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专题2 零点
【题型一】 水平线法：参变分离
【典例分析】
已知函数函数，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则函数无零点 B．若，则函数有零点
C．若，则函数有一个零点 D．若，则函数有两个零点
【答案】A【解析】作出函数的图象如图所示：
观察可知：当时，函数有一个零点，故A错误.故选：A
【提分秘籍】
基本规律
1.分离参数。得常数函数（含参水平线）
2.函数画图，需要运用到复合函数单调性，
【变式演练】
1.已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是______.
【答案】.
【解析】
函数当时是对勾函数，因为，当且仅当即时，取最小值。所以函数最小值为2，且在上为减函数，在上为增函数。当时， 是减函数，且，所以为增函数，且，所以函数为增函数，且，函数图像如图所示。令，函数恰有三个不同的零点，可以看成函数恰有三个不同的零点，函数的图像与直线有三个交点。由图像可知。
2.已知函数，若函数存在四个不同的零点，则实数的取值范围是_______.
【答案】【解析】
画出函数，与的图象，函数，与的图象的交点个数就是函数函数的零点个数，因为函数存在四个不同的零点，所以函数，与的图象由四个交点，由图可知，要使函数，与的图象由四个交点，实数的取值范围是，故答案为.
3.已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为(　　)
A．2 B． C． D．
【答案】C【详解】
作出函数的图象如图,函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，不妨设四个交点横坐标满足，
则，，,可得,由，得，
则，可得，即，，故选C.
【题型二】 基础图像交点法
【典例分析】
设函数，的零点分别为，则（ ）
【答案】A因为函数，的零点分别为，故可得
---① --②，如图，显然有，故，①－②得 ，选A。
【提分秘籍】
基本规律
1.幂、指、对、对勾、双曲等函数之间图像交点。
2.可以借助二分法、单调性奇偶性等寻找交点所在区间。
【变式演练】
1.已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A.当时，函数有零点 B.若函数有零点，则
C.存在，函数有唯一的零点 D.若函数有唯一的零点，则
【答案】B．试题分析：令，得（时，显然有零点），在同一坐标系内画函数与的图像，可得当时，函数有唯一零点，故A正确；取，画函数与的图像，可得它们有交点，故B错误，C正确；当时，画函数与的图像，可得它们有一个交点，故当或时，函数有唯一零点，故D正确．
2.设，，则的零点个数是__________．
【答案】
依题意，画出两个函数图象如下图所示，由图可知，零点个数为.
3.已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
函数有三个不同的零点，转化为与交点问题，数形结合即可求解的取值范围.
【详解】作出与的图象，显然，不可能存在3个交点；∴，
当与相切时，即只有一个解，那么，可得，此时，
∴函数有三个不同的零点，则；故答案为：.
【题型三】 分段函数含参
【典例分析】
已知，若，方程的解集是______；若方程的解集中恰有3个元素，则a的取值范围是______.
【答案】
【分析】求出时的解析式，分情况讨论，分别求解方程的根，即可得方程的解集；在同一直角坐标系下作出函数和的图象，由图象分析即可得的取值范围.
【详解】当时，，
当时，，解得；
当时，，解得和.故若，方程的解集是；
因为，则在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图直线，
作出函数的图象，如图抛物线，将直线从左向右平移，
由图象可得，当或时，方程有2个解，不符合题意；
当时，方程有3个解，符合题意；
当时，方程有1个解，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.故答案为：；.
【提分秘籍】
基本规律
属于“动态函数”画图法
1.参数在分段函数定义域分界点处。
2.函数图像的“动态”讨论点，多从特殊点，交点，单调性改变点，奇偶性等处寻找。
3.引导学生多画分解图。
【变式演练】
1.已知函数f (x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f (x)＝b有三个不同的根，则实数m可能的值有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【分析】
在同一坐标系中，作y＝f (x)与y＝b的图象，利用数形结合法求解.
