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5.3.1课时2　等比数列的性质及其应用
【学习目标】
1.理解等比中项的概念,并能够利用等比中项进行解题.(数学抽象)
2.掌握等比数列的性质,并能够应用该知识进行灵活运算.(逻辑推理、数学运算)
3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.已知等比数列的第m项为am,公比为q,求通项公式an.
【答案】　由am=a1qm-1,得a1=,所以an=a1qn-1=qn-1=amqn-m.
2.若m+n=p+r,m,n,p,r∈N+,在等差数列中有am+an=ap+ar,则在等比数列中,你能得出什么结论
【答案】　在等比数列中,若m+n=p+r,m,n,p,r∈N+,则aman=apar.
3.在等比数列{an}中,若q>1,则{an}是递增数列吗
【答案】　不一定,还需看a1的符号,只有当a1>0,q>1时,{an}才是递增数列.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任意两个实数都有等比中项. (　　)
(2)在等比数列{an}中,a2·a8=a10. (　　)
(3)若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列. (　　)
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.已知等比数列{an}中a1=1,a3=,则a5=(　　).
A.± B.- C. D.±
【答案】　C
【解析】　在等比数列中,=a1·a5,所以a5==.
3.若在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6=(　　).
A.4 B.8 C.16 D.32
【答案】　C
【解析】　∵数列{an}是等比数列,∴a2·a6==16.
4.已知在等比数列{an}中,a7a12=5,则a8a9a10a11=　　　　.
【答案】　25
【解析】　∵数列{an}是等比数列,
∴a8·a11=a9·a10=a7·a12,
∴a8a9a10a11=(a7a12)2=52=25.
【合作探究】
探究1　等比数列的性质
　　1915年,波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”,被人们称为“谢尔宾斯基三角形”,如图所示.如果我们观察图中那些白色三角形的个数,并把它们按面积大小从小到大依次排列起来,可以得到一列数:a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,a5=81,….可以知道,这些数构成等比数列.
问题1:根据这一列数,你能推出等比数列具有哪些独特的性质呢
【答案】　由a1a3==9,a2a4=a1a5==81及通项公式可以得到:若m+n=p+r,则am·an=ap·ar;若m+n=2k,则am·an=.其中m,n,p,r,k∈N+.
问题2:你能证明问题1中的结论吗
【答案】　由等比数列的通项公式可知am·an=a1qm-1·a1qn-1=qm+n-2,ap·ar=a1qp-1·a1qr-1=qp+r-2,因为m+n=p+r(m,n,p,r∈N*),所以qm+n-2=qp+r-2,当m+n=2k(k∈N+)时,有am·an=ap·ar=.
问题3:在等比数列{an}中,若am·an=ap·ar,则m+n=p+r是否一定成立
【答案】　不一定.当数列为非零常数列时结论不成立;当数列为非常数等比数列时结论成立.
问题4:等比数列{an}的前4项为1,2,4,8,判断下列结论是否正确.
(1)数列{3an}是等比数列;(2)数列{3+an}是等比数列;(3)数列是等比数列;(4)数列{a2n}是等比数列.
【答案】　由定义可判断出(1)(3)(4)正确,(2)不正确.
新知生成
1.在等比数列{an}中,若m+n=k+l(m,n,k,l∈N+),则am·an=ak·al.
2.在等比数列{an}中,若m+n=2k(m,n,k∈N+),则am·an=.
3.在等比数列{an}中,若m,n,p(m,n,p∈N+)成等差数列,则am,an,ap成等比数列.
4.在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N+)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
5.如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为q1,q2,那么数列,{an·bn},,{|an|}仍是等比数列,且公比分别为,q1q2,,|q1|.
6.等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1·an=a2·an-1=ak·an-k+1=….
新知运用
例1　将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是(　　).
A.公比为q的等比数列
B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列
D.不一定是等比数列
【答案】　B
【解析】　∵=·=q·q=q2,n≥2且n∈N+,
∴数列{anan+1}是以q2为公比的等比数列,故选B.
例2　已知{an}为等比数列.
(1)若等比数列{an}满足a2a4=,求a1a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
【解析】　(1)在等比数列{an}中,∵a2a4=,∴=a1a5=a2a4=,∴a1a5=.
(2)由等比中项的性质,得+2a3a5+=25,即(a3+a5)2=25,
∵an>0,∴a3+a5=5.
(3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
=log395=10.
【方法总结】　　利用等比数列的性质解题的基本思路:(1)充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.(2)在等比数列的有关运算中,常常涉及次数较高的指数运算,往往是建立关于a1,q的方程组求解,但这样解起来很麻烦.此时,常利用等比数列的性质求解,往往可使问题简单明了.另外,在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.
1.设数列{an}为等比数列,给出下列四个数列:
①{};②{pan}(p为非零常数);③{anan+1};④{an+an+1}.
其中等比数列的个数为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　C
【解析】　设数列{an}的公比为q.
①∵==q3,∴数列{}是等比数列.
②∵==q,∴数列{pan}是等比数列.
③∵==q2,∴数列{anan+1}是等比数列.
