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6.1.4　求导法则及其应用
【学习目标】
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.(数学运算)
2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.(逻辑推理、数学运算)
3.利用导数的运算法则解决有关问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.默写基本初等函数的导数公式表.
2.利用定义求函数的导数的一般步骤是什么
3.如何求两函数和、差、积、商的导数
4.[f(x)·g(x)]'与f'(x)·g'(x)相等吗 '与相等吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. (　　)
(2)函数f(x)=xln x的导数是f'(x)=x. (　　)
(3)函数f(x)=是复合函数. (　　)
(4)[f(x)g(x)h(x)]'=f'(x)g'(x)h'(x). (　　)
2.函数f(x)=xex的导数f'(x)=(　　).
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
3.若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a=　　　　.
4.若y=,则y'=　　　　.
【合作探究】
探究1　函数和与差的求导法则
问题1:观察f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x2+x与导数f'(x)=2x,g'(x)=1,h'(x)=2x+1,你有什么发现和猜想
问题2:如何证明你的猜想
新知生成
1.[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
2.[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'= f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).
新知运用
例1　求下列函数的导数.
(1)y=x2+log3 x; (2)y=sin x-2x2.
【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式以及函数和与差的求导法则进行求解.
求下列函数的导数.
(1)y=5-4x3;
(2)y=lg x-.
探究2　函数积与商的求导法则
问题1:你能利用定义求y=f(x)g(x)的导数吗
问题2:对于函数(g(x)≠0),如何求导
新知生成
1.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特别地,当g(x)是常数函数,即g(x)=c时,[cf(x)]'=cf'(x).
2.'=(g(x)≠0).
3.[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x).(a,b为常数)
新知运用
例2　求下列函数的导数.
(1)y=cos x·ln x;
(2)y=x3·ex;
(3)y=.
【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式和函数积与商的求导法则进行求解.
求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=2xcos x-3xlog2020x;
(3)y=x·tan x.
探究3　简单复合函数的求导法则
　　海上一艘油轮发生了泄漏事故,泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜,油膜的面积S(单位:m2)关于油膜半径r(单位:m)的函数为S=f(r)=πr2.油膜的半径r随着时间t(单位:s)的增加而增大,假设r关于t的函数为r=φ(t)=2t+1.
问题1:你知道上述情境中S关于t的函数是怎样复合而成的吗
问题2:你能求出S关于t的函数的导数吗
新知生成
1.复合函数的概念
一般地,已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的任意一个值,就能确定u的值.如果此时还能确定y的值,那么y可以看成x的函数,此时称f(g(x))有意义,且称y=h(x)=f(g(x))为函数　f(u)　与　g(x)　的复合函数,其中　u　称为中间变量.
2.复合函数的求导法则
一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f(g(x)),则可以证明复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=　f'(u)g'(x)　=　f'(g(x))g'(x)　.这一结论也可以表示为y'x=　y'uu'x　.
新知运用
例3　求下列函数的导数.
(1)y=ln(x+2);
(2)y=(1+sin x)2.
　
【方法总结】　　应用复合函数的求导法则求导时,应注意以下几个方面:
(1)中间变量的选取应是基本函数结构.
(2)正确分析函数的复合层次,并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导.
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导.
(4)善于把一部分表达式作为一个整体.
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.熟练后,就不必再写中间步骤.
求下列函数的导数.
(1)y=e2x+1;
(2)y=(-2)2.
【随堂检测】
1.若f(x)=sin x+cos,则f'(α)=(　　).
A.sin α B.cos α
C.sin+cos α D.cos+sin α
2.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为　　　　　.
3.某物体做直线运动时,其运动规律为s=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4 s末的瞬时速度应为　　　　 m/s.
4.已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线,求切线l的方程.
26.1.4　求导法则及其应用
【学习目标】
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.(数学运算)
2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.(逻辑推理、数学运算)
3.利用导数的运算法则解决有关问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.默写基本初等函数的导数公式表.
【答案】　基本初等函数的导数公式表:
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=0
f(x)=xα(α≠0) f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
2.利用定义求函数的导数的一般步骤是什么
【答案】　第一步:求函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x);第二步:求平均变化率=;第三步:取极限,得导数y'=f'(x)=.
3.如何求两函数和、差、积、商的导数
【答案】　利用导数的四则运算法则.
4.[f(x)·g(x)]'与f'(x)·g'(x)相等吗 '与相等吗
【答案】　都不相等.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. (　　)
(2)函数f(x)=xln x的导数是f'(x)=x. (　　)
(3)函数f(x)=是复合函数. (　　)
(4)[f(x)g(x)h(x)]'=f'(x)g'(x)h'(x). (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.函数f(x)=xex的导数f'(x)=(　　).
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
【答案】　A
【解析】　f'(x)=x'ex+x(ex)'=ex+xex=ex(x+1),故选A.
3.若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a=　　　　.
【答案】　1
【解析】　∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax,故f'(1)=2a=2,∴a=1.
4.若y=,则y'=　　　　.
【答案】　
【解析】　∵y=ln x,∴y'=·=.
【合作探究】
探究1　函数和与差的求导法则
问题1:观察f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x2+x与导数f'(x)=2x,g'(x)=1,h'(x)=2x+1,你有什么发现和猜想
【答案】　h(x)=f(x)+g(x);h'(x)=f'(x)+g'(x);[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).
问题2:如何证明你的猜想
【答案】　设h(x)=f(x)+g(x),
则=
=
=
=+,
所以==+,
即h'(x)=f'(x)+g'(x).