【详解】
在同一坐标系中，作y＝f (x)与y＝b的图象．
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f (x)＝b有三个不同的根，
则有4m－m20.又m>0，解得m>3.故选：CD
2.设，函数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是___________.
【答案】##
【分析】
问题转化为函数与直线有三个不同交点，分作出函数图象，数形结合即可求解.
【详解】,若函数有且仅有3个零点,则函数的图象与直线有三个不同的交点，，当且仅当时等号成立，
当时，如图：
即可，解得，
当时, 如图：
即可，解得，综上，故答案为：
3.已知函数若存在实数，使函数有两个零点，则的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B由题意可知，函数实为函数向下平移个单位得到的．所以图象只是在坐标系中位置发生变化，而其形状未发生变化，有两零点，说明也存在两个实数根，即存在一定区间，函数的单调性不一致，由此可对进行分情况讨论，当时，，所以两根不可能异号，但是在上的单调性为先减后增，使得能够成立；当时，均为增函数，且恒成立，故不存在两实数根使得成立；当时，均为增函数，但是，即的最高点在的最低点的上方．则必然存在两个实数根使得能够成立，综合以上分析应该选B．
【题型四】 研究直线斜率（临界是切线）寻找交点关系
【典例分析】
已知函数,则函数的零点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C试题分析：函数的零点，即方程函数=0的实根的个数，也是y=f(x)的图象与y=交点个数。在同一平面直角坐标系内，画出y=f(x)，y=的图象，观察知，交点有3个，故选C。
【提分秘籍】
基本规律
当分离参数较困难时，可以“分离函数”，一般情况下，一侧多为直线，一侧是可以研究出图像的函数。
1.交点（零点）的个数和位置，多借助切线来寻找确定。
2.切线虽然大多数可以通过导数来解得，但对于如一元二次等常见函数的切线，可以通过方程联立解决，这样可以简化一些计算。
3.对于圆和圆锥曲线部分图像所获得的函数，导数求切线难度大，圆和圆锥曲线求切线的方法要注意总结掌握。
【变式演练】
1.已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得，函数与函数有三个不同的交点，结合图象可得出结果.
解：由题意可得，直线与函数至多有一个交点，而直线与函数至多两个交点，函数与函数有三个不同的交点，
则只需要满足直线与函数有一个交点直线与函数有两个交点即可，如图所示，与函数的图象交点为，，
故有.而当时，直线和射线无交点，故实数的取值范围是.
故选：A.
2.已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】方程有四个不同的实数根，即直线与曲线，作出函数图象，即转化为在有两个不等实根，可得答案.
【详解】设，该直线恒过点，方程有四个不同的实数根
如图作出函数的图象，结合函数图象，则，
所以直线与曲线有两个不同的公共点，
所以在有两个不等实根，令，
实数满足，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.
3.已函数，当时，，若在区间内，有两个不同的零点，则实数t的取值范围是______．
【答案】
【分析】
由得，分别求出函数的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
【详解】当时，，当，可得，
可知函数在上的解析式为，由得，
可将函数f（x）在上的大致图象呈现如图：
根据的几何意义，
x轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，当直线经过点，可得，
因此直线的斜率t的取值范围是。故答案为
【题型五】 “放大镜”函数的交点
【典例分析】
已知函数为偶函数，且当时，，则当时，方程的根有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为与的交点个数，由于两个函数都为偶函数，只研究，即得解
【详解】由题意，当时，
方程的根的个数即为与的交点的个数
由于也为偶函数，故只需研究时，两个函数的交点个数即可
当时，，故是一个交点；
当时，，故是一个交点；
当时，，
故时，两个函数有一个交点，由于两个函数都单调递减，且在相交，故时，只有一个交点
当时，，
故时，两个函数有一个交点，由于两个函数都单调递减，且在相交，故时，只有一个交点
综上，两个函数在有4个交点，由函数的对称性有7个交点故选：C
【提分秘籍】
基本规律
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
【变式演练】
1.定义在上的函数满足：①当时， ②.
