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2023 学年第二学期学校初三数学大练习（三）
（满分 150 分，考试时间 100 分钟）（2024.3）
同学们请注意：
1.本次大练习含三个大题，共 25 题；请按照由易到难的顺序答题，遇．到．难．题．可暂．时．跳．过．；
2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答；
3.除第一、二大题外，其余各题都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题
纸的相应位置上．】
1.下列四个选项中，不正确的是 ······································································ （▲）
（A）0 的相反数是0 ；（B）0 的倒数是0 ； （C）0 的绝对值是0 ；（D）0 的立方根是0 .
2.下列关于 x的方程中，一定有实数根的方程是 ················································ （▲）
3
（A） x +1= 0 2；（B） x +1= 0； （C） x +1= 0； （D）ax = b（a、b均为实数）．
3.图 1 所示的 4 个选项中的曲线，不属于函数图像的是 ·········································· (▲)[
y
y y
y
1 1 1 1
O
O 1 x O 1 x O 1 x 1 x
（A） （B） 图 1 （C） （D）
4.甲、乙两位同学相约打乒乓球.现有款式完全相同的 4 个乒乓球拍，分别记为 A、B、C 、D，
如果甲同学先从中随机选取 1 个，乙再从余下的球拍中随机选取 1 个，那么乙同学选中C 号
球拍的概率是 ····························································································· （▲）
1 1 1 7
（A） ； （B） ； （C） ； （D） .
2 3 4 12
5. 已知四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件中能够判断有一组对边平行
的是 ········································································································· （▲）
（A）AD∶BC = AO∶CO； （B）AD∶BC = DO∶CO；
（C）AO∶BO = CO∶DO； （D）AO∶BO = DO∶CO.
6.下列四个命题中，真命题是 ········································································ （▲）
（A）垂直于弦的直线平分弦； （B）平分弧的直径经过圆心；
（C）平分弦的直线垂直于弦； （D）垂直于半径的弦过圆心.
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二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
1 1
7.计算：32 34 = ▲ ．
8.分解因式： x2 +4x+3= ▲ ．
x > 3
9.如果不等式组 的解集是 x >3，那么实数m的取值范围是 ▲ ．
x > m
10.如果关于 x的一元二次方程 x2 +2x+m = 0有两个相等的实数根，那么m的值为 ▲ ．
1
11.函数 y = 的定义域为 ▲.
2x 3
12.一次函数 y = kx+3（ k 0）的图像与 y 轴的交点坐标为 ▲ .
13.点（ 1，0 ）在一个二次项系数为1的二次函数的图像上，试写出一个符合题意的二次函
数的解析式： ▲ ．
14.如图 2 所示，已知 AB ∥ CD ， E 在 AB 上，点 G 在 CD 上， EFG = 60 ，如果
AEF = ， CGF = ，如果用含 的代数式表示 ，那么 = ▲ .
15.如图 3，点O是等边三角形 ABC的重心,OA = a ，OB = b ，那么向量CB可以表示为 ▲

（用向量a、b 的线性组合表示）.
4
16.将反比例函数 y = 的图像向左平移 2 个单位长后，所得的图像与 y 轴的交点坐标为 ▲ .
x
17.研究一类几何图形，我们首先需要给出这类图形的定义.如图 4，有这样一类凸四边形
ABCD，满足 AB = AD，CB =CD，这时，我们习惯上将这样的图形称为筝形.请你用文
A
字语言给筝形下个定义：▲ .
C
EA α B
B D
F 60°
O
β
C D
G A B
图 2 图 3 C
图 4
18.已知四边形 ABCD是矩形，且 AB BC .如果该矩形只剪两刀就可以得到三个等腰三角
形，那么 ACB的正切值为 ▲ .
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三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19. （本题满分 10 分）
3 1 1计算： 8 + + ( ) 2+ | 3 5 | .
2+ 5 3
20．（本题满分 10 分）
x 3y = 2 （1）
解方程组
x
2 2xy + y2 16 = 0 （2）
21.（本题满分 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分）
已知太阳光线与水平线的夹角为60 （如图 5），如果一个圆形物体在水平线上形成的影
将太阳光线视为平行光线
长为10 3 米.
… … … …
（1）请在图 5 所示的直线MN 上画出表示这个
圆形物体影长的线段；
（2）求这个圆形物体的半径长.
60°
M N
A 水平线
图 5
22.（本题满分 10 分，其中第（1）小题满分 4 分，第（2）（3）小题满分各 3 分）
一种水杯，甲、乙、丙三家商场的定价都是 25 元/每个，但是优惠方式不同：
甲商场：每买 4 个送 1 个；乙商场：全场八五折；丙商场：每满 200 元减 50 元.
