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2009年高考数学冲刺临考预测题目示例
陕西特级教师 安振平
●考点预测：
选择题：
1．集合；2.复数（理科）；3.函数与反函数；4.函数、抽象函数与不等式；5.向量、充要条件；6.直线与圆；7.线性规划；8.圆锥曲线的基本性质；9.等差、等比数列的通项与前n项和；10.直线与平面的位置关系；11.函数、数列极限（理科）；12.智能型的创新题。
填空题：
13.二项式定理；14.球和组合体的相关计算；15.三角计算；16.多填型的综合题。
解答题：
17.三角形的三角函数，三角恒等变形，正余弦定理；三角函数与向量的综合，考查求最值。
18.（理科）实际应用型的概率计算、分别列和数学期望；（文科）实际应用型的概率计算。
19.柱体里的平面与直线的位置关系，二面角大小的相关计算。
20.（理科）递推数列，求通项，求参数的取值范围；（文科）简单递推数列，求通项，求前n项的和。
21.椭圆与向量结合，考查求动点的轨迹方程，研究曲线方程的性质。
22. （理科）指、对数函数综合，恒成立型的问题，求参数的取值范围，证明不等式；（文科）包含参数的三次函数，确定单调区间，求极值，求参数的范围。
●几点思考
1.陕西高考数学命题3年，三年考题年年出现的，显然是常考的知识点，是常考的题型，望读者重新做题，重新体验与感悟之。
2.对三年没有在考题里出现的知识点，或考查不突出的知识点，特别是2008年没有考查的知识点，望高三教师能梳理与关注之。
3.以上我们预测的知识点，望读者能在做过的题目里、课本的典型例子里寻找对于的题目，使得预测点具体化，以便使做题、读题、思考和技能提升，知识点的网络化得到一个比较好的建构。“看了又看，想了又想”是一个良好的建议。
●题目示例
1．已知全集，则
A． B．
C． D．
2．(理)若是虚数单位,且复数为实数,则实数等于
A． B． C． D．
（文）已知都是实数,那么“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设等差数列的前项和为，且，则
A．18 B．36 C．45 D．60
4．设为不同的直线，为不同的平面，有如下四个命题：
 若，则∥  若，则
 若，则∥  若∥且∥则
其中正确的命题个数是
A． B． C． D．
5．（理）某一批袋装大米，质量服从正态分布N（10，0.01）（单位：kg），任选一袋大米，它的质量是9.8kg～10.2kg内的为（已知
A. 0.8413 B. 0.9544 C. 0.9772 D. 0.6826
（文）某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家.为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是
A．2 B.3 C.5 D.13
6．把函数的图象按向量=（－，0）平移，所得曲线的一部分如图所示，则，的值分别是
A．1， B．2，－ C．2， D．1，－
7．(理) 是圆上任意一点，若不等式恒成立，则c的取值范围是
A． B．
C． D．
(文) 已知，则的最小值为
A．4 B． C．2 D．1
8．曲线C的方程是，设圆M过点，且圆心M在曲线C上，EG是圆M在轴上截得的弦，当M运动时，弦长
A．等于4 B．等于3 C．等于2 D．不为定值
9．若双曲线的右支上存在一点，使点到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么该双曲线的离心率的取值范围是
Ａ．　　 Ｂ．　　 Ｃ．　　 Ｄ．
10．对任意实数，函数都满足，则函数的图象关于
A．直线对称 B．直线对称
C．点对称 D．点对称
11．以依次表示方程的根，则的大小顺序为
A． B． C． D．
12．（理）家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措.我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t 的函数关系如下图所示.在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是
(文)某航空公司经营A,B,C,D四个城市之间的客运业务，其中部分单程机票的价格如下：
A,B区间：2000元；A,C区间：1600元；A,D区间：2500元；B,C之间：1200元；C,D区间：900元。已知这家公司规定的机票与城市间的直线距离成正比，则B,D区间机票价格为 （ ）
A．1200元 B．1500元 C．1600元 D．2000元
13．(理) 若展开式的第9项的值为12，则= ．
(文) 如图，，与的夹角为，
与的夹角为，， ，，
若=，则= .
14．在直角坐标系中，若不等式组表示一个
三角形区域,则实数的取值范围是 .
15．设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面、截球的两个截面圆的半径分别为和，二面角的平面角为，则球的表面积为 .
16．某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分（如图），现有4种不
同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻
部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______________
种.（用数字作答）
17．在中,分别为内角所对的边，且满足
.
(Ⅰ)求的大小；
(Ⅱ)现给出三个条件：①； ②；③
试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择并以此为依据求的面积.(只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分)
18．（理）袋中有8个颜色不同，其它都相同的球，其中1个为黑球，3个为白球，4个为红球.
（I）若从袋中一次摸出2个球，求所摸出的2个球恰为异色球的概率；
（II）若从袋中一次摸出3个球，且所摸得的3
球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，
记此时得到红球的个数为，求随机变量的概
率分布律，并求的数学期望和方差.
