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2023-2024海城市第二中学八下期初寒假作业验收
数学试卷
时间：90分钟；满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图片是几所名牌大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　 　）
A．B．C．D．
2、下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3、下列分式是最简分式的是（ 　）
A． B． C． D．
4．已知，则的值为 （ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
5．下面是小林做的4道作业题：（1）；（2）；（3）；（4）．做对一题得2分，则他共得到（ ）
A．2分 B．4分 C．6分 D．8分
6．如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠OAD＝(　 )
A．95° B．85° C．75° D．65°
6题图 7题图
7．如图，正方形中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′
恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为( )
A．18° B．20° C．24° D．28°
如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，
当AP＝CQ时，PQ交AC于点D，则DE的长为(　 　)
A． B． C． D．不能确定
8题图 9题图
10. 长沙宁乡曾出土过四羊方尊、人面方鼎等国之重器，还是中国礼乐文化中心，其周文化基因世代传承．为了丰富学生社会实践活动经历，某中学组织学生乘车去距学校的炭河里青铜博物馆参观学习，回程的平均速度比去程的平均速度快20千米/时，回程路上所花时间比去程节省了．设去程的平均速度为千米/时，下列方程正确的（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．当x 时，分式有意义．
12．随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接
收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航
产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022
用科学记数法表示为 ．
13. 如图，是蜡烛的平而镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平而直角坐标系.若火焰顶部P点的坐标是，则对应虚像顶部Q点的坐标是 ．
13题图 14题图 15题图
如图，某时刻码头A和码头B分别在游船M的南偏东和南偏东方向上，已知A，B相距1000
米，此时游船M距离岸边AB的距离为 米.
15．如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为______.
三、解答题（本大题共8小题，共75分.）
16．（8分）计算：
（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）； （2）；
（10分）（1）因式分解：； （2）解分式方程：．
（8分）先化简，再求值：，其中．
19.（8分）
（1）如图1所示设计的折叠凳坐着舒适、稳定．
折叠凳这种设计所运用的数学原理是 　 　．
（2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息求的长度．
20．（9分）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD；
（2）请用无刻度的直尺作出CD边的中点F（不写作法，保留作图痕迹）．
21．(10分)习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是最深厚的文化软实力，是中国特色社会主义植根的沃土，是我们在世界文化激荡中站稳脚跟的根基．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．
（1）求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元；
（2）该校共购进“四大名著”多少套？
22.(10分) 我们把形如 (m，n不为零) ，且两个解分别为 的方程称为“十字分式方程”.
例如 为十字分式方程，可化为
再如 为十字分式方程，可化为
应用上面的结论解答下列问题：
(1) 若 为十字分式方程，则.
（2).若十字分式方程 的两个解分别为 求 的值.
(3)若关于x的十字分式方程 的两个解分别为x ， 求 的值.
23．（12分）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究．
如图，在等边三角形ABC中，过点B作射线BM∥AC，在射线CB上取一点P（不与点B，C重合），作∠APE＝60°，∠APE的边PE交射线BM于点E．
（1）【动手操作】
如图1，若点P在线段CB上，图中与∠EPB相等的角为 　 　；
（2）【问题探究】
在（1）的基础上，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
当点P在射线CB上移动时，用等式表示线段BC，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（　C　） 2、（ B ）3、（　C　）4．（ D ）5．（ C ）
6．(　B　)7．（ D ）8．(　C　)9．(　 B　)10. （ A ）
二、填空题（每题3分，共15分）
11．
12．2.2×10﹣8
13.
14.500
15．
三、解答题（本大题共8小题，共75分.）
16．（1）原式＝2a﹣a2+a2﹣1＝2a﹣1；
（2）原式＝2023+1﹣6+4＝2022；
17．（1）（2）
18．解：
，
当时，原式=4
19.（1）三角形具有稳定性；
（2）CB＝36cm，理由如下：
∵O是AB和CD的中点，
∴，
在△AOD和△BOC中，
，
∴，
又∵AD＝36，
∴BC＝AD＝36cm．
20．【解答】（1）证明：在△ACB和△ADE中，
，
∴△ACB≌△ADE（SAS）；
（2）解：如图，点F即为所求．
21．（1）150元；（2）44套
解：（1）设第一批购进“四大名著”每套的价格为x元，
则根据题意，得
解得
经检验是所列方程的解．
答：第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元．
（2）当时，，
所以（套）．
答：该校共购进“四大名著”44套．
22.(1)
（2). - (3)2
23．解：（1）∵∠APB＝∠BCA+∠PAC＝∠APE+∠BEP，∠APE＝∠ACB＝60°，
∴∠EPB＝∠PAC，
故答案为：∠PAC；
（2）PA＝PE，理由如下：
如图，延长MB至H，使BH＝BP，连接PH，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵BM∥AC，
∴∠ACB＝∠CBH＝60°，
又∵BP＝BH，
∴△BPH是等边三角形，
∴PH＝BP＝BH，∠H＝60°＝∠ABC＝∠APE＝∠BPH，
∴∠APB＝∠EPH，
∴△APB≌△EPH（ASA），
∴AP＝AE；
（3）当点P在BC上时，BC＝BP+BE，当点P在线段CB的延长线上时，BE＝BP+BC，理由如下：
当点P在BC上时，由（1）可知：△APB≌△EPH，
∴AB＝EH，
∴BC＝EH＝EB+BH＝BE+BP；
当点P在线段CB的延长线上时，如图2，在BE上截取BH＝BP，连接PH，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵BM∥AC，
∴∠ACB＝∠PBH＝60°，
又∵BP＝BH，
∴△BPH是等边三角形，
∴PH＝BP＝BH，∠BHP＝60°＝∠ABC＝∠APE＝∠BPH，
∴∠APB＝∠EPH，∠EHP＝∠ABP＝120°，
∴△APB≌△EPH（ASA），
∴EH＝AB，
∴BE＝BH+EH＝BP+BC．

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