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专题04 导数的综合应用5种常考题型归类
利用导数证明不等式
1．（22-23高二下·北京·期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据导数的几何意义求切线方程即可；
（2）构造函数，利用导函数与单调性、最值的关系即可证明.
【详解】（1）,，
,所以切点为，由点斜式可得，，
所以切线方程为：.
（2）由题可得，
设，
，
所以当时，，
当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.
2．（21-22高二下·北京·期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，记函数的最小值为，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可求出结果；
（2）根据（1）的单调性求出，再利用导数可证不等式成立.
【详解】（1）的定义域为，
,
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
3．（21-22高二下·北京·期中）已知函数
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围.
(2)若，求证：当时，
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题设，根据恒成立求a的取值范围.
（2）对求导，构造利用导数研究单调性和极值，根据极值的符号及零点存在性求上变号零点的范围，结合零点作代换判断的极小值符号，即可证结论.
【详解】（1）由题设，则，
又在上单调递增，即在上恒成立，
所以.
（2）由，令，则，
所以上，递减；上，递增；
则，又，则，而，
所以上有一个变号零点，则上，即，递减；上，即，递增；
则，又，
所以，而，，
所以，则，故，
则，当时得证.
4．（22-23高二下·北京东城·期中）已知函数．
(1)时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)证明不等式恒成立．
【答案】(1)
(2)当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出切点坐标，用导数的几何意义求出切线斜率即可求解；
（2）求出导函数后对的值进行分情况讨论即可求；
（3）用切线不等式可证得结果.
【详解】（1）时，，依题意切点坐标为，
，所以函数在处的切线的斜率为，
故函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，
时，，单调递增，
时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）要证恒成立，即证恒成立，
令，，由（2）可知，
在上单调递增，在上单调递减，
所以恒成立，
即有时恒成立，当且仅当时取“=”号，
亦有即恒成立，当且仅当，即时取“=”号.
所以一方面，当且仅当，即时取“=”号，
另一方面恒成立，当且仅当时取“=”号，
所以恒成立，原不等式得证.
5．（23-24高三上·北京通州·期中）已知函数，，.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值；
(3)当时，求证：对任意，恒有成立.
【答案】(1)
(2)时，，
时，
时， ，
(3)证明见解析
【分析】（1）求导即可代入求解，
（2）分类讨论，即可根据导数求解函数的单调性并求解最值，
（3）将问题转化为，对分类讨论，构造函数，求导确定函数的单调性，即可利用单调性求解最值求证.
【详解】（1）由得，所以，
（2）由得，
当时，，故在区间上单调递增，所以，
当时，令，则，令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，，此时在区间上单调递减，所以，
当时，，此时在区间上单调递增，所以，
当时，，此时在区间上单调递增，在单调递减，
综上可得：时，，
时，
时， ，
（3）要证，即证，
即证明，
当时，，而，所以，
当时，记，则，
记，
由于，
所以当单调递增，所以，
故在单调递增，故，故，
综上，对任意，恒有
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
6．（23-24高三上·北京·期中）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知m，n是正整数，且，证明．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）求导，令导数为0，结合定义域对进行讨论即可；
（2）两边取对数，整理后，构造函数，证明为上的减函数，即可求解.
【详解】（1）
函数的定义域为，，
①当时，在上恒成立，的减区间为，无增区间；
②当时，令，解得，令，解得，
所以的增区间为，减区间为．
综上，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为．
（2）
两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明，
即证明，
构造函数，
令，由（1）知，当时，在上为减函数，故，
所以，所以为上的减函数，
因为，知，即，即．
7．（22-23高二下·北京大兴·期中）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求证：当时，；
(3)对任意的，判断与的大小关系，并证明结论．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意求解即可；
（2）对求导，可判断出当时，，则在区间上单调递减，从而可证得结论；
（3）不妨假设中的定值，令，，对函数求导后可判断在上单调递减，则，从而可比较出大小.
【详解】（1）由，
得．
因为，．
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）依题意，．
所以．
当时，，
所以．
所以函数在区间上单调递减．
因为，
所以当时，．
（3）不妨假设中的定值，令，，
则，，．
由（2）知，在区间上单调递减，
因为，所以．
从而在上单调递减．
因为，
所以当时，，即．
综上，对任意的，有
【点睛】关键点睛：此题第（3）问解题的关键是假设中的定值，令，，然后利用导数求出其单调区间，从而得结果.
8．（22-23高二下·北京大兴·期中）已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)设函数，证明：的图象在的图象的上方．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义根据题意列方程组可求得答案；
（2）令，，将问题转化为证明对任意的，恒成立，等价于证明当，的最小值大于零，然后利用导数求的最小值即可.