④当q≠-1时,==q,∴{an+an+1}是等比数列;当q=-1时,an+an+1=0,∴数列{an+an+1}不是等比数列.故数列{an+an+1}不一定是等比数列.
2.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　.
【答案】　50
【解析】　根据等比数列的性质可得a10a11=a9a12,所以a10a11=e5.令S=ln a1+ln a2+…+ln a20,则S=ln a20+ln a19+…+ln a1,于是2S=20ln(a1a20)=20ln(a10a11)=20ln e5=100,所以S=50.
探究2　等比、等差数列的简单综合问题
　　已知数列{an}是公差d 不为0的等差数列,a1,a2,a5 成等比数列,且a10=19.
问题1:a1,a2,a5 成等比数列,由此你能推出什么等量关系
【答案】　=a1a5.
问题2:如何求数列{an}的通项公式
【答案】　由题意知=a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d),得d2=2a1d(d≠0),所以d=2a1,
又a10=a1+9d=19a1=19,解得a1=1,d=2.
所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
新知生成
对于等差与等比数列的基本量之间的关系,通常利用方程思想和通项公式、等差数列的前n项和公式求解,求解时注意等比数列、等差数列性质的灵活运用.
新知运用
例3　已知三个互不相等的实数成等差数列,如果适当安排这三个数,又可以成等比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.
【解析】　由题意知,这三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d.
∵a-d+a+a+d=6,
∴a=2,即三个数分别为2-d,2,2+d.
①若2-d为等比中项,则(2-d)2=2(2+d),
解得d=6或d=0(舍去),此时三个数分别为-4,2,8.
②若2+d是等比中项,则(2+d)2=2(2-d),
解得d=-6或d=0(舍去),此时三个数分别为8,2,-4;
③若2为等比中项,则22=(2+d)(2-d),
解得d=0(舍去).
综上可知,这三个数是-4,2,8.
【方法总结】　　解决等差数列、等比数列的综合问题应注意的四个方面:
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用;
(2)对于解答题应注意基本量及方程思想;
(3)注重问题的转化,利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列,以便利用公式和性质解题;
(4)当题中出现多个数列时,既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系,又要横向考查各数列之间的内在联系.
　　已知公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和为Sn,S1+1,S3,S4 成等差数列,且a1,a2,a5 成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若S4,S6,Sn 成等比数列,求n 及此等比数列的公比.
【解析】　(1)设数列{an}的公差为d,
由题意可知整理得解得∴an=2n-1.
(2)由(1)知an=2n-1,∴Sn=n2,∴S4=16,S6=36,
又S4Sn=,∴n2==81,∴n=9,q==.
探究3　等比数列在生活中的应用
例4　某林场去年年底森林木材储存量为330万立方米.若树木以每年25%的增长率生长,计划从今年起,每年底要砍伐的木材量为x万立方米.为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标,每年砍伐的木材量x的最大值是多少 (精确到0.01万立方米)
【解析】　记{an}为第n年年底的木材储存量,
则a1=330×(1+25%)-x=330×-x=412.5-x,
a2=a1×(1+25%)-x=330×-x,
…,
an=an-1×(1+25%)-x=an-1-x,
所以an-4x=(an-1-4x),
可得an=(412.5-5x)+4x,
则a20=(412.5-5x)19+4x≥4×330,
整理得85.7×4x≤82.7×330,
所以x≤≈79.61,
所以每年砍伐的木材量的最大值约为79.61万立方米.
【方法总结】　　解等比数列应用题的一般步骤
从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升,然后添满水摇匀,再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀,如此继续下去,问:
(1)第n次操作后溶液的浓度是多少
(2)当a=2时,至少应操作几次后才能使溶液的浓度低于10%
【解析】　(1)由题意知,开始时溶液的浓度为1,设第n次操作后溶液的浓度为an,则第1次操作后溶液的浓度为a1=1-,第(n+1)次操作后溶液的浓度为an+1=an1-,
所以数列{an}是首项为1-,公比为1-的等比数列,
所以an=a1qn-1=1-n,即第n次操作后溶液的浓度是1-n.
(2)当a=2时,令an=n<,得n≥4.
故至少应操作4次后才能使溶液的浓度低于10%.
【随堂检测】
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　).
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
【答案】　D
【解析】　因为=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.
2.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9等于(　　).
A.81 B.27 C.3 D.243
【答案】　A
【解析】　因为数列{an}是等比数列,且a1=1,a10=3,所以a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=3,所以a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(a1a10)4=34=81.故选A.
3.已知在数列4,a,12,b中,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,则b=(　　).
A.20 B.18 C.16 D.14
【答案】　B
【解析】　由题意可得2a=4+12=16,所以a=8,又122=8b,所以b=18.
4.某工厂2022年1月的生产总值为a万元,计划从2022年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,则到2023年8月底该厂的生产总值为　　　万元.
【答案】　a(1+m%)19
【解析】　设从2022年1月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,则an+1=an+anm%,
∴=1+m%,∴数列{an}是首项a1=a,公比q=1+m%的等比数列,
∴an=a(1+m%)n-1,故2023年8月底该厂的生产总值a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19(万元).
