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5.2.1 课时2　等差数列的性质及其应用
【学习目标】
1.理解等差中项的概念,并能够利用等差中项进行解题.(数学抽象)
2.熟悉等差数列的相关性质,并能够应用该知识灵活地进行运算.(逻辑推理、数学运算)
3.能够应用等差数列解决一些生活中的实际问题.(逻辑推理、数学建模、数学运算)
【自主预习】
1.取出等差数列的奇数项能不能构成一个新数列 这个数列是不是等差数列
【答案】　能构成新数列,是等差数列.
2.在有穷等差数列{an}中,与首末两项“等距离”的两项之和与首项与末项的和是否相等
【答案】　相等,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
3.在等差数列{an}中,如果m+n=2k(m,n,k∈N+),那么am+an=2ak是否成立 给出证明.
【答案】　成立.因为当m+n=2k时,am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d=2a1+(2k-2)d=2[a1+(k-1)d]=2ak.
4.若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N+),则am+an=ap一定成立吗
【答案】　不一定.如常数列{an},1+2=3,而a1+a2=2a3.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在等差数列{an}中,必有a10=a1+a9. (　　)
(2)若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列. (　　)
(3)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列. (　　)
(4)若{an}是等差数列,则对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.在等差数列{an}中,若a3=5,a5=7,则a7=(　　).
A.-1 B.9 C.1 D.6
【答案】　B
【解析】　由题意可知a3+a7=2a5,∴a7=2a5-a3=14-5=9,故选B.
3.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=(　　).
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】　B
【解析】　在等差数列{an}中,由性质可得a2+a10=a4+a8=16.
【合作探究】
探究1　等差数列的性质
　　观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,….
问题1:说出8是哪两项的等差中项.并找到它们满足的规律.
【答案】　8是6和10的等差中项,也是4和12的等差中项,还是2和14的等差中项.对于任一等差数列{an},有a4===,即a3+a5=a2+a6=a1+a7=2a4 .
问题2:观察项的角标满足什么关系 由此你能得到什么固定的结论吗
【答案】　3+5=2+6=1+7=4+4.若p+q=s+t,则ap+aq=as+at .
问题3:如图,这是上述性质的一种情形,你能从几何的角度进行解释吗
【答案】　当d≠0时,等差数列是一次函数f(x)=dx+(a1-d)在x∈N+的函数值,其图象是均匀分布在某一条直线上的点,所以图中的ap,aq 和as,at 可以分别看作直角梯形的两条底边的长,ap+aq 和as+at 可以看作这两个梯形的中位线的二倍,由于p+q=s+t,所以这两个梯形有相同的中位线,所以ap+aq=as+at .
新知生成
等差数列一些常见的性质
(1)通项公式的推广公式:an=am+(n-m)d(n,m∈N+) d=(n≠m).
(2)若数列{an}为等差数列,且m+n=p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w∈N+).
(3)若数列{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为md的等差数列.
(4)若数列{an},{bn}是等差数列,则数列{pan+qbn}也是等差数列.
新知运用
例1　(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;
(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
【解析】　(1)(法一)设{an}的公差为d,则解得故a25=a1+24d=4+24×=40.
(法二)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.
(法三)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,解得a5=14,故a1+a9=2a5=28.
(3)令cn=an-bn,因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列.设数列{cn}的公差为d,由已知得c1=a1-b1=5,由a7-b7=c7=17,得5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.
【方法总结】　　1.利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而解决问题是处理等差数列问题的基本方法.
2.巧妙地利用等差数列的性质,可以大大简化解题过程.
3.通项公式可变形为an=am+(n-m)d(m,n∈N+),又可变形为d=,应注意把握,并学会应用.
　　在公差为d的等差数列{an}中.
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d.
【解析】　(法一)(1)将已知条件化成关于a1和d的方程,得(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,
即4(a1+12d)=48,∴4a13=48,∴a13=12.
(2)将已知条件化成关于a1和d的方程组,得
解得或
∴d=3或d=-3.
(法二)(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,a2+a24=a3+a23=2a13,得4a13=48,∴a13=12.
(2)由a2+a3+a4+a5=34,a3+a4=a2+a5,得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17.
由得或
∴d===3或d===-3.
探究2　等差数列的综合问题
　　问题1:对于三个数成等差数列,某班同学给出了以下三种设法:
(1)设这三个数分别为a,b,c.
(2)设该数列的首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d.
(3)设该数列的中间项为b,公差为d,则这三个数分别为b-d,b,b+d.
哪种方法在计算中可能更便捷一些
【答案】　方法(3)可能更便捷一些.
问题2:如果四个数成等差数列,那么如何设这四个数更方便运算
【答案】　可以设四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
新知生成
1.当已知数列有2n项时,可设为a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此时公差为2d.
