资源简介 2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练反比例函数在中考中的常见题型◆知识讲解 1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=（k≠0）． 2．反比例函数y=（k≠0）的性质 （1）当k>0时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y随x的增大而减小． （2）当k<0时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y随x的增大而增大． （3）在反比例函数y=中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积，通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k的值． （4）若双曲线y=图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=． （5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．◆例题解析 例1 （2006，上海市）如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=的图像经过点A， （1）求点A的坐标；（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，求这个一次函数的解析式． 【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代入y=可求得a的值，从而得出点A的坐标． （2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式，从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式． 【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a>0． ∵点A在反比例函数y=的图像上，得3a=，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2，a2=－2是原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去． ∴点A的坐标为（2，6）． （2）由题意，设点B的坐标为（0，m）． ∵m>0，∴m=． 解得m=，经检验m=是原方程的根， ∴点B的坐标为（0，）． 设一次函数的解析式为y=kx+． 由于这个一次函数图像过点A（2，6）， ∴6=2k+，得k=． ∴所求一次函数的解析式为y=x+． 例2 如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点，且S△AOB=3． （1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由． （2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论． 【分析】△AOB是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的，而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了． 由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x轴，y轴的垂线，该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的． 【解答】（1）设B（x，0），则A（x0，），其中0>0，m>0． 在Rt△ABO中，AB=，OB=x0． 则S△ABO =·x0·=3，即m=6． 所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=． （2）由得x2+6x－6=0， 解得x1=－3+，x2=－3－． ∴A（－3+，3+），D（－3－，3－）． 由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P（x，y），有 y=．即xy=6． ∴S△DEO =│xDyD│=3，即S△DEO =S△ABO． （3）由A（－3+，3+）和D（－3－，3－）可得AO=4，DO=4，即AO=DO． 由图可知∠AOD>90°，∴△AOD为钝角等腰三角形． 【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断．◆强化训练一、填空题1．（2006，南通）如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______． 图1 图2 图32．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．3．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为_______．4．若y=中，y与x为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限内的某点，则a=______．5．反比例函数y=的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．6．已知双曲线xy=1与直线y=－x+无交点，则b的取值范围是______．7．反比例函数y=的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______．8．（2008，咸宁）两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图像如图3所示，点P在y=的图像上，PC⊥x轴于点C，交y=的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图像于点B，当点P在y=的图像上运动时，以下结论： ①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化； ③PA与PB始终相等 ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点． 其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．二、选择题9．（2008，济南）如图4所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，若双曲线y=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ） A．1 图4 图5 图610．反比例函数y=（k>0）的第一象限内的图像如图5所示，P为该图像上任意一点，PQ垂直于x轴，垂足为Q，设△POQ的面积为S，则S的值与k之间的关系是（ ） A．S= B．S= C．S=k D．S>k11．如图6，已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（ ） A．2 B． C． D．212．函数y=与y=mx－m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）13．如果不等式mx+n<0的解集是x>4，点（1，n）在双曲线y=上，那么函数y=（n－1）x+2m的图像不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．（2006，攀枝花）正比例函数y=2kx与反比例函数y=在同一坐标系中的图像不可能是（ ）15．已知P为函数y=的图像上一点，且P到原点的距离为，则符合条件的P点数为（ ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个16．如图，A，B是函数y=的图像上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，交x轴于点C，BD平行于y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（ ）A．S=1 B．12三、解答题17．已知：如图，反比例函数y=－与一次函数y=－x+2的图像交于A，B两点，求：（1）A，B两点的坐标； （2）△AOB的面积．18．（2006，广州白云区）如图，已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=－的图像交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：（1）一次函数的解析式； （2）△AOB的面积．19．已知函数y=的图像上有一点P（m，n），且m，n是关于x方程x2－4ax+4a2－6a－8=0的两个实数根，其中a是使方程有实根的最小整数，求函数y=的解析式．20．（2006，北京市）在平面直角坐标系Oxy中，直线y=－x绕点O顺时针旋转90°得到直线L．直线L与反比例函数y=的图像的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式．21．（2008，南通）如图所示，已知双曲线y=与直线y=x相交于A，B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y=于点E，交BD于点C． （1）若点D的坐标是（－8，0），求A，B两点的坐标及k的值；（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；（3）设直线AM，BM分别与y轴相交于P，Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．22．如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AD=10，∠A=60°，以CD为弦的弓形弧与AD相切于D，P是AB上的一个动点，可以与B重合但不与A重合，DP交弓形弧于Q． （1）求证：△CDQ∽△DPA； （2）设DP=x，CQ=y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当DP之长是方程x2－8x－20=0的一根时，求四边形PBCQ的面积．答案:1．20 2．y=－ 3．y= 4．2或－1；－1 5．－2；2 6．0≤b<4 7．（－2，－2）8．①②④ 9．C 10．B 11．C 12．C 13．B 14．D 15．A 16．C17．（1）由，解得， ∴A（－2，4），B（4，－2）． （2）当y=0时，x=2，故y=－x+2与x轴交于M（2，0），∴OM=2．∴S△AOB=S△AOM +S△BOM =OM·│yA│+OM·│yB│=·2·4+·2·2=4+2=6．18．（1）y=－x+2 （2）S△AOB =619．由△=（－4a）2－4（4a2－6a－8）≥0得a≥－， 又∵a是最小整数， ∴a=－1． ∴二次方程即为x2+4x+2=0，又mn=2，而（m，n）在y=的图像上，∴n=，∴mn=k，∴k=2，∴y=．20．依题意得，直线L的解析式为y=x． ∵A（a，3）在直线y=x上， 则a=3．即A（3，3）． 又∵A（3，3）在y=的图像上， 可求得k=9． ∴反比例函数的解析式为y=．