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5.2.2　课时1　等差数列的前n项和
【学习目标】
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.(逻辑推理、数学运算)
2.掌握等差数列前n项和的公式及其应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
　　据说,二百多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:
1+2+3+…+100=
当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案
(1+100)+(2+99)+…+(50+51)
=101×50
=5050.
高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3…,n,…前100项的和的问题.
1.阅读材料后回答,高斯是如何快速求1+2+3+…+100的和的 他抓住了问题的什么特征
2.等差数列的前n项和公式是什么 它与什么量有关
3.等差数列的通项公式与等差数列的前n项和公式中共涉及几个量 如何求这些量
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知等差数列的首项、公差,可求S10. (　　)
(2)已知等差数列的首项a1、末项a17,可求S17. (　　)
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S10+S20=S30. (　　)
2.若在等差数列{an}中,a1=1,d=1,则Sn=(　　).
A.n B.n(n+1) C.n(n-1) D.
3.已知在等差数列{an}中,S10=120,则a1+a10=(　　).
A.10 B.12 C.20 D.24
4.已知{an}是等差数列,a1=10,前10项和S10=70,则其公差d=　　　　.
【合作探究】
探究1　等差数列的前n项和公式
　　泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,它宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神迷.传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的宝石镶饰而成,共有100层.
问题1:上述情境的图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石 你能不能快速地求出呢
问题2:你能推出一般的等差数列的前n项和公式吗
新知生成
等差数列前n项和公式Sn==na1+,其推导方法是倒序相加法.
注意:两个公式应灵活选用.当已知a1,an时,用Sn=;当已知a1,d时,用Sn=na1+d.
新知运用
例1　在等差数列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d;
(3)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.
【方法总结】　　等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值:
等差数列的通项公式与前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换思想的应用.
(2)结合等差数列的性质解题:
等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq,常与求和公式Sn=结合使用.
已知在等差数列{an}中,
(1)a1=1,a4=7,求S9;
(2)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
探究2　等差数列前n项和的性质
　　已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.
问题1:从函数的观点分析Sn关于n的函数具有什么特点
问题2:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析.
问题3:an与S2n-1之间有什么等量关系 利用等差中项和等差数列求和公式进行推导.
问题4:S奇为数列{an}所有奇数项的和,S偶为所有偶数项的和,它们之间具有什么关系 对n分类讨论.
问题5:数列是什么数列
新知生成
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.
1.Sn=An2+Bn,其中A=,B=a1-.
2.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N+)也是等差数列,公差为m2d.
3.S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).
4.当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,S奇∶S偶=an∶an+1;当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a中,S奇∶S偶=n∶(n-1).
5.若{an}是等差数列,则也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的.
新知运用
例2　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=　　　　.
(2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是　　　　.
(3)(2023·甘肃张掖市期中校际联考)已知数列{an} 的前n 项和为Sn,且Sn=n2+2n.
①求数列{an} 的通项公式;
②求证:数列 是等差数列.
【方法总结】　　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m,…是等差数列;(2)通过等差数列前n项和与通项的关系即可求得的表达式;(3)数列 是等差数列,公差为数列{an}的公差的.
1.已知{an}为等差数列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a20+a21=　　　　.
2.一个等差数列前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差为　　　.
【随堂检测】
1.已知等差数列{an}的前9项和为27,a10=8,则a100=(　　).
A.100 B.99 C.98 D.97
2.已知在等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于(　　).
A.160 B.180 C.200 D.220
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.
4.(2023·云南昆明五华区质量检测)设数列{an} 的前n 项和为Sn,已知a1=1,an≠0,anan+1=6Sn-2.
(1)证明:an+2-an=6.
(2)求Sn .
25.2.2　课时1　等差数列的前n项和
【学习目标】
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.(逻辑推理、数学运算)
2.掌握等差数列前n项和的公式及其应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
　　据说,二百多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:
1+2+3+…+100=
当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案
(1+100)+(2+99)+…+(50+51)
=101×50
=5050.
高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3…,n,…前100项的和的问题.