【详解】（1）因为，，
所以．
依题设，，，且．
解得，．
（2）令， ，
证明的图象在图象的上方，
等价于证明对任意的，恒成立，
等价于证明当，的最小值大于零．
由，得，，
令，则，
且当时，．
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以在区间上存在唯一零点，
所以，即．
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以．
因为，且，
所以．
因为，所以．
故．
所以．
故对任意的，恒成立，
即的图象在图象的上方．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将问题转化为证明对任意的，恒成立，然后利用导数求的最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
利用导数研究不等式恒成立问题
9．（22-23高一下·北京·期中）已知函数，其中.
(1)若曲线在点处的切线是轴，求的值；
(2)当时，求证：；
(3)若对，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据导数几何意义可知，由此可构造方程求得的值；
（2）分别构造函数、，利用导数可求得的单调性和最值，从而得到，进而证得结论；
（3）当时，可得，由（2）可知满足题意；当时，由可说明
不合题意，由此可得结论.
【详解】（1），；
在点处的切线为轴，，即，.
（2）当时，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，即；
，即，.
（3）当时，，，；
由（2）知：当时，，恒成立，满足题意；
当时，，，；
则当时，，与恒成立矛盾，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数几何意义、不等式的证明和恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是采用放缩法，结合（2）中所证不等式来根据恒成立的不等式确定参数的范围.
10．（21-22高二下·北京·期中）已知函数．
(1)求证：
(2)设，若在区间内恒成立，求k的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）构造函数，利用函数的导数，通过函数的最值判断证明即可．
（2）设，利用函数的导数，在区间求解函数的最值，推出k的最小值．
【详解】（1）证明：函数．所以，
令，
可得，令，可得，
当时，，函数是增函数，
当时，，函数是减函数，
所以时，函数取得最大值：，
所以，即．
（2）设，若在区间内恒成立，
即：，令，
可得，
当时，，函数是增函数，当时，，函数是减函数，所以时，函数取得最大值：，
可得，k的最小值为1．
11．（22-23高三上·北京顺义·期中）已知函数.
(1)当时，求的单调增区间；
(2)当时，求证：在上是增函数；
(3)求证：当时，对任意，.
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性；
（2）利用判别式可判断导数的符号，从而可证函数在上是增函数；
（3）结合（1）的讨论可求函数的最小值，从而可证不等式成立.
【详解】（1），
当时，，
当或时，；当时，，
故的增区间为，减区间为.
（2）设，则，
当时，，故恒成立且不恒为零，
故在上恒成立且不恒为零，故在上为增函数.
（3），
当时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故在上，，
故成立.
12．（23-24高三上·北京·期中）已知函数，曲线在点处的切线为．
(1)求的方程；
(2)判断曲线与直线的公共点个数，并证明；
(3)若，令，求证：对任意的，都有成立．
【答案】(1)
(2)公共点个数为1个，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率，写出方程即可；
（2）构造新函数对函数二次求导列表分析由零点个数确定曲线与直线的公共点个数即可；
（3）将代入函数中，由（2）得出函数单调性求出函数在上的值域，然后结合函数分析即可证明.
【详解】（1），
所以切线方程为，
即；
（2）令，
，
令，
令，得，
0
0
↘ 极小值 ↗
所以，即恒成立，
为上的增函数．
又，所以只有唯一零点0，
即曲线与直线l的公共点个数为1个．
（3）当时，函数，由（2）知，
在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以的值域为，
对任意的，
都有，
所以．
【点睛】方法点睛：函数导数问题，通常有以下几类考法
（1）利用函数导数求函数在某点处的切线方程
（2）利用函数导数求函数（含参）的单调区间或判断函数的单调性
（3）证明不等式成立
（4）求极值、最值等
方法：对函数求导利用函数导数进行分析求解，遇到含参数的函数需要对其进行分类讨论，有时候还需要进行二次求导.
13．（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上恒成立，求的取值范围；
(3)试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）将在区间上恒成立，转化为，令，问题转化为，利用导数求函数即可得解；
（3）由（2）知，时，在区间上恒成立，取，可得解.
【详解】（1）当时，，
，
所以曲线在点处切线的斜率，又，
所以曲线在点处切线的方程为即.
（2）在区间上恒成立，即，对，
即，对，
令，只需，
，，
当时，有，则，
在上单调递减，
符合题意，
当时，令，
其对应方程的判别式，
若即时，有，即，
在上单调递减，
符合题意，
若即时，，对称轴，又，
方程的大于1的根为，
，，即，
，，即，
所以函数在上单调递增，，不合题意.
综上，在区间上恒成立，实数的取值范围为.
（3）由（2）知，当时，，在区间上恒成立，
即，对，
取代入上式得，化简得.
14．（23-24高三上·北京通州·期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值
(3)
【分析】（1）求导，即可得斜率，进而可求直线方程，
（2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值，
（3）将恒成立问题参数分离，构造函数即可求导求解最值求解.
