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专题7-3 离散型随机变量的均值与方差（数字特征）
【题型1】求离散型随机变量的均值（期望）
【题型2】 均值的性质
【题型3】由离散型随机变量的均值求参数
【题型4】求离散型随机变量的方差、标准差
【题型5】方差的性质
【题型6】方差的期望表示*
【题型7】求两点分布的均值与方差
【题型8】离散型随机变量的综合问题
【题型1】求离散型随机变量的均值（期望）
离散型随机变量的均值
(1)定义
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 xn
P
则称为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平.
(2)对均值(期望)的理解
求离散型随机变量的期望应注意：
①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
②是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述X取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝(　　 )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【答案】D
【分析】由对立事件与独立事件的概率公式求出 ,由题意知，分别求出相应的概率能求出.
【详解】设两市受台风袭击的概率均为，
则市或市都不受台风袭击的概率为
，解得或 (舍去)，
，
,
,故选D.
（高二下·山东滨州·期中）已知随机变量X的分布列如下所示，则（ ）
X 0 2 4
P m
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先由概率和为1，列方程求出，然后利用期望公式求解即可
【详解】由题意得，解得，
所以
某射手射击一次所得环数X的分布列如下表：
X 7 8 9 10
P 0.1 0.4 0.3 0.2
现该射手进行两次射击，以两次射击中所得最高环数作为他的成绩，记为，则______.
【答案】9.1
【详解】X的取值范围为，且，
，
，
.
所以分布列为
7 8 9 10
P 0.01 0.24 0.39 0.36
（高二下·浙江嘉兴·期中）不透明的盒子中有个球，其中个绿球，个红球，这个小球除颜色外完全相同，每次不放回的从中取出个球，取出红球即停. 记为此过程中取到的绿球的个数.
(1)求；(2)写出随机变量的分布列，并求.
【答案】(1)，(2)分布列见解析，
【分析】（1）表示第一、二次抽取的都是绿球，第三次抽取红球，结合独立事件的概率乘法公式可求得的值；
（2）分析可知，的可能取值有、、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）解：表示第一、二次抽取的都是绿球，第三次抽取红球，
所以，.
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，
，，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
【巩固练习1】已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用概率和为1计算出的概率，结合期望公式计算即可.
【详解】结合表格可知，
即，解得：，
所以.
【巩固练习2】（高二下·湖南衡阳·期中）一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列，再计算期望即可.
【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.
且，，.
因此X的分布列为：
X 2 3 4
P
则
【巩固练习3】（高二下·福建漳州·期中）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的，，三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种，则三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率是 ；记，，三个区选择的疫苗批号的中位数为，则的期望是 .
【答案】
【分析】根据题意，利用古典概型的概率计算公式，求得三个区注射的疫苗批号恰好有两个区相同的概率；再由三个区选择的疫苗批号的中位数为的所有可能值为，求得相应的概率，结合期望的公式，即可求解.
【详解】设三个区注射的疫苗批号恰好有两个区相同记为事件，则；
再设三个区选择的疫苗批号的中位数为，则的所有可能值为，
可得，
，
，
所以的数学期望为.
【题型2】 均值的性质
若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且
.
特别地，当时，；当时，；当时，.
已知随机变量X的分布列表如下表，且随机变量，则Y的期望是（ ）
X -1 0 1
m
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由随机变量X的分布列求出m，求出，由，得，由此能求出结果．
【详解】由随机变量X的分布列得：，解得，
，，
．
已知随机变量满足，则（ ）
A．或4 B．2 C．3 D．4
【分析】根据均值的性质可得，则即为，解方程求得答案.
【详解】因为，所以，
解得或（舍去）
【巩固练习1】已知的分布列为：
设则的值为
A． B． C． D．5
【答案】A
【详解】由题意可知E（η）＝﹣101．
∵，所以＝E（3η﹣2）＝3E（η）﹣23．
【巩固练习2】设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝__.
【答案】
【详解】依题意得，且概率和，解得.
【巩固练习3】已知随机变量X的分布列如下表所示
x 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 b 0.2 0.1
则的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先求出b的值，再利用期望定义求出，再进一步求出.
【详解】由题得，
所以
所以.
【题型3】由离散型随机变量的均值求参数
根据分布列的性质以及期望公式即可求出参数
若随机变量的分布列如下表，且， 则表中的值为_______.