（i） _____；
（ii）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_______.
【答案】3
【分析】
（i）由于，可得，根据解析式求出，代入可得；
（ii）在同一坐标系内做出和的图像，根据图像得到的对称关系，把转化为等比数列前n项和即可求解.
【详解】
（i）因为，所以，当时，，所以；
（ii）在同一坐标系内做出和的图像如图所示：
当时，利用对称性，依次有：，
……
所以
故答案为：3；
2.已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是____________．
【答案】或
【分析】
本题考查了导数的几何意义，函数的零点与函数图象的关系，
作出的函数图象，结合函数图象求出当直线与的图象有两个交点时的斜率范围即可．
【详解】
解：函数，函数的图象关于对称，绘制函数图像如图所示，
函数有2个零点则函数与函数有2个交点，当斜率为零，即时，由图像可得有两个交点，则成立；
当斜率不为零，即时，
如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，设切点坐标为，由题意可得：,解得
则直线与函数相切时斜率为，数形结合可知实数a的取值范围是．
综上，答案为：或．
3.对于函数，下列个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）．（1）任取，都有；
（2）函数在上单调递增；
（3），对一切恒成立；
（4）函数有个零点；
（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.
【答案】（1）（4）（5）
【详解】
由题意，得的图象如图所示，
由图象 ，则任取，,都有
，故（1）正确；函数在上先增后减，故（2）错误；当时，
，即，故（3）错误；在同一坐标系中作出和的图象，可知两函数图象有三个不同公共点，即函数有3个零点，故（4）正确；
在同一坐标系中作出和的图象，由图象可知当且仅当 时，关于的方程有且只有两个不同的实根,，且,关于对称，即；故（5）正确；故填（1）、（4）、（5）.
【题型六】 函数变换：
【典例分析】
已知函数，若关于x的方程有且仅有四个互不相等的实根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，7] B．（6， +∞） C．（2 +∞） D．[8， +∞）
【答案】B
【分析】根据题意分析出关于x的方程有且仅有四个互不相等的实根，可转化为与y=m有四个不同的交点，在同一个坐标系作出和y=m的图像，即可求出实数m的取值范围.
【详解】当时，可化为，x=0显然不成立，故时，
当时，可化为，所以
记函数，由知，函数为偶函数.
要使关于x的方程有且仅有四个互不相等的实根，只需和y=m有四个不同的交点.在同一个坐标系作出和y=m的图像如图所示：
所以：m>6即实数m的取值范围是（6， +∞）.故选：B
【提分秘籍】
基本规律
利用函数性质，推导出中心对称，轴对称等等函数图像特征性质。
【变式演练】
1.设函数，若方程在区间内有且仅有两个根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出分段函数在上得解析式，进而根据解析式做出函数图象，由于函数在区间内有且仅有两个根等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点，数形结合即可求出结果.
【详解】若，则，所以，故，
其图象如图：
函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点，于是，.故选：C.
2.已知函数，若关于的方程有且只有3个实数根，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】本题转化为求函数与的图象有且只有3个交点，分别利用、以及三种情况讨论可求得，结合的图像即可得解.
【详解】
因为关于方程有且只有3个实数根，设，
得到函数与的图象有且只有3个交点.
当时，，所以；
当时，；
当时，，所以，
所以如图所示：
因为函数与的图象有且只有3个交点，所以或或.
故答案为：.
3.已知函数对于恒有，若与函数的图像的点交为，则=____________
【答案】2n
【分析】根据题意判断出函数和的图像关于点对称，所以交点也关于点对称，即可求解.
【详解】因为函数对于恒有，所以函数的图像关于点对称；
的图像关于点对称，
所以当为和的图像的交点时，点也是和的图像的交点.所以
【题型七】 对数函数绝对值“积定法”
【典例分析】
设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D解：如图所示，绘制函数 的图象，则点 的坐标分别为 ，由对称性可得： ，则： ,
函数 在区间 上单调递减，据此可得：的取值范围是本题选择D选项.