【详解】（1）由得，又，
所以在切线为
（2）令，则，故在单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取极小值，无极大值，
（3）由得，
故，
构造函数则，令，则，
故当时，，单调递增，时，单调递减，
故当取极小值也是最小值，，
所以，即
15．（23-24高三上·北京·期中）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的零点个数；
(3)若对于任意，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)有且仅有两个零点
(3)
【分析】（1）把代入得切点坐标，代入得切线斜率，利用导数的几何意义，求曲线在点处的切线方程；
（2）利用导数求函数单调性，结合函数极值，求零点个数；
（3）由函数的极小值，恒成立，当时，可得恒成立；当时，若，不成立，可得的取值范围．
【详解】（1）函数，因为，所以切点为，
由，得，即曲线在点处的切线斜率为0，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由（1）可知，
因为，所以，令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又因为，，
所以，由零点存在定理可知，存在唯一的使得，存在唯一的使得．故函数有且仅有两个零点．
（3）由（2）可知，，
即恒成立，即恒成立．
所以当时，恒成立，
下证当时，存在，使得．
令
因为，
故当时，对于任意不恒成立．
故．
16．（23-24高三上·北京·期中）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）代入函数解析式，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线；
（2）利用导数，对分类讨论，求的单调区间；
（3）由恒成立，结合函数的极值，求的取值范围.
【详解】（1）时，函数，则，切点坐标为，
，则曲线在点处的切线斜率为，
所求切线方程为，即.
（2），函数定义域为R，
①，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
②，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
③，恒成立，在上单调递增.
（3）当时，由（2）可知为在上的极小值，也是最小值.
于是，所以
当且时，
由于函数的图像抛物线开口向上，对称轴大于0，
因此，此时，符合题意.
所以的取值范围为.
利用导数研究能成立问题
17．（21-22高二下·北京·期中）已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题知，函数在区间不是单调函数，进而转化为在上有解问题求解即可.
【详解】解：，
因为在区间上存在，使得成立，
所以函数在区间不是单调函数，
所以在上有解，
所以在上有解，
所以.
所以，实数a的取值范围是.
故答案为：
18．（21-22高二下·北京·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数判断函数的单调性，并求出最大值，由已知条件列不等式即可求解.
【详解】的定义域为，
，
∵当时， ，当时， ，
∴在上单调递增，在上单调递减，
即，
又∵存在，使得成立，
∴ ，解得，
则实数的取值范围为，
故选：D.
19．（22-23高二下·北京·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值；
(3)若存在，，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，无极值，当时，有极小值，无极大值.
(3)
【分析】（1）当时，，计算，由导数的几何意义可得曲线在点处的切线斜率为，进而可得答案.
（2）求导得，分两种情况：和，各自分析的符号，的单调性，即可得出答案.
（3）令在上的最大值为，最小值为，存在，使得成立，即或，由于，，只需，由（2）可知在上单调或先单调递减后递增，为与中的较大者，只需或，即可得到答案.
【详解】（1）当时，，，
则，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由题，，
当时，恒成立，则在上单调递减，无极值；
当时，令，得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以有极小值，无极大值.
综上，当时，无极值，
当时，有极小值，无极大值.
（3）令在上的最大值为，最小值为，
所以由题知，存在，使得成立，
即或，
当，，
所以存在，使得成立，只需，
由（2）知：在上单调递减，或先单调递减后递增，
所以为与中的较大者，
所以只需或，即可满足题意，
即或，
解得或，
综上所述，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：第三问将问题转化为函数不等式在区间内能成立问题为关键.
20．（22-23高二下·北京·期中）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若存在（是常数，）使不等式成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)的递减区间是，递增区间是
(2)
【分析】（1）求得，令，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）把不等式转化为则有解，设，即，求得，求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【详解】（1）解：由函数的定义域为，且，
令，解得，
所以，，的对应值表为
x
- 0 +
极小值
所以的递减区间是，递增区间是.
（2）解：由不等式，可得，则
设，
因为存在，恒成立，所以
又由，令，解得或（舍去）
根据的对应值表
x 1
- 0 +
极小值
所以函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，
所以，
因为，，所以，
所以.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
利用导数研究函数的零点
21．（20-21高二下·北京·期中）设函数，则“”是“有个零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出函数的导数，探讨函数的极值情况，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】函数定义域为R，求导得，
当，即时，恒成立，函数在R上单调递增，最多1个零点，
当，即时，方程有两个不等实根，
当或时，，当时，，
因此函数在取得极大值，在取得极小值，
当且时，函数有3个零点，
由上，当时，不能确保函数有3个零点，
反之函数有3个零点，由三次函数性质知，必有两个极值点，，即，
所以“”是“有个零点”的必要而不充分条件.
