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6.2.2 课时2　导数与函数的最大(小)值
【学习目标】
1.借助函数图象,直观地理解函数的最大值和最小值的概念.(直观想象)
2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系.(数学抽象、逻辑推理)
3.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.(逻辑推理、数学建模、数学运算)
【自主预习】
1.如图,观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象,你能找出它的极大值、极小值吗
2.对上述的函数y=f(x),你能找出它在区间[a,b]上的最大值、最小值吗 在区间(a,b)上呢
3.结合上述问题,如果区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么可以得出什么结论
4.如何求连续函数f(x)在[a,b]上的最值
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一般地,连续函数f(x)在[a,b]上既有最大值,又有最小值. (　　)
(2)函数的极值可以有多个,但最大(小)值最多只能有一个. (　　)
(3)最大(小)值一定是函数的极大(小)值. (　　)
(4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值. (　　)
2.函数f(x)=x+在区间[-3,-1]上的最大值为(　　).
A.-2 B.-3
C.- D.-
3.函数f(x)=x3-3x2+6x-10在区间[-1,1]上的最大值为　　　　.
4.求函数f(x)=sin 2x-x在-,上的最大值和最小值.
【合作探究】
探究1　函数的最值
　　问题1:y=f(x)在区间[a,b]上的函数图象如图所示.显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗
问题2:在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,想一想,在[a,b]上一定存在最值和极值吗 在区间(a,b)上呢
问题3:函数的极值与最值的区别是什么
新知生成
1.函数的最值
(1)一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函数的最值点一定是某个　极值点　;
(2)如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是　区间端点a或b　,要么是　极值点　.
2.求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值,开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).
新知运用
例1　求函数f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最大值与最小值.
【方法总结】　　1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤:
(1)求函数f(x)的导函数f'(x);
(2)计算函数f(x)在区间(a,b)内使得f'(x)=0的所有点的函数值以及端点的函数值f(a)与f(b);
(3)比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.
2.求一个函数在无穷区间(或开区间)上的最值与在闭区间上的最值的方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
求下列函数的最值.
(1)f(x)=2sin x-x,x∈-,;(2)f(x)=(x2-3)ex.
探究2　含参函数的最值问题
例2　已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(1)若f'(1)=5,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
【方法总结】　　对于含参函数的最值问题,由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,故解决此类问题时可通过导函数值为0时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定.
已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.
探究3　由函数的最值求参数问题
例3　已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
【方法总结】　　已知函数的最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值.结合已知求出参数,进而使问题得以解决.要注意极值点是否在区间内.
已知a,b为常数且a>0,f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+b.函数f(x)的极大值为2,且在区间[0,3]上的最小值为-2a+b,求a,b的值.
【随堂检测】
1.下列结论正确的是(　　).
A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定在x=a和x=b处取得
D.若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
2.函数f(x)=的最大值为(　　).
A.a B.(a-1)e C.e1-a D.ea-1
3.(多选题)已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列说法错误的是(　　).
A.x=-3是函数y=f(x)的极值点
B.x=-1是函数y=f(x)的最小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.y=f(x)在x=0处的切线的斜率小于零
4.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m∈[-1,1],则f(m)的最小值为　　　　.
26.2.2 课时2　导数与函数的最大(小)值
【学习目标】
1.借助函数图象,直观地理解函数的最大值和最小值的概念.(直观想象)
2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系.(数学抽象、逻辑推理)
3.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.(逻辑推理、数学建模、数学运算)
【自主预习】
1.如图,观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象,你能找出它的极大值、极小值吗
【答案】　能.f(x1),f(x3),f(x5)是函数y=f(x)的极小值;f(x2),f(x4),f(x6)是函数y=f(x)的极大值.
2.对上述的函数y=f(x),你能找出它在区间[a,b]上的最大值、最小值吗 在区间(a,b)上呢
【答案】　函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(a),最小值是f(x3).若区间改为(a,b),观察图象可知,f(x)有最小值f(x3),无最大值.
3.结合上述问题,如果区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么可以得出什么结论
【答案】　一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.