25.3.1课时2　等比数列的性质及其应用
【学习目标】
1.理解等比中项的概念,并能够利用等比中项进行解题.(数学抽象)
2.掌握等比数列的性质,并能够应用该知识进行灵活运算.(逻辑推理、数学运算)
3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.已知等比数列的第m项为am,公比为q,求通项公式an.
2.若m+n=p+r,m,n,p,r∈N+,在等差数列中有am+an=ap+ar,则在等比数列中,你能得出什么结论
3.在等比数列{an}中,若q>1,则{an}是递增数列吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任意两个实数都有等比中项. (　　)
(2)在等比数列{an}中,a2·a8=a10. (　　)
(3)若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列. (　　)
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列. (　　)
2.已知等比数列{an}中a1=1,a3=,则a5=(　　).
A.± B.- C. D.±
3.若在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6=(　　).
A.4 B.8 C.16 D.32
4.已知在等比数列{an}中,a7a12=5,则a8a9a10a11=　　　　.
【合作探究】
探究1　等比数列的性质
　　1915年,波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”,被人们称为“谢尔宾斯基三角形”,如图所示.如果我们观察图中那些白色三角形的个数,并把它们按面积大小从小到大依次排列起来,可以得到一列数:a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,a5=81,….可以知道,这些数构成等比数列.
问题1:根据这一列数,你能推出等比数列具有哪些独特的性质呢
问题2:你能证明问题1中的结论吗
问题3:在等比数列{an}中,若am·an=ap·ar,则m+n=p+r是否一定成立
问题4:等比数列{an}的前4项为1,2,4,8,判断下列结论是否正确.
(1)数列{3an}是等比数列;(2)数列{3+an}是等比数列;(3)数列是等比数列;(4)数列{a2n}是等比数列.
新知生成
1.在等比数列{an}中,若m+n=k+l(m,n,k,l∈N+),则am·an=ak·al.
2.在等比数列{an}中,若m+n=2k(m,n,k∈N+),则am·an=.
3.在等比数列{an}中,若m,n,p(m,n,p∈N+)成等差数列,则am,an,ap成等比数列.
4.在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N+)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
5.如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为q1,q2,那么数列,{an·bn},,{|an|}仍是等比数列,且公比分别为,q1q2,,|q1|.
6.等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1·an=a2·an-1=ak·an-k+1=….
新知运用
例1　将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是(　　).
A.公比为q的等比数列
B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列
D.不一定是等比数列
例2　已知{an}为等比数列.
(1)若等比数列{an}满足a2a4=,求a1a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
【方法总结】　　利用等比数列的性质解题的基本思路:(1)充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.(2)在等比数列的有关运算中,常常涉及次数较高的指数运算,往往是建立关于a1,q的方程组求解,但这样解起来很麻烦.此时,常利用等比数列的性质求解,往往可使问题简单明了.另外,在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.
1.设数列{an}为等比数列,给出下列四个数列:
①{};②{pan}(p为非零常数);③{anan+1};④{an+an+1}.
其中等比数列的个数为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　.
探究2　等比、等差数列的简单综合问题
　　已知数列{an}是公差d 不为0的等差数列,a1,a2,a5 成等比数列,且a10=19.
问题1:a1,a2,a5 成等比数列,由此你能推出什么等量关系
问题2:如何求数列{an}的通项公式
新知生成
对于等差与等比数列的基本量之间的关系,通常利用方程思想和通项公式、等差数列的前n项和公式求解,求解时注意等比数列、等差数列性质的灵活运用.
新知运用
例3　已知三个互不相等的实数成等差数列,如果适当安排这三个数,又可以成等比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.
【方法总结】　　解决等差数列、等比数列的综合问题应注意的四个方面:
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用;
(2)对于解答题应注意基本量及方程思想;
(3)注重问题的转化,利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列,以便利用公式和性质解题;
(4)当题中出现多个数列时,既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系,又要横向考查各数列之间的内在联系.
　　已知公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和为Sn,S1+1,S3,S4 成等差数列,且a1,a2,a5 成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若S4,S6,Sn 成等比数列,求n 及此等比数列的公比.
探究3　等比数列在生活中的应用
例4　某林场去年年底森林木材储存量为330万立方米.若树木以每年25%的增长率生长,计划从今年起,每年底要砍伐的木材量为x万立方米.为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标,每年砍伐的木材量x的最大值是多少 (精确到0.01万立方米)
【方法总结】　　解等比数列应用题的一般步骤
从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升,然后添满水摇匀,再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀,如此继续下去,问:
(1)第n次操作后溶液的浓度是多少
(2)当a=2时,至少应操作几次后才能使溶液的浓度低于10%
【随堂检测】
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　).
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
2.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9等于(　　).
A.81 B.27 C.3 D.243
3.已知在数列4,a,12,b中,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,则b=(　　).
A.20 B.18 C.16 D.14
4.某工厂2022年1月的生产总值为a万元,计划从2022年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,则到2023年8月底该厂的生产总值为　　　万元.
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