故选：B
22．（23-24高二上·北京·期中）已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数的定义域及单调区间；
(3)求函数的零点的个数．
【答案】(1)
(2)；递增区间为，单调递减区间为,；
(3)1
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义列出相应的等式，即可求得答案；
（2）根据函数解析式可求得其定义域；结合（1）的结果，可得函数的导数的表达式，判断导数的正负，即可求得单调区间；
（3）结合（2）的结论以及零点存在定理，即可判断函数零点个数.，
【详解】（1）由函数可知其定义域为，
则，故，，
因为曲线在处的切线方程为，
故，，
解得；
（2）由（1）可知，需满足，
则其定义域为；
而，
由于，令，解得，
令，解得且，
即的递增区间为，单调递减区间为,；
（3）由（2）可知时，取得极大值，
当且x无限趋近于0时，的值趋向于负无穷大，
即在区间内无零点；
当且x无限趋近于0时，的值趋向于正无穷大，
当且x无限趋近于1时，的值趋向于负无穷大，
由此可作出函数的图象：

结合
，
，
可知在内的零点个数为1.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点是判断函数的零点个数时，要结合函数的单调性以及零点存在定理去判断，特别是特殊值的选取以及正负判断，计算比较复杂.
23．（21-22高二下·北京东城·期中）已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最小值；
(3)当时，求函数的零点个数.（只需写出结论）
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)1
【分析】（1）由题意首先求得切点坐标和切线的斜率，然后计算切线方程即可；
（2）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的最值即可；
（3）结合函数的性质给出函数零点的个数即可.
【详解】（1）当时，，，
故，，
切线方程为.
（2）由函数的解析式可得，
当时，在区间上恒成立，函数单调递增，
函数的最小值为，
当时，在区间上恒成立，函数单调递减，
函数的最小值为，
当时，
在区间上恒成立，函数单调递减，
在区间上恒成立，函数单调递增，
函数的最小值为.
综上可得：当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为.
（3）当时，函数的零点个数为1个.
证明：①当时，令解得，
即在上只有一个零点；
②当时，由（2）知
在上单调递减，在上单调递增，
故，
而，
故在上只有一个零点；
③当时，，
在上单调递增，且连续不间断，
且，
故在上只有一个零点，且零点所在区间为.
综上所述，当时，在上只有一个零点。
24．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；
（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是
否恒成立，即可得参数范围；
（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.
【详解】（1）由题设，
当时，令，则，
若，则，在上递减；
若，则，在上递增；
综上，时的递减区间为，递增区间为.
（2）由，
当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；
当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，
所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，
所以，只需，
令且，则，即递减，
所以，故在上不存在；
综上，.
（3）由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；
时，在上递减，在上递增，且，
所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，
所以，在上存在唯一，使，
要证，只需在上恒成立即可，
令，若，则，
令，则，即在上递增，故，
所以，即在上递增，故，
所以在上恒成立，得证；
故.
【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可.
25．（22-23高二下·北京通州·期中）已知函数．
(1)求的零点；
(2)设，．
（ⅰ）若在区间上存在零点，求a的取值范围；
（ⅱ）当时，若在区间上的最小值是0，求a的值．
【答案】(1)零点是0；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）a的值为．
【分析】（1）由即可求解零点；
（2）（ⅰ）对求导，再对分类讨论，判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解的范围；
（ⅱ）对分类讨论，求出的最小值，从而可得的值．
【详解】（1）因为，
令，即，
解得，
所以的零点是0；
（2）（ⅰ）因为，所以，所以，
①当时，．所以在区间上单调递增．
所以．
所以在区间上不存在零点，不符合题意．
②当时，令，即，得．
若，即时，．所以．
所以在区间上单调递增．
又，所以在区间上不存在零点，不符合题意．
若，即时，令，得；令，得．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
因为，所以存在，使得．
当，．
所以存在，使得．
由零点存在性定理，存在，使得．
所以在区间上存在零点．
综上所述，a的取值范围是；
（ⅱ）当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以当时，取得极小值，也是最小值．
①当，即时，在区间上单调递增．
所以在区间上最小值为．
所以．
所以．
②当，即时，在区间上单调递减．
所以在区间上最小值为．
所以．
所以，不符合题意．
③当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以在区间上最小值为．
所以，即．
令，
所以．
所以在区间上单调递减．
因为，
所以在区间上无零点．
所以当时，方程无解，不符合题意．
综上所述，a的值为．
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
26．（22-23高二下·北京·期中）已知函数，其中且.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数没有零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）首先求函数的导数，分，和三种情况，讨论函数的单调性；
（3）根据（2）的结果，由单调性确定函数的最值，根据函数无零点，确定的取值范围.
【详解】（1）当时，，所以，
因此切线的斜率，
又因为，所以切点为，
所以切线方程为,即.
