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6.1.1　函数的变化率问题
【学习目标】
1.结合具体的实例理解函数的平均变化率的概念,会根据具体函数求出函数的平均变化率.(数学建模、数学运算)
2.结合具体情境,掌握以直代曲的数学思想.(数学运算)
3.通过具体的实例理解平均速度的概念,能够明确平均速度和平均变化率之间的关系.(逻辑推理)
【自主预习】
　　很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.
阅读教材,结合上述情境回答下列问题:
1.近似地将气球看成一个球体,气球的半径r(单位:dm)与体积V(单位:L)之间的函数关系是什么
2.气球中空气容量V从0 L增加到1 L时,气球的平均膨胀率是多少
3.气球中空气容量V从1 L增加到2 L时,气球的平均膨胀率是多少
4.气球中空气容量的变化情况与它的平均膨胀率有什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)Δx表示x2-x1,是相对于x1的一个增量,Δx的值可正可负,但不可为零. (　　)
(2)Δy表示f(x2)-f(x1),Δy的值可正可负,也可以为零. (　　)
(3)表示曲线y=f(x)上(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点连线的斜率. (　　)
(4)若物体在某段时间内的平均速度为0,则物体始终处于静止状态. (　　)
2.若一质点按规律s=8+t2运动,则它在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是(　　).
A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1
3.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,其三者的大小关系是　　　　.
4.人们发现,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.计算运动员在时间段①0≤t≤0.5,②1≤t≤2内的平均速度,并思考平均速度有什么作用.
【合作探究】
探究1　平均变化率
　　某市2023年3月和4月某天日最高气温记录如下表.
时间t/d 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温T/℃ 3.5 ℃ 18.6 ℃ 33.4 ℃
　　4月20日那天人们会惊呼“天气热得太快”.
问题:如何从数学的角度刻画气温“陡升”
注意:在平均变化率中,Δx可正可负但Δx不可以为0,Δy可以为0,可以为0.当=0时,并不能说明函数在该区间上一定为常函数,如f(x)=x2在区间[-2,2]上的平均变化率是0,但它不是常函数.
新知运用
例1　已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.
【方法总结】　　可根据定义代入公式直接求解平均变化率,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy,求平均变化率的主要步骤如下:
求函数y=x2在x=1,x=2,x=3附近的平均变化率,并判断哪一点附近的平均变化率最大.
探究2　平均速度
　　小蒙骑自行车由静止沿直线运动,他在第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内通过的位移分别为1 m、2 m、3 m、4 m.
问题:你能求出小蒙骑自行车在这4 s内的平均速度吗
新知生成
如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1新知运用
例2　已知某物体的运动方程为s=t2+2t(s的单位:m,t的单位:s).求:
(1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度;
(2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度;
(3)该物体在t0≤t≤t0+Δt这段时间里的平均速度.
【方法总结】　　1.平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况.平均速度是运动物体在一个时间段内位移的改变量与这段时间的比值.
2.运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间[t0,t1]上的平均变化率,因此求平均速度的实质就是求函数的平均变化率.
以v0(v0>0)为初速度做竖直上抛运动的物体,t时刻的高度为s(t)=v0t-gt2(g为常数),求该物体从t0到t0+Δt的平均速度.
探究3　利用平均变化率解决实际问题
新知运用
例3　甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,治污效果较好的是　　　.
【方法总结】　　当比较函数平均变化率的大小时,可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出,再进行大小的比较.
识图时,一定要结合题意弄清图象所反映的量之间的关系,图象在点x0附近的图象越“陡峭”,函数值的变化就越快.
物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,则下列说法中正确的是(　　).
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
【随堂检测】
1.已知函数f(x)=x2-1的图象上一点P(2,3)及其邻近一点Q(2+Δx,3+Δy),则=(　　).
A.4 B.4Δx C.4+Δx D.Δx
2.一辆汽车在起步的前10 s内,按s=3t2+1(t的单位:s,s的单位:m)的规律做直线运动,则在2≤t≤3这段时间里的平均速度是(　　).