4.如何求连续函数f(x)在[a,b]上的最值
【答案】　求出函数f(x)在[a,b]上的极值和端点值,然后进行比较,最大者为最大值,最小者为最小值.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一般地,连续函数f(x)在[a,b]上既有最大值,又有最小值. (　　)
(2)函数的极值可以有多个,但最大(小)值最多只能有一个. (　　)
(3)最大(小)值一定是函数的极大(小)值. (　　)
(4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.函数f(x)=x+在区间[-3,-1]上的最大值为(　　).
A.-2 B.-3
C.- D.-
【答案】　A
【解析】　f'(x)=1-,令f'(x)=0,且x∈[-3,-1],解得x=-,x=(舍去).
当-3≤x≤-时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增;
当-≤x≤-1时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减.
所以函数f(x)的最大值是f(-)=-2.
3.函数f(x)=x3-3x2+6x-10在区间[-1,1]上的最大值为　　　　.
【答案】　-6
【解析】　因为f'(x)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3>0,
所以函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,
所以当x=1时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(1)=-6.
4.求函数f(x)=sin 2x-x在-,上的最大值和最小值.
【解析】　f'(x)=2cos 2x-1.令f'(x)=0,且x∈-,,解得x=-或x=.
又f-=-,f=-,f-=,f=-,其中最大,-最小,
所以函数f(x)的最大值为,最小值为-.
【合作探究】
探究1　函数的最值
　　问题1:y=f(x)在区间[a,b]上的函数图象如图所示.显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗
【答案】　能.最大值y=M=f(x3)=f(b)分别在x=x3及x=b处取得,最小值y=m=f(x4)在x=x4处取得.
问题2:在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,想一想,在[a,b]上一定存在最值和极值吗 在区间(a,b)上呢
【答案】　在区间[a,b]上一定有最值,但不一定有极值.如果函数f(x)在[a,b]上是单调的,那么此时f(x)在[a,b]上无极值;如果f(x)在[a,b]上不是单调函数,那么f(x)在[a,b]上有极值.当f(x)在(a,b)上为单调函数时,它既没有最值也没有极值.
问题3:函数的极值与最值的区别是什么
【答案】　函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值;最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得;有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
当连续函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个导数为零的点时,若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值),这里的(a,b)也可以是无穷区间.
新知生成
1.函数的最值
(1)一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函数的最值点一定是某个　极值点　;
(2)如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是　区间端点a或b　,要么是　极值点　.
2.求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值,开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).
新知运用
例1　求函数f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最大值与最小值.
【解析】　 f'(x)=x2-4,当f'(x)>0时,x<-2或x>2;
当f'(x)<0时,-2所以在[0,3]上,当x=2时,f(x)取得极小值,极小值为f(2)=-.
又f(0)=4,f(3)=1,所以函数f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最大值为4,最小值为-.
【方法总结】　　1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤:
(1)求函数f(x)的导函数f'(x);
(2)计算函数f(x)在区间(a,b)内使得f'(x)=0的所有点的函数值以及端点的函数值f(a)与f(b);
(3)比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.
2.求一个函数在无穷区间(或开区间)上的最值与在闭区间上的最值的方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
求下列函数的最值.
(1)f(x)=2sin x-x,x∈-,;(2)f(x)=(x2-3)ex.
【解析】　(1)f'(x)=2cos x-1,x∈-,,
令f'(x)=0,解得x1=,x2=-.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x - -,- - -, ,
f'(x) -1 - 0 + 0 - -1
f(x) -2+ ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 2-
　　由上表知,x=为极大值点,x=-为极小值点,
f=-,f-=-+,
f=2-,f-=-2+.
因为f>f,f-　　所以f(x)max=-,f(x)min=-+.
(2)函数的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)·ex=ex(x2+2x-3)=ex(x+3)(x-1).
令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3所以函数f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)内单调递增,在(-3,1)内单调递减.因此函数f(x)在x=-3处取得极大值,且极大值为f(-3)=6e-3;在x=1处取得极小值,且极小值为f(1)=-2e.
又令f(x)>0,得x>或x<-;令f(x)<0,得-由函数图象可得,函数f(x)的最小值就是函数的极小值f(1)=-2e,无最大值.