（2）因为的定义域为，，
①当时，令，解得，
因为，所以
当x变化时，、变化情况如下表：
x
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
所以时，的单调增区间为，单调减区间为
②当时，的定义域为，
因为，，所以，
所以在定义域上单调递减，
所以时，没有单调增区间，单调减区间为，
③当时，的定义域为，
令，解得，
因为，所以，
当x变化时，、变化情况如下表：
x
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
所以时，的单调增区间为，单调减区间为，
综上所述，时，的单调增区间为，单调减区间为，
时，没有单调增区间，单调减区间为，
时，的单调增区间为，单调减区间为；
（3）由第（2）问的结论知，
①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
因为，所以，所以，因此；
所以当时，函数没有零点，符合题意；
②当时，在定义域上单调递减，
，，
下面证明：
构造函数，因为，
当时，，
所以在上单调递减，所以，
即，
因为在定义域上单调递减，，，
因此当时，函数恰好有1个零点，不符合题意；
③当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，注意到且，
所以要使函数没有零点，必须有，解得；
又因为，所以；
即：当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
故函数没有零点，符合题意；
综上所述，实数a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题考查导数与函数性质，零点问题的综合应用，本题第二问，不仅要考虑讨论，同时还需注意定义域的变化，第三问的关键在第二问讨论的基础上，也需分情况讨论函数的最值，由函数无零点，证明不等关系.
27．（21-22高二下·北京·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若在上有且只有一个零点，求在上的最大值与最小值的和．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）先对函数求导，对分类讨论，即可得出函数单调性；
（2）由（1）可得函数极值点，根据函数有且只有一个零点可判断零点即为极小值点，据此求出，再由函数单调性求出函数最大值与最小值即可得解.
【详解】（1），
当时，，∴在R上是单调增函数.
当，此时，当或时，，时，，
在和上单调递增，在上单调递减.
当时，，当或，，，，
在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在R上是单调增函数，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，又，
所以此时在内无零点，不满足题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又在内有且只有一个零点，所以，得，
所以,则，
当时，，单调递增，当时,，单调递减.
则，则，
所以在上的最大值与最小值的和为.
28．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数，其中．
(1)当时，求函数的极小值；
(2)求函数的单调区间；
(3)证明：当时，函数有且仅有一个零点．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，求出函数的单调区间，再根据极小值的定义即可得解；
（2）求导，再分，和三种情况讨论，即可得解；
（3）由（2）得当时，在上单调递增，在上单调递减，则函数的极大值为，再利用导数证明极大值即可得证.
【详解】（1）当时，，
，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极小值为；
（2），
令，得，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，或时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，或时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，的单调增区间为，无单调减区间；
当时，的单调增区间为，减区间为；
当时，的单调增区间为，减区间为；
（3）由（2）得当时，
在上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值为，
极小值为，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，
所以当时，，
又当时，，当时，，
如图，作出函数的大致图象，
由图可得函数有且仅有一个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：
（1）求函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.
29．（22-23高三上·北京通州·期中）已知函数设，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把函数零点问题转化成两个函数图象有交点问题，再画出图象，结合导函数求出两个函数有一个交点时实数的值，再结合图象分析有两个交点时实数的取值范围.
【详解】因为函数有两个零点，所以函数的图象与函数的图象有两个不同的交点.
函数恒过定点,，如图所示，两个函数图象已经有一个交点.
时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.
时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.
综上，要使函数有两个零点，则实数的取值范围是.
故选：D.
30．（22-23高二下·北京顺义·期中）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系对进行分类讨论可求；
（2）结合（1）中函数的单调性，再由函数零点判定定理可求.
【详解】（1）函数的定义域为，
导函数，
当时，恒成立，在定义域上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）得，当时，在定义域上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，，时，，
若函数有两个零点，则，解得，
故的取值范围为
【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
31．（22-23高二下·北京东城·期中）已知函数．
(1)设；
①求单调区间；
②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．
(2)若在上恰有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)①在上单调递增，在上单调递减；②有极大值，无极小值
(2)
【分析】（1）①求导，然后解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；②根据函数的单调性
即可求解极值问题．
（2）由题意，转化为方程有两个解，即直线与函数，有两个交点，构造，求导得到其单调性，数形结合，即可求出的取值范围．
【详解】（1）当时，，，
则，
令，得，令，得，
在上单调递增，在上单调递减；
结合当时，函数有极大值，无极小值．
（2）因为函数在上恰有两个零点，
所以方程在上有两个解，
即在上有两个解，
记，，
则直线与函数，有两个交点，
则，
记，
则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
令得，又，，
所以当时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
又，，，
如图，

由图知，要使直线与函数，
有两个交点，则，
所以函数在上恰有两个零点时，的取值范围为．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
利用导数研究方程的根
32．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知关于x的方程．当时，方程的实数根为 ．若方程在内有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】第一空：化简方程转化为的零点问题，利用导数判断其单调性即可；
第二空：化简方程为函数与函数在上有两个交点，结合直线的斜率与图象即可得到结果.
【详解】当时，原方程
令，易知在上单调递增，在上单调递减，又，故只有一个根；
问题转化为：函数与函数在上有两个交点，
显然是其中一个交点，
又由上知时只有一个交点，不符要求；
显然时两函数只有一个交点，不符要求；
当时，更平缓，由图象可得其与在存在一个交点，符合要求；
当，更陡峭，由图象可得当时两函数交点横坐标超过，符合要求；
故
故答案为：；
33．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数，则方程的解的个数为 .