【提分秘籍】
基本规律
对于，若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
【变式演练】
1.已知， 是方程的两个解，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】 因为是方程的两个解，即是函数与函数的图象有两个交点，在同一坐标系中，画出函数与函数图象，如图所示，
由图象可得，即，即，
又因为，所以，所以，
综上所述，故选B．
2.已知函数，方程有四个不相等的实数根，且满足： ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B作出f（x）的函数图象如图所示：
由图象知 x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，1＜b≤2，
解不等式1x≤2得：x3，∴，令t＝，则x3，
令g（t）＝-4t-，则g（t）为在[，）上单调递增，在[，）上单调递减，
∴g（）≤g（t）≤g（），即-3≤g（t）≤．故选：B．
3.已知函数，（其中），若的四个零点从小到大依次为，，，，则的值是（ ）
A．16 B．13 C．12 D．10
【答案】B
解：由题意可知，
有四个零点等价于函数图象与函数有四个交点，如图所示，
由图形可知，，，
，，∴，，，，
即，，，，
所以，，故，故选：B．
【题型八】 高斯函数型
【典例分析】
设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】解：由 可得： ，绘制函数 的图象，使得此函数与正比例函数 在 上恰好有 个交点即可.
如图所示，点 和点 为临界点，实数 的取值范围是 .
本题选择C选项.
【提分秘籍】
基本规律
取整函数（高斯函数）
1.具有“周期性”
2.一端是“空心头”，一端是“实心头”
3.还可以引入“四舍五入”函数作对比
【变式演练】
1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如，，，设为函数的零点，则（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
利用零点存在性定理求出，再由“高斯函数”的定义即可求解.
【详解】，函数在上单调递增，，
，若，则，所以.故选：B
2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】
由题意知，当时，，所以不是函数的零点，当时，令，作出函数的图象，利用数形结合思想，结合函数零点的定义即可求解.
【详解】
由题意知，当时，，所以不是函数的零点，
当时，可得，，令，
作出函数的图象如图所示：
由图象可知，除点外，函数图象其余交点关于（0，1）中心对称，∴横坐标互为相反数，即，
由函数零点的定义知，函数的所有零点之和为
.故选：A
3.高斯函数（表示不超过实数x的最大整数），若函数的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断的单调性，再由零点存在定理，得到零点所在范围，然后从内到外求函数值.
【详解】因为，所以，所以在R上是增函数.而，所以，所以，所以.故选：B
【题型九】 与三角函数结合
【典例分析】
设a∈R，函数f(x)，若函数f(x)在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（2，]∪（，] B．（，2]∪（，]
C．（2，]∪[，3） D．（，2）∪[，3）
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足或或，则可解得a的取值范围是.故选：A．
【提分秘籍】
基本规律
与三角函数结合时，三角函数提供了
1.多中心，多对称轴。
2.周期性
3.正余弦的有界性。
4.正切函数的“渐近线”性质
【变式演练】
1.已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由得出函数的图象关于点成中心对称以及函数
的周期为，由函数为奇函数得出，并由周期性得出
，然后作出函数与函数的图象，列举前个交点的横坐标，结合第个交点的横坐标得出实数的取值范围．
【详解】
由可知函数的图象关于点成中心对称，
且，所以，，
所以，函数的周期为，
由于函数为奇函数，则，则，
作出函数与函数的图象如下图所示：
，则，
于是得出，，
由图象可知，函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为、、、、、、、、、，第个交点的横坐标为，
因此，实数的取值范围是，故选A．
2.若函数有且只有一个零点，又点在动直线上的投影为点若点，那么的最小值为__________.
【答案】
【分析】
易知：为偶函数，若要若函数有且只有一个零点，则，解得：，根据题意，直线过定点：，则点在以线段为直径的圆上，再根据圆外一点到圆上最短距离即可得解.