探究2　含参函数的最值问题
例2　已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(1)若f'(1)=5,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
【解析】　(1)f'(x)=3x2-2ax,
因为f'(1)=3-2a=5,所以a=-1.
又当a=-1时,f(1)=2,f'(1)=5,
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为5x-y-3=0.
(2)令f'(x)=0,解得x1=0,x2=.
当≤0,即a≤0时,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在[0,2]上单调递增,从而f(x)max=f(2)=8-4a.
当≥2,即a≥3时,f'(x)≤0恒成立,所以f(x)在[0,2]上单调递减,从而f(x)max=f(0)=0.
当0<<2,即0综上所述,f(x)max=
【方法总结】　　对于含参函数的最值问题,由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,故解决此类问题时可通过导函数值为0时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定.
已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.
【解析】　f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),
令f'(x)=0,解得x1=-,x2=a.
①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(a)=-a3.
②当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0.
③当a<0时,f(x)在0,-上单调递减,在-,+∞上单调递增,所以f(x)min=f-=.
综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3;
当a=0时,f(x)的最小值为0;
当a<0时,f(x)的最小值为.
探究3　由函数的最值求参数问题
例3　已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
【解析】　存在.显然a≠0,f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,且x∈[-1,2],解得x1=0,x2=4(舍去).
①若a>0,则当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x [-1,0) 0 (0,2]
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
　　∴当x=0时,f(x)取得极大值,同时也是最大值,∴b=3.
又∵f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),∴当x=2时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,解得a=2.
②若a<0,则当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x [-1,0) 0 (0,2]
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
　　∴当x=0时,f(x)取得极小值,同时也是最小值,∴b=-29.
又∵f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1),∴当x=2时,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,解得a=-2.
综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
【方法总结】　　已知函数的最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值.结合已知求出参数,进而使问题得以解决.要注意极值点是否在区间内.
已知a,b为常数且a>0,f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+b.函数f(x)的极大值为2,且在区间[0,3]上的最小值为-2a+b,求a,b的值.
【解析】　f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1).
令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a.
∵a>0,∴x1当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x (-∞,-1) -1 (-1,a) a (a,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
　　∴当x=-1时,f(x)有极大值2,即3a+2b=3.
①当0∴f(a)为最小值,且f(a)=-a3-a2+b,
即-a3-a2+b=-2a+b,解得a=1(a=0和a=-4舍去).
又3a+2b=3,∴b=0,
∴a=1,b=0.
②当a≥3时,可知f(x)在[0,3]上单调递减,
∴当x=3时,f(x)取到[0,3]上的最小值.
∴f(3)=27+(1-a)-9a+b=-2a+b,
∴解得a=,
∵<3,∴此时没有符合条件的a,b.
综上所述,满足题意的a=1,b=0.
【随堂检测】
1.下列结论正确的是(　　).
A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定在x=a和x=b处取得
D.若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
【答案】　D
【解析】　函数f(x)在[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,而在[a,b]上一定存在最大值和最小值.
2.函数f(x)=的最大值为(　　).
A.a B.(a-1)e C.e1-a D.ea-1
【答案】　D
【解析】　f'(x)=,
所以当x<1-a时,f'(x)>0;当x>1-a时,f'(x)<0.
所以f(x)在(-∞,1-a)上单调递增,在(1-a,+∞)上单调递减,
所以f(x)max=f(1-a)=ea-1.
3.(多选题)已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列说法错误的是(　　).
A.x=-3是函数y=f(x)的极值点
B.x=-1是函数y=f(x)的最小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.y=f(x)在x=0处的切线的斜率小于零
【答案】　BD
【解析】　易知-3是函数y=f(x)的极小值点,故A正确;
根据导函数图象可知当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0,
∴函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故C正确;
∵f(x)在(-3,1)上单调递增,∴x=-1不是函数y=f(x)的最小值点,故B错误;
∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,∴切线的斜率大于零,故D错误.
4.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m∈[-1,1],则f(m)的最小值为　　　　.
【答案】　-4
【解析】　f'(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0.
即-3×4+4a=0,故a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),
∴f(x)在[-1,0]上单调递减,在(0,1]上单调递增,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
2

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