【答案】3
【分析】分区间计算方程，根据方程的跟的数量即可判断解的个数.
【详解】当时，，令可得或，
解得或，
因为，所以当时，的解有2个；
当时，，令可得，
设，则，令，解得，
故在单调递增，单调递减，
其中，在无零点，
，在有一个零点，
即当时，的解有1个；
综上方程的解的个数为：3.
故答案为：3.
34．（22-23高二下·北京房山·期中）设函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若已知，且的图象与相切，求b的值；
(3)在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)3
(3)
【分析】（1）代入的值，求出的解析式，求出函数的导数，即可求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导数，设出求出方程，得到关于的方程，解出即可；
（3）问题转化为，求出函数的单调性和极值，写出的范围即可．
【详解】（1）当时，，则，
当或时，；当时，，
所以f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）因，
则，
设函数与直线相切的切点是，
因为，所以，
所以有，
可得，
又，相减得，
所以，所以，
解得：；
（3）时，，
的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，
设函数，则，
时，或；时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
时取极大值，时取极小值，
所以的取值范围为．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
35．（22-23高二下·北京大兴·期中）已知函数．
(1)求的极值；
(2)比较的大小，并画出的大致图像；
(3)若关于的方程有实数解，直接写出实数的取值范围．
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)，作图见解析
(3)
【分析】
（1）求导，分析导函数的符号，得出单调性和极值；
（2）利用（1）中的单调性和指数函数的符号进行判断；
（3）结合（2）的图像，将方程解的个数转化为图像的交点的个数
【详解】（1）
的定义域为，，
于是时，单调递增；
时，单调递减，
又，则在处取到极小值，无极大值.
（2）
由（1）知，在区间上单调递减．故．
又因为当时，，故，所以．
因为，所以．结合（1）中的单调性，大致图像如下：
（3）的解的个数可以看成和直线在同一坐标系下图像交点的个数，
由（2）的图像知，当的取值不小于最小值即可，即
36．（22-23高二下·北京·期中）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
(3)若方程有三个根，写出k的取值范围（无需解答过程）.
【答案】(1)增区间为和，减区间为
(2)，
(3)
【分析】
（1）利用导数求出函数单调区间；
（2）根据函数的增减性确定函数的最值；
（3）由函数图象的变化情况，结合函数的极值得出结论.
【详解】（1）,
令可得或，
令可得，
故函数的增区间为和，减区间为.
（2）由（1）知，上递增，在递减，
故当时，，
又，故.
（3）由（1）（2）知函数在上递增，在上递减，在上递增，且极大值为，极小值为，
若方程有三个根，即与图象有3个交点，
故k的取值范围为.
37．（21-22高二下·北京海淀·期中）如图，过原点斜率为k的直线与曲线交于两点，,
①k的取值范围是．
②．
③当时，先减后增且恒为负．
以上结论中所有正确结论的序号是（　　）

A．① B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【分析】对于①，构造，，求导，结合函数有两个不同的零点，得到，并求出的单调性和极值，最值情况，由得到①正确；对于②，在①的基础上，得到，从而得到②错误；对于③，由①②，结合图象得到③正确.
【详解】对于①，令，，则，
由已知有两个不同的零点，
当时，恒成立，故在上单调递减，
不满足有两个不同的零点，舍去；
则，
令得，令得，
∴在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值，
又时，，时，，
∴只需，则，故①正确；

对于②，由①可知，∴，故②错误；
对于③，结合图象可知，当时，先减后增且恒为负，故③正确．
∴所有正确结论的序号是①③．
故选：C
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的
条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
38．（23-24高三上·北京·期中）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．0是的极值点
C．在上有且仅有1个零点 D．的值域是
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义判断A，根据极值点定义判断B，根据函数的单调性判断C，取特殊值判断D.
【详解】的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数是奇函数，故A错误；
，，当时，当时，故不是函数的极值点，故B错误；
由B知，当时，单调递增，又，所以在上有且仅有1个零点，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：C
39．（23-24高三上·北京·期中）已知函数，是常数.
(1)求函数的图象在点处的切线的方程；
(2)证明函数的图象在直线的下方；
(3)讨论函数零点的个数.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出的方程；
（2）两函数作差构造新函数，利用导数求最值，可证结论；
（3）把函数零点的个数看作两个函数的公共点的个数，结合图象讨论可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，，，
所以函数在点处的切线的方程为，
即.
（2）证明：令，其中；
，令得.
当时，，为增函数；当时，，为减函数；
所以有最大值，即时，，
所以函数的图象在直线的下方.
（3）令，即，
由（1）知，当时，直线与曲线相切于点，
此时只有一个零点；
作图象，直线恒过.