A.4 m/s B.13 m/s
C.15 m/s D.28 m/s
3.(2023·江西萍乡月考)降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气,即开窗通风换气.在某室内,空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的关系如图所示.则下列时间段内,空气中微生物密度变化的平均速度最快的是(　　).
A.[5,10] B.[5,15]
C.[5,20] D.[5,35]
4.已知函数y=x3-2,当x=2时,=　　　　.
26.1.1　函数的变化率问题
【学习目标】
1.结合具体的实例理解函数的平均变化率的概念,会根据具体函数求出函数的平均变化率.(数学建模、数学运算)
2.结合具体情境,掌握以直代曲的数学思想.(数学运算)
3.通过具体的实例理解平均速度的概念,能够明确平均速度和平均变化率之间的关系.(逻辑推理)
【自主预习】
　　很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.
阅读教材,结合上述情境回答下列问题:
1.近似地将气球看成一个球体,气球的半径r(单位:dm)与体积V(单位:L)之间的函数关系是什么
【答案】　r(V)=.
2.气球中空气容量V从0 L增加到1 L时,气球的平均膨胀率是多少
【答案】　当V从0 L增加到1 L时,气球半径增加了r(1)-r(0)≈0.62(dm),
气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L).
3.气球中空气容量V从1 L增加到2 L时,气球的平均膨胀率是多少
【答案】　当V从1 L增加到2 L时,气球半径增加了r(2)-r(1)≈0.16 (dm),
气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L).
4.气球中空气容量的变化情况与它的平均膨胀率有什么关系
【答案】　可以看出,随着气球中空气容量逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)Δx表示x2-x1,是相对于x1的一个增量,Δx的值可正可负,但不可为零. (　　)
(2)Δy表示f(x2)-f(x1),Δy的值可正可负,也可以为零. (　　)
(3)表示曲线y=f(x)上(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点连线的斜率. (　　)
(4)若物体在某段时间内的平均速度为0,则物体始终处于静止状态. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.若一质点按规律s=8+t2运动,则它在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是(　　).
A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1
【答案】　B
【解析】　====4.1,故选B.
3.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,其三者的大小关系是　　　　.
【答案】　>>
【解析】　 ∵==kMA,==kAB,==kBC,由图象可知kMA∴>>.
4.人们发现,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.计算运动员在时间段①0≤t≤0.5,②1≤t≤2内的平均速度,并思考平均速度有什么作用.
【解析】　①在0≤t≤0.5这段时间内,==4.05(m/s);
②在1≤t≤2这段时间内,==-8.2(m/s).
由以上计算可知平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢.
【合作探究】
探究1　平均变化率
　　某市2023年3月和4月某天日最高气温记录如下表.
时间t/d 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温T/℃ 3.5 ℃ 18.6 ℃ 33.4 ℃
　　4月20日那天人们会惊呼“天气热得太快”.
问题:如何从数学的角度刻画气温“陡升”
【答案】　3月18日至4月18日气温平均变化率是≈0.5(℃/d);4月18日至20日气温平均变化率是=7.4(℃/d),显然4月18日至20日气温“陡升”.
新知生成
一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则
(1)自变量的改变量Δx=　x2-x1　;
(2)因变量的改变量Δy=　y2-y1　(或Δf=f(x2)-f(x1));
(3)f(x)在[x1,x2]上的平均变化率为= 或= .
注意:在平均变化率中,Δx可正可负但Δx不可以为0,Δy可以为0,可以为0.当=0时,并不能说明函数在该区间上一定为常函数,如f(x)=x2在区间[-2,2]上的平均变化率是0,但它不是常函数.
新知运用
例1　已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.
【解析】　自变量x从1变到3时,函数f(x)的平均变化率为==5;自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为==4.
【方法总结】　　可根据定义代入公式直接求解平均变化率,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy,求平均变化率的主要步骤如下:
求函数y=x2在x=1,x=2,x=3附近的平均变化率,并判断哪一点附近的平均变化率最大.