2.当已知数列有(2n+1)项时,可设为a-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a+nd,此时公差为d.
新知运用
一、等差数列的设法与求解
例2　已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.
【解析】　(法一)设这四个数分别为a,b,c,d,
根据题意得解得或
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
(法二)设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意得化简得解得或∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
(法三)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意,
得
化简得解得
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
【方法总结】　　等差数列项的常见设法:(1)通项法;(2)对称项设法.对称项设法的优点是:若有n个数构成等差数列,利用对称项设法设出这个数列,则其各项和为na.
二、求等差数列中的项
例3　已知数列{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出数列{bn}的通项公式.
【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a1+a2+a3=12,
所以a2=4.
因为a8=a2+(8-2)d,
所以16=4+6d,所以d=2,
所以an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.
(2)由(1)知a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.
当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.
所以数列{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列.
所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.
【方法总结】　　1.已知等差数列{an}的基本量后,求解由{an}的部分项构成的数列{bn}的通项公式,首先要搞清{bn}中的项是由{an}中的哪些项构成的,从而确定数列{bn}的特性(公差),这是解决本题的关键.
2.有关两个等差数列公共项问题,处理办法有两种,一是将公共项组成等差数列;二是从通项公式入手,利用最小公倍数,建立am=bn这样的方程,再求一定范围内的整数解.
1.若三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数.
【解析】　设这三个数依次为a-d,a,a+d,
则解得
∴这三个数分别为4,3,2.
2.已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2.
(2)求数列{bn}的通项公式.
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项
【解析】　(1)由题意知,等差数列{an}的通项公式为an=3-5(n-1)=8-5n,
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项,则需满足m=4n-1,n∈N+,
所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.
(2)由(1)知,bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,
所以数列{bn}也为等差数列,且首项b1=-7,公差d'=-20,
所以bn=b1+(n-1)d'=-7+(n-1)·(-20)=13-20n.
(3)由(1)知m=4n-1,n∈N+,所以当n=110时,m=4×110-1=439,
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.
探究3　等差数列的实际应用问题
　　《孙子算经》是我国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知其数”问题,其中记载:有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何 即一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.
问题1:上述问题中,3与5的最小公倍数是多少
【答案】　3与5的最小公倍数是15.
问题2:设这个正整数为a,当a∈[1,100]时,符合条件的所有a的个数是多少
【答案】　 当a∈[1,100]时,满足条件的整数a组成一个等差数列,首项为8,公差为3与5的最小公倍数15,令1≤8+15k≤100(k∈N),所以-≤k≤,又因为k∈N,所以符合条件的所有a的个数为7.
新知生成
1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.
2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.
新知运用
例4　(2023·湖南邵阳期末)古代中国数学辉煌灿烂,在《张丘建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何 ”则该问题中未到三人共得金　　　　斤.
【答案】　
【解析】　设十人得金按等级依次设为a1,a2,…,a10,则a1,a2,…,a10成等差数列,且
设等差数列a1,a2,…,a10的公差为d,则解得d=-,
所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d= .
【方法总结】　　解答等差数列的实际应用问题的基本步骤
　　(2023·湖南邵阳期末)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图,如图所示.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡;乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.
请你根据提供的信息回答问题.
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了 并说明理由.
【解析】　由题图可知,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列,记为{an},公差为d1,且a1=1,a6=2;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为{bn},公差为d2,且b1=30,b6=10;从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn},则cn=anbn.
(1)由a1=1,a6=2,得解得
∴a2=1.2;
由b1=30,b6=10,得解得
∴b2=26,
∴c2=a2b2=1.2×26=31.2,即第2年养鸡场有26个,全县出产鸡31.2万只.
(2)∵c6=a6b6=2×10=20【随堂检测】
1.如果在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a7=(　　).
A.4 B.6 C.8 D.12
【答案】　C
【解析】　在等差数列{an}中,由a3+a4+a5=12,可得3a4=12,解得a4=4,所以a1+a7=2a4=8.故选C.
2.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是(　　).
A.20 B.22 C.24 D.-8
【答案】　C
【解析】　∵a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24,∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.故选C.
3.若四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,则这四个数分别为　　　　.
【答案】　-2,0,2,4
【解析】　设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),
依题意得2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,即d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列,∴d=1.
故所求的四个数分别为-2,0,2,4.
4.若a,x1,x2,x3,b与a,y1,y2,y3,y4,y5,b均为等差数列,则=　　　　.
【答案】　
【解析】　∵a,x1,x2,x3,b成等差数列,∴其公差d1=.又∵a,y1,y2,y3,y4,y5,b成等差数列,∴其公差d2=,
∴===·=.
5.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付车费　　　　元.