当时，直线与的图象有且只有一个交点，即只有一个零点；
当时，直线与的图象有两个交点，即有两个零点；
当时，直线与的图象没有交点，即无零点.
综上可知，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；
当时，有两个零点.
40．（23-24高三上·北京·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】
（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）由题设，讨论、，结合对应的定义域及其导数符号判断单调性；
（3）问题化为在在有两个不同根，利用导数研究右侧的值域范围，即可得参数范围.
【详解】（1）由题设，则，故，，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）由，
当，定义域为，此时，故，即在上递减；
当，定义域为，
若，则，在上递增；
若，则，在上递减；
（3）由题设，，故在有两个不同零点，
所以在在有两个不同根，
令，则，
在，则，在上递减，
在，则，在上递增，且，
趋向于0或时都趋向于，故只需，满足题设.
41．（23-24高三上·北京·期中）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)若在上存在零点，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，没有极小值.
(2)0
(3)
【分析】
（1）利用导函数求函数的极值；
（2）根据导函数求函数的最值；
（3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域：，，
令，则，变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则的极大值为：，没有极小值；
（2）当时，，定义域：，
，
令，定义域：，，
则在上是增函数，则，所以，
即在上是增函数，则.
（3），定义域：，
，
令，定义域：，，
（1）当时，，则在上是减函数，则，
当时，，则在上是减函数，，不合题意；
当时，，，则存在，使，即，
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则，只需，即；
（2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；
（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，
则在上是增函数，，不合题意，
综上所述，的取值范围是.
42．（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极小值，求的值，并说明理由.
(3)若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）由导数与极值的关系即可求解；
（3）根据导函数的初始值，结合导函数的图象的连续性，进行分类讨论研究，即可得到实数的取值范围.
【详解】（1）因为，则，，
故，所以曲线在点处的切线方程为
（2）由（1）知，
函数在处取得极小值，所以 ，此时，
所以，
设，则
因在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以当时，，当时，，
即 在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，满足题意，
故，
（3）因为，则，，
当，即，由函数图象的连续性可知，
必存在正实数，使得对任意的，，
此时单调递增，从而，不符合题意；
当，即，由函数图象的连续性可知，
必存在正实数，使得对任意的，，
对应单调递减，从而，符合题意；
当时，，，
设，在上恒为正，
所以在上单调递增，
所以在上，在上单调递增，
从而，不合题意；
综上，的范围是
43．（23-24高三上·北京丰台·期中）已知函数，．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的值．
【答案】(1)0
(2)1
【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，即可求出结果；
（2）利用（1）中函数，对求导，得到，再对进行分类讨论，求出相应的单调区间，再结合题设条件即可求出结果.
【详解】（1）当时，函数，
易知，，，
当，，当，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故最大值为.
（2）令
则，
当时，由，即，得到，显然不合题意，故，
由，得到，故
当时，时，，时，，
即时，函数在区间单调递增，在区间上单调递减，
又，，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，
由（1）知当时，恒成立，即恒成立，
当时，时，，时，，
即时，函数在区间单调递增，在区间上单调递减，
又，，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，
当，恒成立，即在区间上单调递增，
又，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，
综上所述，实数的值为.
44．（22-23高三上·北京海淀·期中）已知函数，且．
(1)求的值；
(2)求的单调区间；
(3)设实数满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值．
【答案】(1)
(2)增区间，减区间
(3)
【分析】（1）根据已知条件列方程组，从而求得.
（2）利用导数求得的单调区间.
（3）结合的图象、切线以及不等式恒成立求得的最大值.
【详解】（1）依题意，，解得.
（2）由（1）得，，
当时，，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
（3）由（2）得，
所以的图象在处的切线方程为，此时.
同时，，因此在时恒成立，
直线是曲线的切线，则，
结合图象可知，当时，不恒成立.
当时，，恒成立.
当时，，因此，所以的最大值为.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出
的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.
45．（23-24高三上·北京昌平·期中）已知，其中.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的极值；
(3)若对于恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值.
(3)
【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；
（2）利用导函数求出函数的单调性，进而得出极值；
（3）将不等式恒成立转化成函数的最小值恒成立问题，化简整理可得，构造函数并求得其最大值即可得出的最大值.
【详解】（1）当时，，.
即曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，则；
令，则，即在上单调递增；
又易知，所以当时，，当时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增；
即函数的极小值为，无极大值.
（3）对于恒成立，可得在恒成立；
令，则，又，
由可解得，
易知当时，，当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得极小值，
也是最小值为；
易知，所以可得，
令，则，
因此当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减；
即，即.
故的最大值为.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，一般情况下将不等式化简变形并通过构造函数求得函数在定义域内的最值，再根据题意求解即可得出结论.专题04 导数的综合应用5种常考题型归类
利用导数证明不等式
1．（22-23高二下·北京·期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.
2．（21-22高二下·北京·期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，记函数的最小值为，求证：.
3．（21-22高二下·北京·期中）已知函数
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围.
