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板块相对速度—时间图像问题
摘要：在习题和考试中，经常遇到相对运动速度随时间变化的图像问题，本文就这类问题进行探讨，发现将相对速度随时间变化的图像转化为速度时间图像可大大简化解题过程，提高解题效率，培养科学思维素养，体现物理逻辑，强调结论应用，给学生提供解题思路，最终达到提高解题能力的目的．
关键词：还原法；滑块；相对运动；图像；参考系
1问题提出
两个物体之间的相对运动是一种常见的运动形式，即某一物体对另—物体而言的相对位置的连续变动，滑块木板问题是典型的相对运动模型．如果题目已知滑块木板运动的相对速度时间关系，笔者发现将其转化为速度时间图像，能直观、简便、巧妙的反映二者之间的物理规律，对解题有独特的优越性，在本质上可理解为参考系的转化．常见的无外力作用下的滑块问题的和如表一．
示意图 图 图
（水平面粗糙） （水平面光滑）
（）
（）
表一
2典例品鉴
例1 如图1甲所示，在光滑水平面上放置一木板A，在A上放置物块B，A和B的质量均为m=1kg．A与B之间的动摩擦因数，时刻起，对A施加沿水平方向的变力作用，使A和B均由静止开始运动．取水平向右为正方向，B相对于A的速度用表示，其中和分别为A和B相对水平面的速度．在0~2s时间内，对速度随时间t变化的关系如图2乙所示．运动过程中B始终未脱离A，重力加速度取g=10m/s2．求：
(1)时间内，B相对水平面的位移；
(2)时刻，A相对水平面的速度．
解析 (1)由图乙可知，在内，B与A存在相对速度，可知此过程B一直受到A给其的滑动摩擦力，由牛顿第二定律，B的加速度大小始终为，在内，小于0，此时B相对于水平面向右做匀加速运动，在1.5s末时二者共速，在内，大于0，此时B相对于水平面向右做匀减速运动，结合图像，显然在内，，A的加速度为，在内，，A的加速度为，在内，，A的加速度为，在同一坐标系内画出二者运动的图像，如图2所示，由图可知，时间内，B相对水平面的位移为．
(2)在2s时B的速度为，由图乙可知，2s时，则．或
点评 本题考查图像在滑块问题中的应用，对学生的科学思维和知识迁移能力有较高的要求，理解图像所围的面积在数值上表相对位移，斜率表相对加速度，选取正方向是解题的关键，画出图像是巧解必不可少的环节．
例2 如图3甲所示，一长木板A在水平地面上向右运动，在时刻将以无初速度的物块B轻放到木板上，取水平向右为正方向，B相对于A的速度用表示，在内，相对速度随时间t变化的关系如图3乙所示．已知A、B的质量相等，A与B及A与地面之间均有摩擦（动摩擦因数不等），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，B始终没有滑出A，重力加速度g=10m/s2．求：
（1）A与B间，A与地面间动摩擦因数；
（2）从时刻到A与B均停止时，B相对于A的位移大小．
解析 （1）由图乙可知，在内，B与A存在相对速度，可知此过程B一直受到A给其的滑动摩擦力，设A与B间的动摩擦因数为，由牛顿第二定律，B的加速度大小始终为，在内，小于0，此时B相对于水平面向右做匀加速运动，在0.5s末时二者共速，在内，大于0，此时B相对于水平面向右做匀减速运动，在内，设A与地面间动摩擦因数为，由牛顿第二定律，A的加速度为，且A的初速度为，结合图像，在内，，在内，A的加速度为，，代入数据，，解得：，．
（2）在同一坐标系内画出二者运动的图像，如图4所示，B相对A的位移为．
点评 本题仍然考查图像在滑块问题中的应用，与上题不同的是，本题没有外力作用，但两个接触面均有摩擦，且初速度不都为零，因，二者共速后，将按各自的加速度相对运动．通过比较本题的图像，可以看出它就是2013年全国卷Ⅱ压轴题，只是已知条件由长木板的图改成了物块与木板的图，设问都完全相同．
例3 如图5甲所示，光滑水平地面上停放着一辆平板车A，其右端有一块静止的小金属块B．金属块与平板车间有摩擦，与中点为界，前后两段动摩擦因数不同，金属块与车的前段间的动摩擦因数为，与后段间的动摩擦因数为．现给车施加一个向右的水平恒力，使车向右运动，同时金属块在车上开始滑动，当金属块滑到中点时，即撤去这个力，最后金属块恰停在车的左端．已知平板车的质量为金属块的2倍，取水平向右为正方向，B相对于A的速度用表示，在时间内，相对速度随时间t变化的关系如图5乙所示．若在时刻，平板车的速度为金属块的2倍，求：与的比值．
解析 由题意和乙图，在同一坐标系内画出二者的图像，如图6所示，设金属块和平板车的共同速度为，由动量守恒，解得，因前后段相对位移相等，即表相对位移的两个三角形的面积相等，显然，由牛顿第二定律，对金属块在前段运动有：，对金属块在后段运动有：，解得：．
点评 本题仍然考查图像在滑块问题中的应用，因水平面光滑，且后半段撤去外力，所以后半段动量守恒，且共速后二者一直匀速运动，不再有相对运动．
总结 通过以上几例可以看出，在解决相对运动时，特别是已知相对速度时间图像问题时，虽可以用解析法、相对运动公式求解，但将图像转化为速度时间图像求解更简便．