（1）如果买 7 个水杯，从最优惠的角度思考，如何购买？请设计一个购买方案；
（2）如果用 1200 元钱，去哪家商场购买的水杯最多（只去其中的一家商场购买）？为什么？
（3）在保持商场的盈利不变的前提下，你还能够帮助这三家商场分别再设计出一个新的广告
用语吗？
23.（本题满分 12 分，每小题满分 6 分）
如图 6 所示，已知△ABC的三边分别为a，b ， c， C
2 2
（1）如果 A= 2 B，求证：a b = bc； b a
a2 b2（2）如果 = bc，求证： A= 2 B . A c B
图 6
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24. （本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）
2
在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y = x + 3x + c与 x 轴交于 A、B两点（点 A在点B
左侧），与 y 轴交于点C，且 AB = 5 .
y
D
（1）求点 A、B的坐标以及该抛物线的表达式；
C
（2）如图 7，如果点D是抛物线的顶点，过点D作 y 轴的平行线，
E
交 BC于点E，联结BD，求△BDE 的面积； 1
B
A O 1 x2
（3）如果P(x1，y )、1 Q(x，y ) 在抛物线 y = x + 3x + c上， 2 2
图 7
y2 y我们将 1 称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为 (P，Q)，
x2 x1
y
即 (P，Q) = 2
y1 . 当 x1 + x2 2时，求 (P，Q)的取值范围.
x2 x1
25.（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）、（3）小题满分各 5 分）
已知：AB 、AC 是⊙O的两条弦，AB = AC（如图 8），点M 、N 分别在弦 AB 、AC
上，且 AM =CN ， AM AN ，联结OM 、ON .
（1）求证：OM =ON ；
（2）当 BAC是锐角时，如果 AO2 = AM AC，求证：四边形 AMON 是等腰梯形.
（3）过M 作ME ⊥ AB，交⊙O于E；过 N 作 NF ⊥ AC，交⊙O于点F ，如图 9.
求证：EM = FN .
A A A
E
M M
N F
O O N O
B C B C B C
图 8 图 9 备用图
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{#{QQABKQYUggAIAIBAABgCUQGACAGQkBAAACoOgAAAMAIAyQNABAA=}#}2023学年第二学期学校初三数学大练习（三）参考答案
请各个阅卷小组在此基础上制定评分细则
选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.B；2. A；3.C；4.C；5. C；6.B.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.（只要满足即可）；14.；15.；16. ；17.有一条对角线为对称轴的四边形是筝形；18.或.
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. （本题满分10分）
解： 8+2分
20．（本题满分10分）
解：原方程组可以化为：或. 4分
解方程组，得. 2分
解方程组，得. 2分
∴原方程组的解为，. 2分
21.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
解：（1）如图所示，找到圆心，画出过点的切线，且说明线段为表示影长的线段，可以得4分.说明：如果学生表示影长的线段描述为图中的线段，可以得2分.
（2）分别过作、、的垂线，垂足分别为、、，如图所示.
易得：， 1分
进而可证，.
进而可得，，
，设， ……1分
在中，；……1分
在中，；……1分
依据题意，得：.…………1分
解得 .
答：该圆形物体的半径长为米. 1分
22.（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）（3）小题各3分）
解：（1）在甲商场用100元购买4个水杯，可以得到5个水杯，另外在甲商场再支付50元可以购买2个水杯，即在甲商场购买7个水杯，需要支付150元。 1分
在乙商场购买7个水杯，需要支付元； 1分
在丙商场够买7个水杯，需要支付元；
现在甲商场用100元购买4个水杯，可以得到5个水杯；另外再在乙商场购买2个水杯，需要消费元，累计需要142.5元. 1分
因此，购买7个水杯，可以先在甲商场购买4个水杯，得到5个水杯，然后再到乙商场购买2个水杯最优惠。
（2）设在甲商场用1200元可以购买个水杯，依据题意得：.
即 ，. 1分
设在乙商场用1200元可以购买个水杯，依据题意得：.
即 ，因此，用在乙商场用1200元可以购买56个水杯. 1分
在丙商场消费满200元，可以节省50元；因此，在丙商场用150元可以购买8个水杯。
所以在丙商场消费1200元可以购买（个）。 1分
（3）甲商场：购买5个水杯可以打八折；或满125元减25元或充1000送250元；1分
乙商场：消费100元立减15元，消费1000元立减150元； 1分
丙商场：每购买8个水杯可以打七五折或者充2000元送600元等等。 1分
23.（本题满分12分，每小题满分6分）
证明：（1）延长至，使得，联结.
容易证明：.……………………………………3分
∴.∴.……………………………………2分
进而可得 .………………………………………1分
（2）辅助线同第（1）小题.
∵ ，∴，，即. 1分
∴. 1分
又∵是公共角，∴. 1分
∴. 1分
又由可得. 1分
∴. 1分
24. （本题满分12分，每小题满分各4分）
解：（1）抛物线的对称轴为直线. 1分
又 ，依据抛物线的对称性，易得、. 2分
将代入，可得.
故，该抛物线的表达式为. 1分
（2）由题意可得 ，设直线的表达式为.
将、代入，得，解得.
即直线的表达式为. 1分
抛物线的顶点坐标为. 1分
∵与轴平行，∴点横坐标与点的横坐标相等，
将代入，可得.故. 1分
∴的面积为. 1分
（3）∵ 、在抛物线上，
∴=. 3分
又 ∵，∴=. 1分
25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）
解：（1）联结、，易得，. 1分
∵，，，
∴.
∴. 1分
又∵，∴.
又∵，，
∴. 1分
∴. 1分
（2）∵，∴.
又∵，∴. 1分
∴. 1分
又∵，∴.
∴. 1分
又∵与不平行，∴四边形是梯形. 1分
又∵，∴.
又∵，∴梯形是等腰梯形. 1分
（3）分别过作，交于；过点作，交于.
过点作，过点作垂足分别为、.
又 ∵，∴. 1分
又 ∵，∴.
∴. 1分
∵，
∴四边形是矩形，∴，. 1分
同理 ，.
∴.
又∵，∴. 1分
∴.
又∵，∴，∴. 1分

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