(2)若，求证：当时，
4．（22-23高二下·北京东城·期中）已知函数．
(1)时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)证明不等式恒成立．
5．（23-24高三上·北京通州·期中）已知函数，，.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值；
(3)当时，求证：对任意，恒有成立.
6．（23-24高三上·北京·期中）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知m，n是正整数，且，证明．
7．（22-23高二下·北京大兴·期中）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求证：当时，；
(3)对任意的，判断与的大小关系，并证明结论．
8．（22-23高二下·北京大兴·期中）已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)设函数，证明：的图象在的图象的上方．
利用导数研究不等式恒成立问题
9．（22-23高一下·北京·期中）已知函数，其中.
(1)若曲线在点处的切线是轴，求的值；
(2)当时，求证：；
(3)若对，恒成立，求的取值范围.
10．（21-22高二下·北京·期中）已知函数．
(1)求证：
(2)设，若在区间内恒成立，求k的最小值．
11．（22-23高三上·北京顺义·期中）已知函数.
(1)当时，求的单调增区间；
(2)当时，求证：在上是增函数；
(3)求证：当时，对任意，.
12．（23-24高三上·北京·期中）已知函数，曲线在点处的切线为．
(1)求的方程；
(2)判断曲线与直线的公共点个数，并证明；
(3)若，令，求证：对任意的，都有成立．
13．（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上恒成立，求的取值范围；
(3)试比较与的大小，并说明理由．
14．（23-24高三上·北京通州·期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
15．（23-24高三上·北京·期中）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的零点个数；
(3)若对于任意，恒成立，求的取值范围．
16．（23-24高三上·北京·期中）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围.
利用导数研究能成立问题
17．（21-22高二下·北京·期中）已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
18．（21-22高二下·北京·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．（22-23高二下·北京·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值；
(3)若存在，，使得，求的取值范围．
20．（22-23高二下·北京·期中）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若存在（是常数，）使不等式成立，求实数a的取值范围.
利用导数研究函数的零点
21．（20-21高二下·北京·期中）设函数，则“”是“有个零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
22．（23-24高二上·北京·期中）已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数的定义域及单调区间；
(3)求函数的零点的个数．
23．（21-22高二下·北京东城·期中）已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最小值；
(3)当时，求函数的零点个数.（只需写出结论）
24．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．
25．（22-23高二下·北京通州·期中）已知函数．
(1)求的零点；
(2)设，．
（ⅰ）若在区间上存在零点，求a的取值范围；
（ⅱ）当时，若在区间上的最小值是0，求a的值．
26．（22-23高二下·北京·期中）已知函数，其中且.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数没有零点，求实数a的取值范围.
27．（21-22高二下·北京·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若在上有且只有一个零点，求在上的最大值与最小值的和．
28．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数，其中．
(1)当时，求函数的极小值；
(2)求函数的单调区间；
(3)证明：当时，函数有且仅有一个零点．
29．（22-23高三上·北京通州·期中）已知函数设，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．（22-23高二下·北京顺义·期中）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
31．（22-23高二下·北京东城·期中）已知函数．
(1)设；
①求单调区间；
②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．
(2)若在上恰有两个零点，求的取值范围．
利用导数研究方程的根
32．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知关于x的方程．当时，方程的实数根为 ．若方程在内有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ．
33．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数，则方程的解的个数
为 .
34．（22-23高二下·北京房山·期中）设函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若已知，且的图象与相切，求b的值；
(3)在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）．
35．（22-23高二下·北京大兴·期中）已知函数．
(1)求的极值；
(2)比较的大小，并画出的大致图像；
(3)若关于的方程有实数解，直接写出实数的取值范围．
36．（22-23高二下·北京·期中）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
(3)若方程有三个根，写出k的取值范围（无需解答过程）.
37．（21-22高二下·北京海淀·期中）如图，过原点斜率为k的直线与曲线交于两点，,
①k的取值范围是．
②．
③当时，先减后增且恒为负．
以上结论中所有正确结论的序号是（　　）

A．① B．①② C．①③ D．②③
38．（23-24高三上·北京·期中）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．0是的极值点
C．在上有且仅有1个零点 D．的值域是
39．（23-24高三上·北京·期中）已知函数，是常数.
(1)求函数的图象在点处的切线的方程；
(2)证明函数的图象在直线的下方；
(3)讨论函数零点的个数.
40．（23-24高三上·北京·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围.
41．（23-24高三上·北京·期中）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)若在上存在零点，求的取值范围.
42．（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极小值，求的值，并说明理由.
(3)若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围.
43．（23-24高三上·北京丰台·期中）已知函数，．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的值．
44．（22-23高三上·北京海淀·期中）已知函数，且．
(1)求的值；
(2)求的单调区间；
(3)设实数满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值．
45．（23-24高三上·北京昌平·期中）已知，其中.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的极值；
(3)若对于恒成立，求的最大值.

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