【答案】　23.2
【解析】　根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需要多支付1.2元,所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2,表示4 km处的车费,公差d=1.2,那么当出租车行至14 km处时,n=11,此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
25.2.1 课时2　等差数列的性质及其应用
【学习目标】
1.理解等差中项的概念,并能够利用等差中项进行解题.(数学抽象)
2.熟悉等差数列的相关性质,并能够应用该知识灵活地进行运算.(逻辑推理、数学运算)
3.能够应用等差数列解决一些生活中的实际问题.(逻辑推理、数学建模、数学运算)
【自主预习】
1.取出等差数列的奇数项能不能构成一个新数列 这个数列是不是等差数列
2.在有穷等差数列{an}中,与首末两项“等距离”的两项之和与首项与末项的和是否相等
3.在等差数列{an}中,如果m+n=2k(m,n,k∈N+),那么am+an=2ak是否成立 给出证明.
4.若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N+),则am+an=ap一定成立吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在等差数列{an}中,必有a10=a1+a9. (　　)
(2)若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列. (　　)
(3)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列. (　　)
(4)若{an}是等差数列,则对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2. (　　)
2.在等差数列{an}中,若a3=5,a5=7,则a7=(　　).
A.-1 B.9 C.1 D.6
3.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=(　　).
A.12 B.16 C.20 D.24
【合作探究】
探究1　等差数列的性质
　　观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,….
问题1:说出8是哪两项的等差中项.并找到它们满足的规律.
问题2:观察项的角标满足什么关系 由此你能得到什么固定的结论吗
【
问题3:如图,这是上述性质的一种情形,你能从几何的角度进行解释吗
新知生成
等差数列一些常见的性质
(1)通项公式的推广公式:an=am+(n-m)d(n,m∈N+) d=(n≠m).
(2)若数列{an}为等差数列,且m+n=p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w∈N+).
(3)若数列{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为md的等差数列.
(4)若数列{an},{bn}是等差数列,则数列{pan+qbn}也是等差数列.
新知运用
例1　(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;
(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
【方法总结】　　1.利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而解决问题是处理等差数列问题的基本方法.
2.巧妙地利用等差数列的性质,可以大大简化解题过程.
3.通项公式可变形为an=am+(n-m)d(m,n∈N+),又可变形为d=,应注意把握,并学会应用.
　　在公差为d的等差数列{an}中.
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d.
探究2　等差数列的综合问题
　　问题1:对于三个数成等差数列,某班同学给出了以下三种设法:
(1)设这三个数分别为a,b,c.
(2)设该数列的首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d.
(3)设该数列的中间项为b,公差为d,则这三个数分别为b-d,b,b+d.
哪种方法在计算中可能更便捷一些
问题2:如果四个数成等差数列,那么如何设这四个数更方便运算
新知生成
1.当已知数列有2n项时,可设为a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此时公差为2d.
2.当已知数列有(2n+1)项时,可设为a-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a+nd,此时公差为d.
新知运用
一、等差数列的设法与求解
例2　已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.
【方法总结】　　等差数列项的常见设法:(1)通项法;(2)对称项设法.对称项设法的优点是:若有n个数构成等差数列,利用对称项设法设出这个数列,则其各项和为na.
二、求等差数列中的项
例3　已知数列{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出数列{bn}的通项公式.
【方法总结】　　1.已知等差数列{an}的基本量后,求解由{an}的部分项构成的数列{bn}的通项公式,首先要搞清{bn}中的项是由{an}中的哪些项构成的,从而确定数列{bn}的特性(公差),这是解决本题的关键.
2.有关两个等差数列公共项问题,处理办法有两种,一是将公共项组成等差数列;二是从通项公式入手,利用最小公倍数,建立am=bn这样的方程,再求一定范围内的整数解.
1.若三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数.
2.已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2.
(2)求数列{bn}的通项公式.
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项
探究3　等差数列的实际应用问题
　　《孙子算经》是我国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知其数”问题,其中记载:有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何 即一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.
问题1:上述问题中,3与5的最小公倍数是多少
问题2:设这个正整数为a,当a∈[1,100]时,符合条件的所有a的个数是多少
新知生成
1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.
2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.
新知运用
例4　(2023·湖南邵阳期末)古代中国数学辉煌灿烂,在《张丘建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何 ”则该问题中未到三人共得金　　　　斤.
【方法总结】　　解答等差数列的实际应用问题的基本步骤
　　(2023·湖南邵阳期末)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图,如图所示.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡;乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.
请你根据提供的信息回答问题.
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了 并说明理由.
【随堂检测】
1.如果在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a7=(　　).
A.4 B.6 C.8 D.12
2.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是(　　).
A.20 B.22 C.24 D.-8
3.若四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,则这四个数分别为　　　　.
4.若a,x1,x2,x3,b与a,y1,y2,y3,y4,y5,b均为等差数列,则=　　　　.
5.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付车费　　　　元.
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