【详解】
由可得为偶函数，若要若函数有且只有一个零点，
根据偶函数的性质有，解得：，故点直线过定点，定点：，
由点在动直线上的投影为点
则点在以线段为直径的圆上，圆心为，半径，
所以.故答案为：.
3.函数在上的所有零点之和等于______.
【答案】8
【详解】
分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和．
详解：零点即 ，所以即，画出函数图像如图所示
函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点。图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为8
【题型十】 借助周期性
【典例分析】
函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据条件判断函数周期为，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为与直线只有一个交点，结合函数图像，即可求解.
【详解】
函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，，
，
即，的周期为.时，，
，，，
周期为4，，当，
当，做出函数图像，如下图所示：
令，
当，，，两边平方得，
，此时直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，
同理，直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，则要使函数在内与直线只有一个交点，则满足，周期为4，范围也表示为，
所以所有的取值范围是.故选:D.
【提分秘籍】
基本规律
本专题，讲清楚【典例分析】这道题，在周期函数中，与切线的关系。可以利用周期平移对称等距等等函数性质，求出对应的切线截距。当做选择题来分析讲解(虽然本题可以“秒杀”排除）
【变式演练】
1.定义在上的偶函数满足，且当时，，若函数有个零点，则实数的取值范围为．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
,当时，,作出图形，由图可知直线过点时有六个交点，过点时有八个交点，过点时有六个交点，过点时有八个交点，因此要使函数有7个零点，需 ，选A.
2.已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．
【答案】14
【解析】试题分析：由于定义域为的奇函数满足， ∴函数 为周期函数，且周期为8，当时，，
函数在区间上的零点的个数，即为函数 与 的交点的个数，
作出函数 上的函数的图象，
显然，当 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为 .
3.已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____
【答案】
【分析】方程在上恰有2021个零点，等价于存在，使在上恰有2021个交点，作出函数的图像，数形结合，再根据函数周期性的应用，使每个交点都处在之间才能取到2021个点，代入条件求得参数取值范围.
【详解】由函数在上的解析式作出如图所示图像，
由知，函数是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数，
若使时，存在，方程在上恰有2021个零点，等价于在上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即时满足条件，且必须每个周期内均应使处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点，
则当时，需使最后一个完整周期中的极小值，
即，解得，即
当时，需使最后一个极大值，
即，解得，即，
综上所述，故答案为：
巩固练习
1.已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
将问题转化为“与的图象有三个交点”，然后根据图象分析有三个交点时的取值范围即可.
【详解】
由题意可知：与的图象有三个交点，在同一平面直角坐标系中作出与的图象，如下图所示：
当时，若与的图象有三个交点，需满足，即；
当时，考虑与相切，则有，
即，所以，所以，
当时，，即切点在第三象限，不符合，
当时，，符合要求，
又，所以由图象可知：
若与的图象有三个交点，需满足，即，
综上可知，，故选：A.
2.（多选题）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数k的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】ACD
【分析】
作出函数的图象，根据图象可知方程的实根个数可能为0，1，2，3，4，而 最多有2个实根，由此分类讨论可得出结果.
【详解】
函数的图象如图所示，由图可知方程的实根个数可能为0，1，2，3，4，
当时，方程无实根，
当时，方程有唯一实根，
当时，方程有2个实根，
当或时，方程有3个实根，
当时，方程有4个实根，
∵最多有2个实根，此时，
∴方程有6个不同的实数根等价于的实根至少有3个，
当时，的三个根均大于-2，符合题意；
当时，的四个根均大于，有8个不同的实数根，不合题意；
当时，此时有7个不同的实数根，不合题意；
当时，只有三个均大于的不同实根，符合题意.
故的取值范围是故选：ACD
3.（多选题）关于的函数，给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）．
A．存在实数，使得函数恰有2个零点；
B．存在实数，使得函数恰有4个零点；
C．存在实数，使得函数恰有5个零点；
D．存在实数，使得函数恰有8个零点；
【答案】ABCD
【分析】
将问题转化为与图像的交点个数，用导数研究函数的单调性和极值，画出简图即可得到答案.