【答案】
【解析】根据概率之和为求得的值，然后利用随机变量的数学期望值可求出实数的值.
【详解】由于概率之和为，则，
，解得.
已知X的分布列为
X ﹣1 0 1
P
且Y＝aX+3，E（Y），则a为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】先求出（﹣1）01．再由Y＝aX+3得．
∴a（）+3，解得a＝2．
（高二下·江苏镇江·期末）已知随机变量满足，其中，若，则 ， ．
【答案】
【详解】由，
可得，，，
所以，则，
又，则.
【巩固练习1】设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，若的均值 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】将，2，3，4代入的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值.
【详解】依题意可的的分布列为：
1 2 3 4
依题意得，解得，，故.
【巩固练习2】某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为，考试次数为X，若X的数学期望，则p的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据独立重复实验的概率计算方法求出随机变量X的分布列，根据数学期望的公式即可计算p的范围.
【详解】考试次数的所有可能取值为1，2，3，
，，，
∴，
即，解得或，又，故．
【巩固练习3】已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为：
X 0 1
P a b
则a，b的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据期望的性质可求得，再根据期望公式及概率之和为1，列出方程组，解之即可得解.
【详解】解：因为，
所以，则有，解得.
【题型4】求离散型随机变量的方差、标准差
离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 xi xn
P p1 p2 pi pn
则称D(X)=+++=为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X).
(2)意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
（高二·辽宁辽阳·期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先找出X的取值可能，计算每种可能的概率后结合方差定义计算即可得.
【详解】由题意可知，X的取值可能为，，，
因为，
，
，
所以，
故．
（高二·广东广州·期末）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：
0 1
则的值为 ．
【答案】
【分析】根据给定表格，求出的分布列，再利用方差的定义计算即得.
【详解】依题意，的取值为0，1，且，，
则的期望，
所以的方差.
故答案为：
【巩固练习1】（高二下·山东潍坊·期末）随机变量的分布列是
2 4
P a b
若，则 ．
【答案】
【分析】根据概率之和等于1及求得，然后再利用方差公式即可求得答案.
【详解】解：，即，
又因，所以，
所以.
【巩固练习2】若离散型随机变量的分布列为
0 1
则的方差 .
【答案】
【分析】根据分布列的性质求出参数的值，在根据期望、方差公式计算可得.
【详解】由，解得或（舍去）.
的分布列为
，则.
【巩固练习3】（高二下·山东淄博·期末）随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P
则 ．
【答案】
【分析】利用概率之和为1算出，然后利用期望和方差的计算公式进行计算即可.
【详解】由概率之和为1可得，
，
【巩固练习4】（浙江杭州·期末）在一次随机试验中，事件发生的概率为，事件发生的次数为，则期望 ，方差的最大值为 ．
【答案】
【详解】记事件发生的次数为可能的值为
期望
方差
故期望，方差的最大值为
【题型5】方差的性质
若离散型随机变量X的方差为，，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且.
若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用期望、方差性质求新数据的期望、方差.
【详解】由期望、方差的性质知：，
离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 .
【答案】
【分析】根据方差的定义求得，然后利用方差性质求解即可.
【详解】由题意及方差定义知，所以.
【巩固练习1】若随机变量的分布列如表，且，则的值为（ ）
0 2
A．9.2 B．5 C．4 D．1
【分析】由概率之和等于1得出，求出方差，并由方差性质求解即可.
【详解】由题意可得：，解得，因为，所以，
解得．所以．
所以．
【巩固练习2】已知随机变量X满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【分析】根据期望和方差公式，即可判断选项.
【详解】，得，
，.
【巩固练习3】设，若随机变量的分布列如下表：
－1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可.
【详解】由题意，得，则，
所以，，
所以，，
所以，，
即最大
【题型6】方差的期望表示*
利用数学期望计算方差非常简便，尤其是样本数较多的情形。
（高二下·安徽黄山·期末）随机变量的分布列如下表，则 .
0 1 2
0.4 0.2
【答案】20
【分析】由概率和为1求出a，先求出和，进而求出.
【详解】由，所以，，
（2023高二·安徽）一离散型随机变量的分布列为：
0 1 2 3
0.1
其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为 ．
【答案】0.1
【分析】由题意得再利用期望、方差的性质计算可得答案.