1.阅读材料后回答,高斯是如何快速求1+2+3+…+100的和的 他抓住了问题的什么特征
【答案】　高斯的计算方法:(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050.高斯抓住了与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和这个特征.
2.等差数列的前n项和公式是什么 它与什么量有关
【答案】　等差数列的前n项和公式Sn=na1+d与首项a1,公差d和项数n这三个量有关;公式Sn=与首项a1,末项an和项数n这三个量有关.
3.等差数列的通项公式与等差数列的前n项和公式中共涉及几个量 如何求这些量
【答案】　在这些公式中共含有5个量,即a1,d,n,an,Sn,只需知道其中的3个量就可以通过解方程组求出另外的2个量.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知等差数列的首项、公差,可求S10. (　　)
(2)已知等差数列的首项a1、末项a17,可求S17. (　　)
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S10+S20=S30. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×
2.若在等差数列{an}中,a1=1,d=1,则Sn=(　　).
A.n B.n(n+1) C.n(n-1) D.
【答案】　D
【解析】　Sn=na1+d=n+==,故选D.
3.已知在等差数列{an}中,S10=120,则a1+a10=(　　).
A.10 B.12 C.20 D.24
【答案】　D
【解析】　由S10==120,得a1+a10=24.
4.已知{an}是等差数列,a1=10,前10项和S10=70,则其公差d=　　　　.
【答案】　-
【解析】　S10=10a1+d=70,又a1=10,所以d=-.
【合作探究】
探究1　等差数列的前n项和公式
　　泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,它宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神迷.传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的宝石镶饰而成,共有100层.
问题1:上述情境的图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石 你能不能快速地求出呢
【答案】　S21==231.
问题2:你能推出一般的等差数列的前n项和公式吗
【答案】　设Sn是等差数列{an}的前n项和.
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1,
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…,
∴2Sn=(a1+an)·n,
由此可得等差数列{an}的前n项和公式为Sn=.
新知生成
等差数列前n项和公式Sn==na1+,其推导方法是倒序相加法.
注意:两个公式应灵活选用.当已知a1,an时,用Sn=;当已知a1,d时,用Sn=na1+d.
新知运用
例1　在等差数列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d;
(3)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.
【解析】　(1)
解得
∴a8=a6+2d=10+2×3=16,
S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85.
(2)由已知得S8===172,
解得a8=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,
∴d=5.
(3)S7==7a4=42,∴a4=6,∴Sn====510,∴n=20.
【方法总结】　　等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值:
等差数列的通项公式与前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换思想的应用.
(2)结合等差数列的性质解题:
等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq,常与求和公式Sn=结合使用.
已知在等差数列{an}中,
(1)a1=1,a4=7,求S9;
(2)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.故S9=9a1+d=9+×2=81.
(2)由题意得,Sn===-5,解得n=15.
又a15=+(15-1)d=-,所以d=-.
探究2　等差数列前n项和的性质
　　已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.
问题1:从函数的观点分析Sn关于n的函数具有什么特点
【答案】　Sn=na1+d=n2+n=An2+Bn,其中A=,B=a1-,
故Sn关于n的函数解析式是一个常数项为0的二次函数解析式.
问题2:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析.
【答案】　当m=2时,S2=a1+a2,S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=(a1+a2)+4d,S6-S4=a5+a6=a1+4d+a2+4d=(a1+a2)+8d,所以S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,公差为4d.
同理可得S2m-Sm=(a1+a2+…+a2m)-(a1+a2+…+am)=am+1+am+2+…+a2m=(a1+a2+…+am)+m2d,
S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m=(a1+a2+…+am)+2m2d,
所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,公差为m2d.
问题3:an与S2n-1之间有什么等量关系 利用等差中项和等差数列求和公式进行推导.
【答案】　S2n-1==(2n-1)an.
问题4:S奇为数列{an}所有奇数项的和,S偶为所有偶数项的和,它们之间具有什么关系 对n分类讨论.