【详解】
令，
设，容易判断函数为偶函数，现考虑时的情况，
，
时，，，
则函数在单增，在单减，函数极大值为，
时，，，
则函数在单增，在单减，函数极大值为，
结合函数是偶函数，如示意图，
而问题与图像的交点个数.，由图可知，交点个数可以是2、4、5、8个.
故选：ABCD.
4.给出定义：若（其中为整数），则叫做与实数“亲密的整数”记作，在此基础上给出下列关于函数的四个说法：
①函数在是增函数；
②函数的图象关于直线对称；
③函数在上单调递增；
④当时，函数有两个零点.
其中说法正确的序号是__________.
【答案】②③④
【分析】
由，可证，是周期为的函数，求出的解析式，做出函数图像，利用周期性做出函数的图像，以及函数图像，即可判断①②③④真假，得出结论.
【详解】
，的周期为1，当时，，
，先做出函数图像，利用周期做出图像如下图所示：
在不具有单调性，①错误；
函数的图象关于直线对称，②正确；
函数在上单调递增，③正确；
函数有多少个零点，即为有多少个解，
转化为与有多少个交点，
作出函数图象可知当时，函数有两个零点，④正确.
故答案为：②③④.
5.已知函数，其中，若与的图像有两个交点，则的取值范围是_________
【答案】
【分析】为分段函数，做出和图象，根据图象交点个数得出的取值范围．
【详解】
解：， （1）若，作出和的图象如图，
显然与只有一个交点．
（2）若，作出和的图象如图，
显然与只有一个交点．
（3）若，作出和的图象如图，
显然与只有一个交点．
（4）若，作出和的图象如图，
显然与有两个交点．
（5）若，作出和的图象如图，显然与只有一个交点．
综上，的取值范围是．故答案为：．
6.对于实数和，定义运算：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
根据代数式和之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合求出的取值范围.
【详解】
由可得，由 可得，
所以根据题意得，
即 ，
作出函数的图象如图，
当时，开口向下，对称轴为，所以当时，函数的最大值为，
函数的图象和直线有三个不同的交点．可得的取值范围是，故答案为：
7.设函数则函数的零点个数为_______ ；若，且函数有偶数个零点，则实数的取值范围是____________．
【答案】1
【分析】
首先画出函数的图象，将函数的零点个数，转化为与的交点个数；将函数有偶数个零点个数，转化为函数与的交点个数为偶数个时，求实数的取值范围.
【详解】
首先画出函数的图象，以及函数的图象，如图两个函数都过点，函数只有一个零点；
恒过点，的零点，转化为函数与的交点，如图：
当时，，直线的斜率，，，,
当时，与有0个交点，即有0个零点；
当时，与有2个交点，即有2个零点；
当时，与联立方程，
得，，解得：（舍）或，
，，，,
所以当时，与有2个交点，即有2个零点；
当时，与有4个交点，即有4个零点；
当时，与有2个交点，即有2个零点；
当，当时，与有0个交点，即有0个零点；
综上可知，函数有偶数个零点，则实数的取值范围是.
故答案为：1；
8.已知函数满足，函数有两个零点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】设 ， ，即 ，函数 ，函数 ，解得： 或 ，若 ，解得： ，若函数只有两个零点，那么没有 时，即 ，若没有 时，不成立，若没有 时， ，所以 的取值范围是
9.设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.
【答案】.当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数与的图象，要使在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.
当时，函数与的图象有2个交点；
当时，的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数与的图象有6个交点.当与图象相切时，圆心（1，0）到直线的距离为1，即，得，函数与的图象有3个交点；当过点（1,1）时，函数与的图象有6个交点，此时，得.
综上可知，满足在(0,9]上有8个实根的k的取值范围为.