【详解】由题意得，，
，
当时有最大值，此时，解得．
【巩固练习1】（浙江·期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则 ， ．
【答案】 1 1
【分析】根据题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，进而求出和，根据计算即可.
【详解】解：的所有可能取值为0，1，2，3．
；
；
；
．
得，
所以，
所以．
【巩固练习2】（高二下·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ．
X 0 1 2
P
【答案】1
【分析】根据所给的分布列，写出关于概率p的不等式组，解出p的范围，写出期望和方差的表示式，根据p的范围，求出最值.
【详解】，，
，，
，
当时，.
【题型7】求两点分布的均值与方差
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
已知随机变量服从两点分布，且，设，那么________．
【答案】
【解析】先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.
【详解】，
（多选）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用两点分布的期望与方差公式求解即可.
【详解】依题意，得，，服从两点分布，
所以，，，，
因为，则，，
所以，，，
所以，，，
，即，
所以ACD错误，B正确.
【巩固练习1】已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ．
【答案】
【解析】先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.
【详解】，
故答案为：
【巩固练习2】（高二·广西桂林·期末）一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ．
【答案】
【分析】先求出期望，借助期望求方差.
【详解】由题知，一次射门命中次数为0次或1次，
,
因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3，
【巩固练习3】（多选）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，，再根据，，计算期望和方差.
【详解】因为随机变量服从两点分布，且，所以，
，所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D不正确.
【题型8】离散型随机变量的综合问题
（高二下·广东广州·期末）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A的概率为0.8，可获公益基金1千元；猜对歌曲的概率为0.5，可获公益基金2千元；猜对歌曲的概率为0.5，可获公益基金3千元．规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记嘉宾获得的公益基金总额为千元，则（ ）
A．
B．
C．
D．获得公益基金的期望值与猜歌顺序无关
【答案】BC
【分析】确定X的取值，求得每个值对应概率，可判断A；继而可求得期望和方差，根据期望和方差的性质可判断B，C；再求出按照的顺序猜时的期望值，比较可判断D.
【详解】由题意，可分别用表示猜对三首歌曲歌名的的事件，则相互独立，
按照的顺序猜，则X的取值可能为，
则，，
，，
则，
，
故，，
由此可知A错误；B正确，C正确；
假设按照的顺序猜，设Y表示此时获得的公益基金总额
则，，
，，
则，
与按照的顺序猜的期望值不同，故D错误
甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都
投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)求甲、乙两人最终平局的概率；
(3)记甲、乙一共进行了Y轮比赛，求Y的分布列及期望．
【答案】(1)分布列见解析
(2)
(3)分布列见解析，期望为
【分析】（1）X的所有可能取值为－1，0，1，求出相应的概率列出分布列即可；
（2）因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：①四轮比赛中甲、乙均得0分；②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分；③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分；再分别求出每一种情况的概率相加即可；
（3）Y的所有可能取值为2，3，4，求出对应的概率列出分布列即可.
【详解】（1）依题意，
X的所有可能取值为－1，0，1．
，
，
，
所以X的分布列为
X －1 0 1
P 0.3 0.5 0.2
（2）因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：
①四轮比赛中甲、乙均得0分，其概率为．
②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分，
其概率为．
③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分，
其概率为．
故甲、乙两人最终平局的概率为．
（3）Y的所有可能取值为2，3，4．
，
，
，
所以Y的分布列为
Y 2 3 4
P 0.13 0.13 0.74
．
，，，四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方下场，第1局由，对赛，接下来按照，的顺序上场第2局、第3局（来替换负的那个人），每次负的人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后（即排到最后一个），需要再等2局（即下场后的第3局）才能参加下一场练习赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.
(1)求前4局都不下场的概率；
(2)用表示前局中获胜的次数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据前4局A都不下场，由前4局A都获胜求解；
（2）由的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求得其概率，列出分布列，再求期望.
【详解】（1）前4局都不下场说明前4局都获胜，
故前局都不下场的概率
（2）依题意的所有可能取值为0，1，2，3，4，
其中，表示第1局输，第4局是上场，且输，则；
表示第1局输，第4局是上场，且赢或第1局赢，且第2局输，
则；
表示第1局赢，且第2局赢，第3局输，
则；
表示第1局赢，且第2局赢，第3局赢，第4局输，
则；
表示第1局赢，且第2局赢，第3局赢，第4局赢，
则
所以的分布列为
0 1 2 3 4
故的数学期望为
【巩固练习1】（高二下·福建厦门·期中）甲乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢3局的运动员获胜，并结束比赛，设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，设为结束比赛所需要的局数，随机变量X的数学期望是 .
