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6.2.1　导数与函数的单调性
【学习目标】
1.理解导数与函数的单调性的关系.(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.(数学抽象、逻辑推理)
3.会用导数求函数的单调区间.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.我们知道判断函数y=x2的单调性可以用定义法、图象法,对于函数y=x3-3x,如何判断它的单调性呢
【答案】　定义法是解决问题的根本方法,但是定义法较烦琐,又不能画出它的图象.通过前面的学习,我们可以通过研究函数的导数来判断它的单调性.
2.函数f(x)的单调性与导数有什么关系
【答案】　在区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
3.如何利用导数求函数f(x)的单调区间
【答案】　先求定义域,令f'(x)>0,结合定义域得单调递增区间,令f'(x)<0,结合定义域得单调递减区间.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则一定有f'(x)>0. (　　)
(2)若 x∈(a,b),f'(x)>0,则函数f(x)在(a,b)上单调递增. (　　)
(3)若 x∈(a,b),f'(x)=0,则函数f(x)在(a,b)上不单调. (　　)
(4)已知f(x)是定义在R上的可导函数,若 x≥a,f(x)≥f(a),则f'(a)≥0. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　　).
A.y=sin x B.y=xex
C.y=x3-x D.y=ln x-x
【答案】　B
【解析】　(sin x)'=cos x,(xex)'=ex+xex=(1+x)ex,(x3-x)'=3x2-1,(ln x-x)'=-1,当x∈(0,+∞)时,只有(xex)'=(1+x)ex>0恒成立.
3.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
【答案】　[-1,0]和[2,+∞)
【解析】　∵当-1≤x≤0或x≥2时,f'(x)≥0,
∴函数f(x)的单调递增区间为[-1,0]和[2,+∞).
4.证明函数f(x)=x+在(0,1]上单调递减.
【解析】　f'(x)=1-=,∵x∈(0,1],∴x2-1≤0(当且仅当x=1时,等号成立),
∴f'(x)≤0,∴f(x)=x+在(0,1]上单调递减.
【合作探究】
探究1　函数的单调性与导数
　　问题1:如图,这是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象以及其速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象,试说明运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别
【答案】　通过观察图象,可以发现:
(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)单调递增,相应地,v(t)=h'(t)>0;
(2)运动员从最高点到入水,离水面的高度h随时间t的增加而减小,即h(t)单调递减,相应地,v(t)=h'(t)<0.
问题2:观察下面一些函数的图象,探究函数的单调性和导数正负的关系.
【答案】　图象(1)中,在区间(-∞,+∞)上,y'=1>0,y=x是增函数;
图象(2)中,在区间(-∞,0)上,y'=2x<0,y=x2是减函数,在区间(0,+∞)上,y'=2x>0,y=x2是增函数;
图象(3)中,在区间(-∞,+∞)上,y'=3x2≥0,y=x3是增函数;
图象(4)中,在区间(-∞,0),(0,+∞)上,y'=-<0,y=是减函数.
新知生成
1.函数的单调性
(1)如果在区间(a,b)内,f'(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都　大于0　,曲线呈　上升　状态,因此f(x)在(a,b)上是　增　函数,如图(1)所示;
(2)如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都　小于0　,曲线呈　下降　状态,因此f(x)在(a,b)上是　减　函数,如图(2)所示.
　　图(1)　　　　　　图(2)　　
2.对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明:
(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,在其余的点恒有f'(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似);
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f'(x)不恒为0.
新知运用
例1　利用导数判断下列函数的单调性.
(1)f(x)=x3-x2+2x-5;(2)f(x)=x--ln x;(3)f(x)=x-ex(x>0).
【解析】　(1)因为f(x)=x3-x2+2x-5,所以f'(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以函数f(x)=x3-x2+2x-5在R上单调递增.
(2)因为f(x)=x--ln x,x∈(0,+∞),
所以f'(x)=1+-==>0,所以f(x)=x--ln x在(0,+∞)上单调递增.
(3)因为f(x)=x-ex,x∈(0,+∞),所以f'(x)=1-ex<0,所以f(x)=x-ex在(0,+∞)上单调递减.
例2　(2023·安徽卓越第二次月考)已知函数f(x)=2ln(1-x)-.