10.高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将函数的零点问题转化为的图象与函数的图象有且仅有个交点的问题，根据高斯函数的定义，求出的解析式，作出其图象，数形结合即可得参数的取值范围．
【详解】
函数有且仅有3个零点，
即的图象与函数的图象有且仅有个交点．
而，画出函数的图象，
易知当时，与的图象最多有1个交点，故，
作出函数的大致图象，结合题意可得，解得：，
所以实数的取值范围是，故选：D．
11.（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则（　　）
A．函数的值域是 B．函数是周期函数
C．函数的图象关于对称 D．方程只有一个实数根
【答案】AD
【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断选项ABC的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.
【详解】由题得函数的定义域为,，
所以函数为偶函数，当时，；
当时，；
当时，；
所以函数的图象如图所示，
所以函数的图象如图所示，
所以函数的值域是，故选项A正确；由函数的图象得到不是周期函数，
故选项B不正确；
由函数的图象得到函数的图象不关于对称，故选项C不正确；
对于方程，当时，，方程有一个实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
故方程只有一个实数根，故选项D正确.
故选：AD
12.已知函数，，，已知时，函数的所有零点和为21，则当时，函数的所有零点的和为__________．
【答案】35
【分析】确定三角函数和一次函数函数的对称中心为，根据零点和得到有三个零点，画出图象得到答案.
【详解】时，，是函数的对称中心，周期为，
，则是函数的对称中心，
的所有零点和为21，故有三个零点，
直线与三角函数相切，画出函数图象，如图所示：
当时，，是函数的对称中心，
根据图象知有五个零点，故所有零点和为.
故答案为：.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2 零点
【题型一】 水平线法：参变分离
【典例分析】
已知函数函数，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则函数无零点 B．若，则函数有零点
C．若，则函数有一个零点 D．若，则函数有两个零点
【提分秘籍】
基本规律
1.分离参数。得常数函数（含参水平线）
2.函数画图，需要运用到复合函数单调性，
【变式演练】
1.已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
2.已知函数，若函数存在四个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
3.已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为(　　)
A．2 B． C． D．
【题型二】 基础图像交点法
【典例分析】
设函数，的零点分别为，则（ ）
【提分秘籍】
基本规律
1.幂、指、对、对勾、双曲等函数之间图像交点。
2.可以借助二分法、单调性奇偶性等寻找交点所在区间。
【变式演练】
1.已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A.当时，函数有零点 B.若函数有零点，则
C.存在，函数有唯一的零点 D.若函数有唯一的零点，则
2.设，，则的零点个数是__________．
3.已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是__________.
【题型三】 分段函数含参
【典例分析】
已知，若，方程的解集是______；若方程的解集中恰有3个元素，则a的取值范围是______.
【提分秘籍】
基本规律
属于“动态函数”画图法
1.参数在分段函数定义域分界点处。
2.函数图像的“动态”讨论点，多从特殊点，交点，单调性改变点，奇偶性等处寻找。
3.引导学生多画分解图。
【变式演练】
1.已知函数f (x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f (x)＝b有三个不同的根，则实数m可能的值有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.设，函数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是___________.
3.已知函数若存在实数，使函数有两个零点，则的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型四】 研究直线斜率（临界是切线）寻找交点关系
【典例分析】
已知函数,则函数的零点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
【提分秘籍】
基本规律
当分离参数较困难时，可以“分离函数”，一般情况下，一侧多为直线，一侧是可以研究出图像的函数。
1.交点（零点）的个数和位置，多借助切线来寻找确定。
2.切线虽然大多数可以通过导数来解得，但对于如一元二次等常见函数的切线，可以通过方程联立解决，这样可以简化一些计算。
3.对于圆和圆锥曲线部分图像所获得的函数，导数求切线难度大，圆和圆锥曲线求切线的方法要注意总结掌握。
【变式演练】
1.已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3.已函数，当时，，若在区间内，有两个不同的零点，则实数t的取值范围是______．
【题型五】 “放大镜”函数的交点
【典例分析】
已知函数为偶函数，且当时，，则当时，方程的根有（ ）个
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
【变式演练】
1.定义在上的函数满足：①当时， ②.
