新知运用
例2　(1)解答《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积是　　　　升.
(2)已知在等差数列{an}中,a1+a6=12,a4=7,求an.
【答案】　(1)
【解析】　(1)根据题意得,该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{an},
设其首项为a1,公差为d,由题意可得
所以解得所以a5=a1+4d=+4×=,
即第5节竹子的容积为 升.
(2)由题意知解得
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
【方法总结】　　1.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称为“知三求一”.
2.熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征,并且公差d是一次项系数,它的符号决定了数列的单调性,当d>0时,数列{an}为递增数列,当d=0时,数列{an}为常数列,当d<0时,数列{an}为递减数列.
1.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是(　　).
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0
D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0
【答案】　C
【解析】　选项A中,当等差数列的前三项是4,1,-2时,结论不成立;选项B中,当等差数列的前三项是4,-1,-6时,结论不成立;选项C中,设公差为d(d≠0),则>-d2=(a2-d)(a2+d)=a1·a3,因为0,结论成立;选项D中,设公差为d,则(a2-a1)(a2-a3)=d·(-d)=-d2≤0.故选C.
2.在等差数列{an}中,已知a15=33,a45=153,则an=　　　　.
【答案】　4n-27
【解析】　设首项为a1,公差为d,依条件得
解得
所以an=-23+(n-1)×4=4n-27.
探究3　等差中项
　　某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径为40 mm,满盘时直径为100 mm,已知卫生纸的厚度为0.2 mm,将绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆,则从最内层到最外层卫生纸所在圆的半径分别为20.2 mm,20.4 mm,20.6 mm,20.8 mm,21.0 mm,…,50.0 mm.
问题:观察上面这个数列,其任意连续三项之间有什么样的关系
【答案】　前一项与后一项的和是中间项的2倍.
新知生成
如果三个数x,A,y成等差数列,那么A叫作x与y的等差中项,这三个数满足的关系式是A=.
新知运用
例3　已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,若a+b+c=15,求a,b,c的值.
【解析】　因为b是a,c的等差中项,所以2b=a+c.
又因为a+b+c=15,所以3b=15,所以b=5.
设a,b,c的公差为d,
则a=5-d,c=5+d.
由题意可知2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1),
所以2lg 4=lg(5-d+1)+lg(5+d-1),
所以16=25-(d-1)2,即(d-1)2=9.
所以d-1=-3或d-1=3,即d=-2或d=4.
所以a,b,c的值分别为7,5,3或1,5,9.
【方法总结】　　三个数a,b,c成等差数列的条件是b=(或2b=a+c),这个条件可用来解决等差数列的判定问题或有关等差中项的计算问题.如若要证明数列{an}为等差数列,则可证明2an+1=an+an+2(n∈N+).
在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
【解析】　由题意知,-1,a,b,c,7成等差数列,
所以b是-1与7的等差中项,
则b==3,
又a是-1与b的等差中项,
所以a===1.
又c是b与7的等差中项,
所以c===5.
所以该数列为-1,1,3,5,7.
探究4　等差数列的判定与证明
　　问题1:对于给定的等差数列{an},从第二项起的每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等差中项吗
【答案】　是,根据等差数列的概念知an+1-an=an-an-1(n≥2),即an=(n≥2).
所以由等差中项的概念知,对于给定的等差数列{an},从第二项起的每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等差中项.
问题2:问题1的结论可以给我们什么样的启示
【答案】　可以用等差中项的定义来证明一个数列是等差数列,即证明2an+1=an+an+2.
问题3:若数列{an}的通项公式为an=kn+b,则该数列是等差数列吗
【答案】　是.因为an+1-an=k(n+1)-kn=k,所以数列{an}是等差数列.
新知生成
等差数列的判定方法有以下三种:
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N+) 数列{an}为等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+) 数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法:an=an+b(a,b是常数,n∈N+) 数列{an}为等差数列.
新知运用
例4　(2023·安徽卓越第二次月考)已知数列{an}的前n 项积为Tn,且an+2Tn=1,n∈N*.
(1)求证:数列是等差数列.
(2)求数列{an} 的通项公式.
【解析】　(1)∵数列{an}的前n 项积为Tn,∴ T1=a1,Tn=a1a2·…·an,Tn+1=a1a2·…·an+1,∴an+1=,
又∵ an+2Tn=1,∴当n=1 时,a1+2T1=1,即a1+2a1=1,解得T1=a1=,
∴an+1+2Tn+1=1,∴+2Tn+1=1,即-=2,又=3,故数列是以3为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)知=3+(n-1)×2=2n+1,
∴Tn=,当n≥2且n∈N+时,an===.
当n=1时,a1=满足上式,∴an=.
【方法总结】　　对于等差数列的判定与证明,关键是根据题干给出的相关材料,选择合适的判定方法.
　　已知数列{an}满足a1=,an-an+1=2anan+1.
(1)证明:数列是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】　(1)由已知得,=2,-===2,
所以数列是以2为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)知,=+2(n-1)=2n,所以an=.
【随堂检测】
1.在等差数列{an}中,a3=0,a7-2a4=-1,则公差d=(　　).
A.-2 B.- C. D.2
【答案】　B
【解析】　由题意得
解得
2.若a=,b=,则a,b的等差中项为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由题意知a,b的等差中项为+=(-++)=.
3.在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9=(　　).
A.12 B.18 C.24 D.30
【答案】　C
【解析】　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
因为a5+a10=12,
所以2a1+13d=12,
所以3a7+a9=3(a1+6d)+a1+8d=4a1+26d=2(2a1+13d)=2×12=24.
4.等差数列1,-3,-7,…的通项公式为　　　　,其第20项是　　　　.
【答案】　an=-4n+5　-75
【解析】　∵d=-3-1=-4,a1=1,
∴an=1-4(n-1)=-4n+5,
∴a20=-80+5=-75.
5.已知数列{an}和{bn}是两个无穷等差数列,公差分别为d1和d2,求证:数列{an+bn}是等差数列,并求它的公差.
【解析】　由题意得,当n∈N+时,an+1-an=d1,bn+1-bn=d2,所以当n∈N+时,an+1+bn+1-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,故数列{an+bn}是等差数列,且公差为d1+d2.
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