1．如图（a），一长方体木板B放在粗糙水平地面上，上面放置小物块A，A、B的质量均为1kg。取水平向右为正方向，木板B相对于A运动的速度用表示，其中和分别为A和B相对水平地面的速度。在时刻，同时突然分别给A、B初速度，其中A的初速度为，负号表示速度方向水平向左。在0~4s时间内，相对速度随时间变化的关系如图（b）。运动过程中A始终未脱离B，重力加速度g取。求：
（1）从时刻到B停止运动的过程中，B所受摩擦力的总冲量；
（2）A与B之间的动摩擦因数以及B与地面之间的动摩擦因数；
（3）从时刻到B停止运动的过程中，A与B之间，B与地面之间因摩擦产生的总热量。
【详解】（1）B的初度为设A、B的质量均为m，从时刻到B停止运动的过程中，B所受摩擦力的总冲量等于动量的变化量，有解得负号表示冲量的方向水平向左
（2）0～3s内，A、B的加速度分别为和，由图（b）知，B初始时向右运动，根据牛顿第二定律木板B相对于A运动的加速度为图线斜率，有3～4s内，B相对于A向左运动，A、B的加速度分别为和，根据牛顿第二定律木板B相对于A运动的加速度为图线斜率，有联立解得
（3）设时A、B共速的速度为，有之后，B减速到零的时间此时，A的速度为由能量守恒定律得，从时刻到B停止运动的过程中，A与B间、B与地面间因摩擦产生的总热量为解得
2．如图1所示，在光滑水平面上放置一足够长且质量为M＝2kg的平板A，在A上放置质量为m＝3kg的物块B，A与B之间的动摩擦因数，t＝0时刻起，对A施加沿水平方向的力，A和B由静止开始运动。取水平向右为正方向，B相对于A的速度用表示；其中和分别为A和B相对水平面的速度。在0~1.5s时间内，相对速度随时间t变化的关系如图2所示，1.5s后A和B速度均保持不变，直到A的右端与墙发生正碰。已知碰撞时间极短，碰撞过程中无机械能损失，整个过程B未与墙相碰且始终未脱离A，重力加速度g取。求：
（1）0~1.5s时间内，B相对水平面的位移大小；
（2）整个过程中B相对A的总位移大小；
（3）A和墙第一次相碰后，A所走的总路程。
【详解】（1）0~1.5s时间内，，所以B的速度始终比A小，因此B受到向右的摩擦力，向右一直做加速运动，有得B相对水平面的位移大小为
（2）由，得根据图像可得在AB开始运动到A第一次与墙碰撞的过程中，B相对A的总位移大小即为图像在0~1.5s内与横轴围成的面积，所以有B相对于A相左运动3m。A和墙第一次相碰前速度为，有A与墙碰撞后，B相对于A向右运动（或速度相同时相对静止），即A与墙碰撞后B相对于A向右运动的位移为解得则整个过程中B相对A的总位移大小为方向向右。
（3）A和墙第一次相碰前速度为，有碰后A速度大小不变，方向反向，A的加速度为所以A的加速度大于B的加速度，因此A先减速到零，再加速与B共速后继续向右运动与墙发生碰撞，第一次相碰后，由匀变速直线运动公式有A向左运动的距离为后返回向右运动，进行第二次碰撞，此段路程为。在第二次碰撞前AB共速，根据动量守恒有解得则第二次碰撞后A向左运动的距离为在第三次碰撞前AB继续共速，有解得则第三次碰撞后A向左运动的距离为以此类推，经过n次后，A停止，则总路程为，根据数学知识，等比数列求和，有所以当n趋向于无穷大时，可得
3．如图甲所示，在光滑水平面上放置一木板A，在A上放置物块B，A和B的质量均为2kg，A与B之间的动摩擦因数。t＝0时刻起，对A施加一水平方向的力，A和B由静止开始运动，取水平向右为正方向，B相对于A的速度用表示，其中和分别为A和B相对于水平面的速度，在0~4s时间内，相对速度随时间t变化的关系如图乙所示．运动过程中B没有脱离A，重力加速度取，求：
（1）0~4s内，B相对于水平面的位移（计算结果可取分数）；
（2）0~2s内，水平外力对A做的功。
【详解】（1）内，B相对A向左运动，受到的滑动摩擦力向右，由牛顿第二定律有解得经过，B的速度为内，B相对A向右运动，受到的滑动摩擦力向左，有解得经过，B的速度为则B前后两个阶段的位移为所以0~4s内，B运动的总位移为
（2）-t图像的斜率表示B相对A的加速度，由图像可知内的相对加速度为 则内由，得可知内，A以的加速度做匀加速直线运动。内，A的位移设作用在A上的水平外力为F，有解得所以内，水平外力做的功
参考文献：
[1人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中教科书．物理[M] ．北京：人民教育出版社，2019.6
[2]杨天才．求解相对位移的三种方法比较[J] ．教学考试，2018(40)：72-75．
[3]许冬保，朱文惠．一道相对运动图像试题的评析、反思与教学建议[J]．中学物理，2021，39(15)：59-61．
[4]蒋敏，魏继红，李正吉．运用v-t图像巧解物理高考压轴题[J]．数理化学习(高中版)，2022(08)：44-46．

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