（i） _____；
（ii）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_______.
2.已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是____________．
3.对于函数，下列个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）．（1）任取，都有；
（2）函数在上单调递增；
（3），对一切恒成立；
（4）函数有个零点；
（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.
【题型六】 函数变换：
【典例分析】
已知函数，若关于x的方程有且仅有四个互不相等的实根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，7] B．（6， +∞） C．（2 +∞） D．[8， +∞）
【提分秘籍】
基本规律
利用函数性质，推导出中心对称，轴对称等等函数图像特征性质。
【变式演练】
1.设函数，若方程在区间内有且仅有两个根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数，若关于的方程有且只有3个实数根，则实数的取值范围是___________.
3.已知函数对于恒有，若与函数的图像的点交为，则=____________
【题型七】 对数函数绝对值“积定法”
【典例分析】
设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【提分秘籍】
基本规律
对于，若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
【变式演练】
1.已知， 是方程的两个解，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数，方程有四个不相等的实数根，且满足： ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数，（其中），若的四个零点从小到大依次为，，，，则的值是（ ）
A．16 B．13 C．12 D．10
【题型八】 高斯函数型
【典例分析】
设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【提分秘籍】
基本规律
取整函数（高斯函数）
1.具有“周期性”
2.一端是“空心头”，一端是“实心头”
3.还可以引入“四舍五入”函数作对比
【变式演练】
1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如，，，设为函数的零点，则（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3.高斯函数（表示不超过实数x的最大整数），若函数的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型九】 与三角函数结合
【典例分析】
设a∈R，函数f(x)，若函数f(x)在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（2，]∪（，] B．（，2]∪（，]
C．（2，]∪[，3） D．（，2）∪[，3）
【提分秘籍】
基本规律
与三角函数结合时，三角函数提供了
1.多中心，多对称轴。
2.周期性
3.正余弦的有界性。
4.正切函数的“渐近线”性质
【变式演练】
1.已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.若函数有且只有一个零点，又点在动直线上的投影为点若点，那么的最小值为__________.
3.函数在上的所有零点之和等于______.
【题型十】 借助周期性
【典例分析】
函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】
基本规律
本专题，讲清楚【典例分析】这道题，在周期函数中，与切线的关系。可以利用周期平移对称等距等等函数性质，求出对应的切线截距。当做选择题来分析讲解(虽然本题可以“秒杀”排除）
【变式演练】
1.定义在上的偶函数满足，且当时，，若函数有个零点，则实数的取值范围为．
A． B．
C． D．
2.已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．
3.已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____
巩固训练
1.已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.（多选题）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数k的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．1
3.（多选题）关于的函数，给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）．
A．存在实数，使得函数恰有2个零点；
B．存在实数，使得函数恰有4个零点；
C．存在实数，使得函数恰有5个零点；
D．存在实数，使得函数恰有8个零点；
4.给出定义：若（其中为整数），则叫做与实数“亲密的整数”记作，在此基础上给出下列关于函数的四个说法：
①函数在是增函数；
②函数的图象关于直线对称；
③函数在上单调递增；
④当时，函数有两个零点.
其中说法正确的序号是__________.
5.已知函数，其中，若与的图像有两个交点，则的取值范围是_________
6.对于实数和，定义运算：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是___________.
7.设函数则函数的零点个数为_______ ；若，且函数有偶数个零点，则实数的取值范围是____________．
8.已知函数满足，函数有两个零点，则的取值范围为__________．
9.设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.
10.高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则（　　）
A．函数的值域是 B．函数是周期函数
C．函数的图象关于对称 D．方程只有一个实数根
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12.已知函数，，，已知时，函数的所有零点和为21，则当时，函数的所有零点的和为__________．21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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