(1)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
【解析】　(1)由f(x)=2ln(1-x)-,得f'(x)=+=.
因为f'(-1)=0,f(-1)=2ln 2+1,所以曲线y=f(x)在点(-1,2ln 2+1)处的切线方程为y=2ln 2+1.
(2)由题意可知,函数y=f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1),由(1)知,当x<-1时,f'(x)<0,函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减;当-10,函数f(x)在(-1,0)和0,上单调递增;当综上所述,函数y=f(x)的单调递增区间为(-1,0)和0,,单调递减区间为(-∞,-1),,1.
【方法总结】　　1.利用导数判断或证明函数单调性的思路:利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式f'(x)>0(f'(x)<0)在给定区间上恒成立.一般步骤:①求导数f'(x);②判断f'(x)的符号;③给出单调性的结论.
特别提醒:如果出现个别点使f'(x)=0,不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性.
2.求函数y=f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集与定义域的交集上为增函数.
(4)解不等式f'(x)<0,函数在解集与定义域的交集上为减函数.
求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x+sin x,x∈(0,2π);
(2)f(x)=2x-ln x.
【解析】　(1)由题意知,f'(x)=+cos x,令f'(x)>0,得+cos x>0,即cos x>-.
∵x∈(0,2π),∴0同理,令f'(x)<0,得∴该函数的单调递增区间为0,和,2π,单调递减区间为,.
(2)∵函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=2-,
令2->0,解得x>;令2-<0,解得0∴该函数的单调递增区间为,+∞,单调递减区间为0,.
探究2　导函数图象与原函数图象的关系
　　问题1:结合图象,如何从导数的角度解释函数增减快慢的情况
【答案】　一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.
如图所示,函数y=f(x)在(0,b)或(a,0)内的图象“陡峭”,在(b,+∞)或(-∞,a)内的图象“平缓”.
问题2:若函数f(x)在(a,b)上满足f'(x)>0(或f'(x)<0),则f(x)在(a,b)上具备什么样的单调性
【答案】　若f'(x)>0,则f(x)在(a,b)上为增函数;若f'(x)<0,则f(x)在(a,b)上为减函数.
问题3:若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单调递增(减)函数,则f'(x)满足什么条件
【答案】　f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
新知生成
一般地,若函数y=f(x)为可导函数,则在区间(a,b)上有如下关系:
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭” (向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”
新知运用
例3　已知函数y=xf'(x)(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)的图象如图所示,则下面四个图象中,是函数y=f(x)的大致图象的是(　　).
　　　 　　　　 A　　　　　　　　　B
　　　　 　　　　C　　　　　　　　　D
【答案】　C
【解析】　由函数y=xf'(x)的图象可得,
当x<-1时,xf'(x)<0,f'(x)>0,可知函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增;
当-10,f'(x)<0,可知函数f(x)在(-1,0)上单调递减;
当0当x>1时,xf'(x)>0,f'(x)>0,可知函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.
综上所述,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).故选C.
【方法总结】　　研究函数与导函数图象之间关系的方法:研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
已知函数f(x)的导函数f'(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是(　　).
　 A　　　　　　B　　　　　　 C　　　 　　　D
【答案】　D
【解析】　观察导函数f'(x)的图象可知,当x<0或x>x1时,f'(x)<0,函数f(x)在(-∞,0)和(x1,+∞)上单调递减;当00,函数f(x)在(0,x1)上单调递增.故选D.
【随堂检测】
1.函数f(x)=2x-sin x在R上是(　　).
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定
【答案】　A
【解析】　f'(x)=2-cos x,∵cos x≤1,
∴f'(x)>0,∴f(x)在R上是增函数.
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f'(x)的图象可能是(　　).
A　　　　　　　　　　 B
C　　　　　　　　　　　　 D
【答案】　D
【解析】　由f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴在(0,+∞)上f'(x)<0,在(-∞,0)上f'(x)>0,故选D.
3.函数f(x)=3+xln x的单调递增区间是　　　　.
【答案】　
【解析】　函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,即ln x+1>0,得x>,故函数f(x)的单调递增区间为.
4.已知函数f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.求:
(1)a的值;
(2)函数f(x)的单调区间.
【解析】　(1)对f(x)=+-ln x-求导,得f'(x)=--(x>0),由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x,得f'(1)=--a=-2,解得a=.