【答案】　若项数为2n,则S偶-S奇=a2+a4+…+a2n-a1-a3-…-a2n-1=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=d+d+…+d=nd,===;
若项数为2n-1,由等差数列的性质可知,a2+a2n-2=a1+a2n-1=…=2an,所以S偶=a2+a4+…+a2n-2=(a2+a2n-2)=·2an=(n-1)an,S奇=a1+a3+…+a2n-1=(a1+a2n-1)=·2an=nan,所以S奇-S偶=nan-(n-1)an=an(这里an=a中,a中是中间项),==.
问题5:数列是什么数列
【答案】　已知数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d,所以有=+,=+.因为-=+--=,所以数列是首项为a1,公差为的等差数列.
新知生成
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.
1.Sn=An2+Bn,其中A=,B=a1-.
2.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N+)也是等差数列,公差为m2d.
3.S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).
4.当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,S奇∶S偶=an∶an+1;当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a中,S奇∶S偶=n∶(n-1).
5.若{an}是等差数列,则也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的.
新知运用
例2　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=　　　　.
(2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是　　　　.
(3)(2023·甘肃张掖市期中校际联考)已知数列{an} 的前n 项和为Sn,且Sn=n2+2n.
①求数列{an} 的通项公式;
②求证:数列 是等差数列.
【答案】　(1)60　(2)5
【解析】　(1)∵S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,∴S30-30=20×2-10=30,∴S30=60.
(2)由等差数列前n项和的性质知,====7+,
∴当n=1,2,3,5,11时,为整数,
∴使得为整数的正整数n的个数是5.
(3)①由题意知Sn=n2+2n,∴S1=a1=3,
当n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =n2+2n-(n-1)2-2(n-1) =2n+1,
将n=1 代入上式可得a1=3,故a1满足上式,∴an=2n+1.
②由题意知Sn=n2+2n,∴=n+2,∴-=n+2-(n-1)-2=1,且=3,
∴数列 是以3为首项,1为公差的等差数列,=n+2.
【方法总结】　　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m,…是等差数列;(2)通过等差数列前n项和与通项的关系即可求得的表达式;(3)数列 是等差数列,公差为数列{an}的公差的.
1.已知{an}为等差数列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a20+a21=　　　　.
【答案】　20
【解析】　(法一)设数列{an}的公差为d,则a7+a8+a9=a1+6d+a2+6d+a3+6d=5+18d=10,所以18d=5,故a19+a20+a21=a7+12d+a8+12d+a9+12d=10+36d=20.
(法二)由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6,…,S21-S18成等差数列,设此数列的公差为D,
所以5+2D=10,所以D=,
所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20.
2.一个等差数列前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差为　　　.
【答案】　5
【解析】　设等差数列前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.
由已知条件,得解得
又S偶-S奇=6d,所以d==5.
【随堂检测】
1.已知等差数列{an}的前9项和为27,a10=8,则a100=(　　).
A.100 B.99 C.98 D.97
【答案】　C
【解析】　∵{an}是等差数列,设其公差为d,∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.又∵a10=8,∴解得∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故选C.
2.已知在等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于(　　).
A.160 B.180 C.200 D.220
【答案】　B
【解析】　∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,
∴a1+a20=a2+a19=a3+a18=18,∴S20==10×18=180.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.
【答案】　A
【解析】　因为S2n-1=(2n-1)an,
所以==×=1.
4.(2023·云南昆明五华区质量检测)设数列{an} 的前n 项和为Sn,已知a1=1,an≠0,anan+1=6Sn-2.
(1)证明:an+2-an=6.
(2)求Sn .
【解析】　(1)由题意知anan+1=6Sn-2,an+1an+2=6Sn+1-2,
作差可得an+1(an+2-an)=6an+1,
∵an≠0,∴an+1≠0,an+2-an=6.
(2)由(1)知an+2-an=6,又由条件可得a1a2=6S1-2,得a2=4,
∴{an} 的奇数项构成首项为1,公差为6的等差数列,
{an} 的偶数项构成首项为4,公差为6的等差数列.
又a2-a1=3,∴数列{an} 是首项为1,公差为3的等差数列,an=1+3(n-1)=3n-2,Sn=·n=-.
2

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