【解析】　函数y=x2在x=1附近的平均变化率为k1===2+Δx;
在x=2附近的平均变化率为k2===4+Δx;
在x=3附近的平均变化率为k3===6+Δx.
因为对任意的Δx,有k1所以在x=3附近的平均变化率最大.
探究2　平均速度
　　小蒙骑自行车由静止沿直线运动,他在第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内通过的位移分别为1 m、2 m、3 m、4 m.
问题:你能求出小蒙骑自行车在这4 s内的平均速度吗
【答案】　小蒙骑自行车在这4 s内的平均速度==2.5 m/s.
新知生成
如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1新知运用
例2　已知某物体的运动方程为s=t2+2t(s的单位:m,t的单位:s).求:
(1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度;
(2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度;
(3)该物体在t0≤t≤t0+Δt这段时间里的平均速度.
【解析】　(1)∵Δt=3,Δs=s(3)-s(0)=15,
∴该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度==5(m/s).
(2)∵Δt=3-2=1,Δs=s(3)-s(2)=7,
∴该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度==7(m/s).
(3)∵Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=(2t0+2)·Δt+(Δt)2,
∴该物体在t0≤t≤t0+Δt这段时间里的平均速度==2t0+2+Δt.
【方法总结】　　1.平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况.平均速度是运动物体在一个时间段内位移的改变量与这段时间的比值.
2.运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间[t0,t1]上的平均变化率,因此求平均速度的实质就是求函数的平均变化率.
以v0(v0>0)为初速度做竖直上抛运动的物体,t时刻的高度为s(t)=v0t-gt2(g为常数),求该物体从t0到t0+Δt的平均速度.
【解析】　∵Δs=v0(t0+Δt)-g(t0+Δt)2-=(v0-gt0)Δt-g(Δt)2,
∴=v0-gt0-gΔt,
即该物体从t0到t0+Δt的平均速度为v0-gt0-gΔt.
探究3　利用平均变化率解决实际问题
新知运用
例3　甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,治污效果较好的是　　　.
【答案】　乙
【解析】　在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0),
但是,在t0-Δt处,W1(t0-Δt)即<,所以在相同时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.
【方法总结】　　当比较函数平均变化率的大小时,可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出,再进行大小的比较.
识图时,一定要结合题意弄清图象所反映的量之间的关系,图象在点x0附近的图象越“陡峭”,函数值的变化就越快.
物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,则下列说法中正确的是(　　).
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
【答案】　C
【解析】　在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同;在t0到t1范围内,甲、乙所用的时间相同,而甲走的路程较多,所以甲的平均速度较大.
【随堂检测】
1.已知函数f(x)=x2-1的图象上一点P(2,3)及其邻近一点Q(2+Δx,3+Δy),则=(　　).
A.4 B.4Δx C.4+Δx D.Δx
【答案】　C
【解析】　∵Δy=f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,
∴==4+Δx.
2.一辆汽车在起步的前10 s内,按s=3t2+1(t的单位:s,s的单位:m)的规律做直线运动,则在2≤t≤3这段时间里的平均速度是(　　).
A.4 m/s B.13 m/s
C.15 m/s D.28 m/s
【答案】　C
【解析】　===15(m/s).
3.(2023·江西萍乡月考)降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气,即开窗通风换气.在某室内,空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的关系如图所示.则下列时间段内,空气中微生物密度变化的平均速度最快的是(　　).
A.[5,10] B.[5,15]
C.[5,20] D.[5,35]
【答案】　C
【解析】　如图,分别令t=5、t=10、t=15、t=20、t=35所对应的点为A,B,C,D,E,由图可知|kAD|>|kAE|>|kAC|>|kAB|,
所以[5,20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快.
4.已知函数y=x3-2,当x=2时,=　　　　.
【答案】　(Δx)2+6Δx+12
【解析】　=
==(Δx)2+6Δx+12.
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