新知生成
1.[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
2.[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'= f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).
新知运用
例1　求下列函数的导数.
(1)y=x2+log3 x; (2)y=sin x-2x2.
【解析】　 (1)y'=(x2+log3x)'=(x2)'+(log3x)'=2x+.
(2)y'=(sin x-2x2)'=(sin x)'-(2x2)'=cos x-4x.
【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式以及函数和与差的求导法则进行求解.
求下列函数的导数.
(1)y=5-4x3;
(2)y=lg x-.
【解析】　(1)y'=-12x2.
(2)y'=+.
探究2　函数积与商的求导法则
问题1:你能利用定义求y=f(x)g(x)的导数吗
【答案】　因为Δy=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x),
所以=
=
=·g(x+Δx)+·f(x),
其中=f'(x),g(x+Δx)=g(x),=g'(x),
所以y'==f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
所以[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),即两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数的导数.
问题2:对于函数(g(x)≠0),如何求导
【答案】　'=
=
=
=
=.
新知生成
1.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特别地,当g(x)是常数函数,即g(x)=c时,[cf(x)]'=cf'(x).
2.'=(g(x)≠0).
3.[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x).(a,b为常数)
新知运用
例2　求下列函数的导数.
(1)y=cos x·ln x;
(2)y=x3·ex;
(3)y=.
【解析】　(1)y'=(cos x·ln x)'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin x·ln x+.
(2)y'=(x3·ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)'
=3x2·ex+x3·ex=ex(x3+3x2).
(3)y'='=
==-.
【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式和函数积与商的求导法则进行求解.
求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=2xcos x-3xlog2020x;
(3)y=x·tan x.
【解析】　(1)y'=
=
=-.
(2)y'=(2x)'cos x+(cos x)'2x-3[x'log2020x+(log2020x)'x]
=2xln 2·cos x-sin x·2x-3log2020x+log2020ex
=2xln 2·cos x-2xsin x-3log2020x-3log2020e.
(3)y'=(xtan x)'='
=
=
=
==.
探究3　简单复合函数的求导法则
　　海上一艘油轮发生了泄漏事故,泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜,油膜的面积S(单位:m2)关于油膜半径r(单位:m)的函数为S=f(r)=πr2.油膜的半径r随着时间t(单位:s)的增加而增大,假设r关于t的函数为r=φ(t)=2t+1.
问题1:你知道上述情境中S关于t的函数是怎样复合而成的吗
【答案】　S关于t的函数是由函数S=πr2和r=2t+1复合而成的.
问题2:你能求出S关于t的函数的导数吗
【答案】　S'(t)=S'(r)·r'(t)=2πr·2=4π(2t+1).
新知生成
1.复合函数的概念
一般地,已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的任意一个值,就能确定u的值.如果此时还能确定y的值,那么y可以看成x的函数,此时称f(g(x))有意义,且称y=h(x)=f(g(x))为函数　f(u)　与　g(x)　的复合函数,其中　u　称为中间变量.
2.复合函数的求导法则
一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f(g(x)),则可以证明复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=　f'(u)g'(x)　=　f'(g(x))g'(x)　.这一结论也可以表示为y'x=　y'uu'x　.
新知运用
例3　求下列函数的导数.
(1)y=ln(x+2);
(2)y=(1+sin x)2.
　　【解析】　(1)令y=ln u,u=x+2,
则y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(x+2)'=·1=.
(2)令y=u2,u=1+sin x,
则yx'=yu'·ux'=(u2)'·(1+sin x)'
=2u·cos x=2cos x(1+sin x).
【方法总结】　　应用复合函数的求导法则求导时,应注意以下几个方面:
(1)中间变量的选取应是基本函数结构.
(2)正确分析函数的复合层次,并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导.
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导.
(4)善于把一部分表达式作为一个整体.
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.熟练后,就不必再写中间步骤.
求下列函数的导数.
(1)y=e2x+1;
(2)y=(-2)2.
【解析】　(1)令y=eu,u=2x+1,
则y'x=y'u·u'x=(eu)'·(2x+1)'=2eu=2e2x+1.
(2)(法一)∵y=(-2)2=x-4+4,
∴y'=x'-(4)'+4'
=1-4×=1-.
(法二)令u=-2,
则yx'=yu'·ux'=2(-2)·(-2)'=2(-2)·=1-.
【随堂检测】
1.若f(x)=sin x+cos,则f'(α)=(　　).
A.sin α B.cos α
C.sin+cos α D.cos+sin α
【答案】　B
【解析】　∵f(x)=sin x+cos,∴f'(x)=cos x,∴f'(α)=cos α.故选B.
2.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为　　　　　.
【答案】　ln 2
【解析】　∵y=ln(x+a),∴y'=.设切点为(x0,y0),则y0=2x0-1,y0=ln(x0+a),且=2,
解得a=ln 2.
3.某物体做直线运动时,其运动规律为s=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4 s末的瞬时速度应为　　　　 m/s.
【答案】　
【解析】　由题意得s=t2+,
可得瞬时速度v=s'=2t-,
故它在第4 s末的瞬时速度应为2×4-=(m/s).
4.已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线,求切线l的方程.
【解析】　f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1.
所以f'(x)=2ax-2+=,
所以f'(0)=-1,
所以切点P的坐标为(0,1),切线l的斜率为-1,
所以切线l的方程为x+y-1=0.
2

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