【答案】
【分析】先分析的所有取值，再求出，，，列出分布列，再利用期望公式求解即可．
【详解】由题意可知的所有取值可能为：3，4，5，
包含甲赢前三局和乙赢前三局两种情况，
则；
包含甲赢前三局中的两局和第四局和乙赢前三局中的两局和第四局两种情况，
则，
，
则的分布列如下：
3 4 5
则
【巩固练习2】2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半
决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．
(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列
【答案】(1)乙；
(2)；
(3)分布列见解析.
【分析】（1）根据概率乘法公式，结合配方法进行求解即可；
（2）根据概率的加法公式和乘法公式进行求解即可；
（3）根据概率的乘法公式进行求解即可.
【详解】（1）甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，因为，
所以，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大；
（2）因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，所以有，
解得，或，因为，所以；
（3）由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为、、，
的可能取值为、、、，
，
，，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
【巩固练习3】某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有3次投篮机会．统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第次投进的概率为，当第次投进时，第次也投进的概率保持不变，当第次没能投进时，第次能投进的概率为．
(1)若选手甲第1次投进的概率为，求选手甲至少投进一次的概率；
(2)设选手乙第1次投进的概率为，每投进1球得1分，投不进得0分，求选手得分的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望
【分析】（1）记选手甲第次投进为事件，未投进为事件，利用概率的乘法公式求解即可；
（2）的取值可为，分别求出对于的概率，然后再求期望.
【详解】（1）记选手甲第次投进为事件，未投进为事件，
则选手甲至少投进一次这一事件的概率为，
因为，
所以；
（2）选手乙得分的取值可为，
记选手乙第次投进为事件，
根据题意，3次都投进的概率依次为，
，
，
，
，
所以的分布列为
.
【巩固练习4】抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a，b，记的取值为随机变量X，其中表示不超过的最大整数.
(1)求在的条件下，的概率；
(2)求X的分布列及其数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用列举法结合条件概率公式即可得解；
（2）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.
【详解】（1）记抛掷骰子的样本点为，
则样本空间为，
则，
记事件“”，记事件“”，
则，且，
又
，
则，
所以，
即在的条件下，的概率为；
（2）所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
，，，
，，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4 5 6
所以.专题7-3 离散型随机变量的均值与方差（数字特征）
【题型1】求离散型随机变量的均值（期望）
【题型2】 均值的性质
【题型3】由离散型随机变量的均值求参数
【题型4】求离散型随机变量的方差、标准差
【题型5】方差的性质
【题型6】方差的期望表示*
【题型7】求两点分布的均值与方差
【题型8】离散型随机变量的综合问题
【题型1】求离散型随机变量的均值（期望）
离散型随机变量的均值
(1)定义
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 xn
P
则称为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平.
(2)对均值(期望)的理解
求离散型随机变量的期望应注意：
①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
②是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述X取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝(　　 )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
（高二下·山东滨州·期中）已知随机变量X的分布列如下所示，则（ ）
X 0 2 4
P m
A．2 B．3 C．4 D．5
某射手射击一次所得环数X的分布列如下表：
X 7 8 9 10
P 0.1 0.4 0.3 0.2
现该射手进行两次射击，以两次射击中所得最高环数作为他的成绩，记为，则______.
（高二下·浙江嘉兴·期中）不透明的盒子中有个球，其中个绿球，个红球，这个小球除颜色外完全相同，每次不放回的从中取出个球，取出红球即停. 记为此过程中取到的绿球的个数.
(1)求；(2)写出随机变量的分布列，并求.
【巩固练习1】已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（高二下·湖南衡阳·期中）一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【巩固练习3】（高二下·福建漳州·期中）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的，，三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种，则三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率是 ；记，，三个区选择的疫苗批号的中位数为，则的期望是 .
【题型2】 均值的性质
若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且
.
特别地，当时，；当时，；当时，.