(2)由(1)知,f(x)=+-ln x-(x>0),则f'(x)==,令f'(x)=0,解得x=-1或x=5.由于x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.当x∈(0,5)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,5)上为减函数;当x∈(5,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(5,+∞)上为增函数.所以f(x)=+-ln x-的单调递减区间为(0,5),单调递增区间为(5,+∞).
26.2.1　导数与函数的单调性
【学习目标】
1.理解导数与函数的单调性的关系.(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.(数学抽象、逻辑推理)
3.会用导数求函数的单调区间.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.我们知道判断函数y=x2的单调性可以用定义法、图象法,对于函数y=x3-3x,如何判断它的单调性呢
2.函数f(x)的单调性与导数有什么关系
3.如何利用导数求函数f(x)的单调区间
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则一定有f'(x)>0. (　　)
(2)若 x∈(a,b),f'(x)>0,则函数f(x)在(a,b)上单调递增. (　　)
(3)若 x∈(a,b),f'(x)=0,则函数f(x)在(a,b)上不单调. (　　)
(4)已知f(x)是定义在R上的可导函数,若 x≥a,f(x)≥f(a),则f'(a)≥0. (　　)
2.下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　　).
A.y=sin x B.y=xex
C.y=x3-x D.y=ln x-x
3.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
4.证明函数f(x)=x+在(0,1]上单调递减.
【合作探究】
探究1　函数的单调性与导数
　　问题1:如图,这是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象以及其速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象,试说明运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别
问题2:观察下面一些函数的图象,探究函数的单调性和导数正负的关系.
新知生成
1.函数的单调性
(1)如果在区间(a,b)内,f'(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都　大于0　,曲线呈　上升　状态,因此f(x)在(a,b)上是　增　函数,如图(1)所示;
(2)如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都　小于0　,曲线呈　下降　状态,因此f(x)在(a,b)上是　减　函数,如图(2)所示.
　　图(1)　　　　　　图(2)　　
2.对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明:
(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,在其余的点恒有f'(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似);
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f'(x)不恒为0.
新知运用
例1　利用导数判断下列函数的单调性.
(1)f(x)=x3-x2+2x-5;(2)f(x)=x--ln x;(3)f(x)=x-ex(x>0).
例2　(2023·安徽卓越第二次月考)已知函数f(x)=2ln(1-x)-.
(1)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
【方法总结】　　1.利用导数判断或证明函数单调性的思路:利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式f'(x)>0(f'(x)<0)在给定区间上恒成立.一般步骤:①求导数f'(x);②判断f'(x)的符号;③给出单调性的结论.
特别提醒:如果出现个别点使f'(x)=0,不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性.
2.求函数y=f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集与定义域的交集上为增函数.
(4)解不等式f'(x)<0,函数在解集与定义域的交集上为减函数.
求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x+sin x,x∈(0,2π);
(2)f(x)=2x-ln x.
探究2　导函数图象与原函数图象的关系
　　问题1:结合图象,如何从导数的角度解释函数增减快慢的情况
问题2:若函数f(x)在(a,b)上满足f'(x)>0(或f'(x)<0),则f(x)在(a,b)上具备什么样的单调性
问题3:若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单调递增(减)函数,则f'(x)满足什么条件
新知生成
一般地,若函数y=f(x)为可导函数,则在区间(a,b)上有如下关系:
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭” (向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”
新知运用
例3　已知函数y=xf'(x)(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)的图象如图所示,则下面四个图象中,是函数y=f(x)的大致图象的是(　　).
　　　 　　　　 A　　　　　　　　　B
　　　　 　　　　C　　　　　　　　　D
【方法总结】　　研究函数与导函数图象之间关系的方法:研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
已知函数f(x)的导函数f'(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是(　　).
　 A　　　　　　B　　　　　　 C　　　 　　　D
【随堂检测】
1.函数f(x)=2x-sin x在R上是(　　).
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f'(x)的图象可能是(　　).
A　　　　　　　　　　 B
C　　　　　　　　　　　　 D
3.函数f(x)=3+xln x的单调递增区间是　　　　.
4.已知函数f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.求:
(1)a的值;
(2)函数f(x)的单调区间.
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