（文）按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称
活动). 该校高三一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．
（I）求该班学生参加活动的人均次数；
（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（要求：答案
用最简分数表示）
19．如图,侧棱垂直底面的三棱柱的
底面位于平行四边形中,,
,,点为中点.
（Ⅰ）求证:平面平面.
（Ⅱ）设二面角的大小为,直线
与平面所成的角为,求的值.
20．(理) 已知函数．
（I）求的单调区间；
（II）若不等式恒成立，求实数的取值组成的集合．
(文) 已知函数（），其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
21．设椭圆的离心率为=,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为4.
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.
22．（理）已知函数，其中为常数，且.
（Ⅰ）求函数在上的最大值；
（Ⅱ）数列中，，，其前项和满足
，且设，
证明：对任意的，，；
（Ⅲ）证明：．
(文)若数列满足，其中为常数，则称数列为等方差数列。已知等方差数列满足，，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，则当实数大于4时，不等式能否对于一切的恒成立？请说明理由.
答案：
1.C. 2.理C；文A.3.C. 4.A. 5.理 B；文C. 6.B. 7.理B；文D. 8.A. 9.B. 10.C. 11.C.
12．B. 13.理2；文0. 14. . 15. . 16.72.
17．(Ⅰ)依题意得,即.
∵, ∴, ∴, ∴.
(Ⅱ)方案一：选择①②
由正弦定理，得,
.
.
方案二：选择①③
由余弦定理,有,则,,…………………10分
所以.
说明:若选择②③,由得，不成立,这样的三角形不存在.
18．（理）（I）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为，故所求概率为； （6分）
（II）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有种不同摸法，一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有种不同摸法，一种是所摸得的3球均为红球，共有种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有种.
由题意随机变量的取值可以为，，. 得随机变量的概率分布律为：
1
2
3
，
.
（文）由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．
（I）该班学生参加活动的人均次数为=．
（II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．
19．（Ⅰ）法一、在平行四边形中, ∵,,,点为中点.
∴,,从而,即.
又面,面
∴,而, ∴平面.
∵平面 ∴平面平面.
法二、∵,,,点为中点.
∴,,，
∴.
又面,面，∴,
而,∴平面
∵平面 ∴平面平面.
（Ⅱ）方法一、由（Ⅰ）可知,
∴为二面角的平面角,即,
在中,,
,.
以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
其中,,,,
,,
设为平面的一个法向量,则,∴即
令,得平面的一个法向量,
则,
又, ∴,
∴,
即.
方法二、由（Ⅰ）可知,
∴为二面角的平面角,即,
在中,,
,.
过点在平面内作于,连结,
则由平面平面,且平面平面,得平面
∴为直线与平面所成的角,即
在中,,
,.
∴,
即.
20．（理）（I）由已知得．因为，
所以当．
故区间为的单调递减区间，区间为的单调递增区间.
（II）(i)当时，．
令，则．
由（１）知当时，有，所以，
即得在上为增函数，所以，
所以．
(ii)当时，．
由①可知，当时，为增函数，所以，
所以．
综合以上,得．故实数的取值组成的集合为．
(文) （Ⅰ）．
当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：
0
2
f(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
减
极小值
增
极大值
减
极小值
增
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅱ），显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须成立，即有．
解些不等式，得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
（Ⅲ）由条件，可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，
即，在上恒成立．
所以，因此满足条件的的取值范围是．
21．(I)依题意知,
∵,.
∴所求椭圆的方程为.
（II）∵ 点关于直线的对称点为，
∴
解得 ，.
∴.
∵ 点在椭圆:上,∴, 则.
∴的取值范围为.
22．（理）（Ⅰ）由，得
则.
，∴当时，；当时，，
∴当时，取得最大值．
（Ⅱ）由题意知，即.
∴
.
检验知、时，结论也成立，故.
所以，令，则，
由（Ⅰ）可知， .
∴对任意的，不等式成立.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有
．
令，则.
则．
∴原不等式成立．
（文）（Ⅰ）由，得，，∴
，
∵，∴
数列的通项公式为；
（Ⅱ）
设 ①
②
①－②，得
∴
∴
即数列的前项和为
（Ⅲ）解法1：，不等式恒成立，
即对于一切的恒成立。
设，当时，由于对称轴，且
而函数在是增函数，∴不等式恒成立，
即当时，不等式对于一切的恒成立
解法2：，不等式恒成立，即对于一切的恒成立。
∴ ∵，∴．而
∴恒成立．
故当时，不等式对于一切的恒成立．
复习建议
1.纠错，防错；
2.回归教材，回归往年陕西考题；
3.每类题型，总结几句解答套路，形成解答的基本思考途径。
4.数学思想方法是解题的基本方法，诸如：转化与化归思想；函数思想、方程观点；字母的分类讨论；数与形的结合，增强画图意识，读图翻译的意识。
5.基础知识要熟记，基本技能要熟练，基本操作要灵活，基本运算要过关。
6.“设、列、解”是解题的基本程序，规范书写、严密推理、准确运算、快速作答是基本要求。

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