已知随机变量X的分布列表如下表，且随机变量，则Y的期望是（ ）
X -1 0 1
m
A． B． C． D．
已知随机变量满足，则（ ）
A．或4 B．2 C．3 D．4
【巩固练习1】已知的分布列为：
设则的值为
A． B． C． D．5
【巩固练习2】设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝__.
【巩固练习3】已知随机变量X的分布列如下表所示
x 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 b 0.2 0.1
则的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型3】由离散型随机变量的均值求参数
根据分布列的性质以及期望公式即可求出参数
若随机变量的分布列如下表，且， 则表中的值为_______.
已知X的分布列为
X ﹣1 0 1
P
且Y＝aX+3，E（Y），则a为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（高二下·江苏镇江·期末）已知随机变量满足，其中，若，则 ， ．
【巩固练习1】设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，若的均值 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为，考试次数为X，若X的数学期望，则p的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为：
X 0 1
P a b
则a，b的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4】求离散型随机变量的方差、标准差
离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 xi xn
P p1 p2 pi pn
则称D(X)=+++=为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X).
(2)意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
（高二·辽宁辽阳·期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（ ）
A． B． C． D．
（高二·广东广州·期末）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：
0 1
则的值为 ．
【巩固练习1】（高二下·山东潍坊·期末）随机变量的分布列是
2 4
P a b
若，则 ．
【巩固练习2】若离散型随机变量的分布列为
0 1
则的方差 .
【巩固练习3】（高二下·山东淄博·期末）随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P
则 ．
【巩固练习4】（浙江杭州·期末）在一次随机试验中，事件发生的概率为，事件发生的次数为，则期望 ，方差的最大值为 ．
【题型5】方差的性质
若离散型随机变量X的方差为，，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且.
若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 .
【巩固练习1】若随机变量的分布列如表，且，则的值为（ ）
0 2
A．9.2 B．5 C．4 D．1
【巩固练习2】已知随机变量X满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【巩固练习3】设，若随机变量的分布列如下表：
－1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【题型6】方差的期望表示*
利用数学期望计算方差非常简便，尤其是样本数较多的情形。
（高二下·安徽黄山·期末）随机变量的分布列如下表，则 .
0 1 2
0.4 0.2
（2023高二·安徽）一离散型随机变量的分布列为：
0 1 2 3
0.1
其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为 ．
【巩固练习1】（浙江·期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则 ， ．
【巩固练习2】（高二下·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ．
X 0 1 2
P
【题型7】求两点分布的均值与方差
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
已知随机变量服从两点分布，且，设，那么________．
（多选）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ．
【巩固练习2】（高二·广西桂林·期末）一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ．
【巩固练习3】（多选）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8】离散型随机变量的综合问题
（高二下·广东广州·期末）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A的概率为0.8，可获公益基金1千元；猜对歌曲的概率为0.5，可获公益基金2千元；猜对歌曲的概率为0.5，可获公益基金3千元．规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记嘉宾获得的公益基金总额为千元，则（ ）
A． B．
C． D．获得公益基金的期望值与猜歌顺序无关
甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X．
(1)求X的分布列；(2)求甲、乙两人最终平局的概率；
(3)记甲、乙一共进行了Y轮比赛，求Y的分布列及期望．
，，，四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方下场，第1局由，对赛，接下来按照，的顺序上场第2局、第3局（来替换负的那个人），每次负的人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后（即排到最后一个），需要再等2局（即下场后的第3局）才能参加下一场练习赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.
(1)求前4局都不下场的概率；(2)用表示前局中获胜的次数，求的分布列和数学期望.
【巩固练习1】（高二下·福建厦门·期中）甲乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢3局的运动员获胜，并结束比赛，设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，设为结束比赛所需要的局数，随机变量X的数学期望是 .
【巩固练习2】2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．
(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列
【巩固练习3】某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有3次投篮机会．统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第次投进的概率为，当第次投进时，第次也投进的概率保持不变，当第次没能投进时，第次能投进的概率为．
(1)若选手甲第1次投进的概率为，求选手甲至少投进一次的概率；
(2)设选手乙第1次投进的概率为，每投进1球得1分，投不进得0分，求选手得分的分布列与数学期望．
【巩固练习4】抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a，b，记的取值为随机变量X，其中表示不超过的最大整数.
(1)求在的条件下，的概率；(2)求X的分布列及其数学期望.

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