21．（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入y=x中，得y=－2． ∴B点坐标为（－8，－2），而A，B两点关于原点对称，∴A（8，2）． 从而k=8×2=16． （2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上， ∴mn=k，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）． S矩形DCNO=2mn=2k，S△DBO=mn=k，S△OEN =mn=k， ∴S四边形OBCE=S矩形DCNO－S△DBO －S△OEN =k． ∴k=4． 由直线y=x及双曲线y=，得A（4，1），B（－4，－1）， ∴C（－4，－2），M（2，2）． 设直线CM的解析式是y=ax+b，由C，M两点在这条直线上，得 解得a=b=． ∴直线CM的解析式是y=x+．（3）如图所示，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1，M1． 设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a，于是p=． 同理q==， ∴p－q=－=－2．22．（1）证∠CDQ=∠DPA，∠DCQ=∠PDA． （2）y=（8≤x≤）． （3）S四边形PBCQ=48－9．2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练一元二次方程◆知识讲解 1．一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0） 2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．一元二次方程的求根公式是 x=（b2－4ac≥0）． 3．二元三项式ax2+bx+c=a（x－x1）（x－x2）．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根． 4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2－4ac．当△>0时，方程有两个不相等的实数根x1=，x2=；当△=0时，方程有两个相等实数根x1=x2=－；当△<0时，方程没有实数根． 5．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=－，x1x2=． 6．以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－（x1+x2）x+x1x2=0． 7．使用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2－4ac解题的前提是二次项系数a≠0． 8．若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根，则ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0．反之，若ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1≠x2，则x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根． 9．一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．◆例题解析 例1 （2006，四川绵阳）若0是关于x的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况． 【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力． 【解答】由题知：（m－2）×02+3×0+m2+2m－8=0，∴m2+2m－8=0． 利用求根公式可解得m1=2，或m2=－4． 当m=2时，原方程为3x=0，此时方程只有一个解，x=0． 当m=－4时，原方程可化为2x2－x=0，解得x1=0，x2=． 例2 （2006，北京海淀）已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： x2－1=0 （1） x2+x－2=0 （2） x2+2x－3=0 （3） …… x2+（n－1）x－n=0 （n） （1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）； （2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 【分析】由具体到一般进行探究． 【解答】（1）<1>（x+1）（x－1）=0，所以x1=－1，x2=1． <2>（x+2）（x－1）=0，所以x1=－2，x2=1． <3>（x+3）（x－1）=0，所以x1=－3，x2=1． …… （x+n）（x－1）=0，所以x1=－n，x2=1． （2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等． 【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查． 例3 （2005，黄冈市）张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁片的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱．且此长方体运输箱底面的长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？ 【分析】首先化无形为有形，画出示意图，分清底面、侧面，底面的长与宽和长方体的高各用什么数或式子表示，然后利用体积相等列出方程求解． 【解答】设这种运输箱底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意， 有x（x+2）×1=15化简，得x2+2x－15=0． ∴x1=－5（舍去） x2=2． 所求铁皮的面积为：（3+2）（5+2）m2=35m2． 所购矩形铁皮所需金额为：35×20元=700元． 答：张大频购回这张矩形铁皮花了700元钱． 【点评】画出示意图是解题的关键．另外本题所采用的是间接设未知数的方法．若直接设出购买铁皮所需金额就困难了．◆强化训练一、填空题1．方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．2．方程（x－1）2=2的解是_______．3．关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．4．配方：x2－6x+_____=（x－____）2；x2－x+______=（x－_____）2．5．方程（x－1）（x+2）（x－3）=0的根是_______．6．关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．7．若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p的值是____．8．两个连续整数的积为210，则这两个数分别是_____．9．若一个三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为_____．10．如果a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2－4a－5，那么a的取值范围是______．二、选择题11．关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ） A．1 B． C．－ D．±12．若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．013．关于x的一元二次方程x2－（k+1）x+k－2=0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断14．已知关于x的方程x2－（2k－1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（ ） A．－2 B．－1 C．0 D．115．方程mx2－4x+1=0的根（ ） A． B． C． D．以上都不对16．关于x的一元二次方程x2－3x+k=0有实数根，则k的取值范围是（ ） A．k< B．k> C．k≤ D．k≥17．方程组的解是，那么方程x2+ax+b=0 （ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个根为2和318．若a，b是方程x2+2x－2002=0的两个不相等的实数根，则a2+3a+b的值是（ ） A．－2002 B．2002 C．2001 D．2000三、解答题19．解方程： （1）x2－6x+9=（5－2x）2 （2）x2－4x+1=020．（2008，贵阳）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同． （1）该公司2006年盈利多少万元？ （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？21．如果方程ax2－bx－6=0与方程ax2+2bx－15=0有一个公共根是3，求a，b的值，并求方程的另一个根．22．（2008，南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？23．（2005，黄冈市）黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（2006，山东枣庄）近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据图所示的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．25．（2006，重庆）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36kg．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1．6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12kg．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？答案1．5x2－x－3=0 5 －1 －3 2．x1=1+，x2=1－ 3．－34．9 3 5．x1=1，x2=－2，x3=3 6．（x－1）（x+2） 7．p=±28．14，15或－15，－14 9．6，12，10 10．a>－111．D 12．B 13．B 14．C 15．B 16．C 17．C 18．D19．（1）x1=，x2=2 （2）x2－4x+1=0，x2－4x+4－4+1=0 ∴（x－2）2=3，x－2=± ∴x1=2+，x2=2－．20．（1）设每年盈利的年增长率为x， 根据题意得1500（1+x）2=2160． 解得x1=0.2，x2=－2.2（不合题意，舍去） ∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800． 答：2006年该公司盈利1800万元． （2）2160（1+0.2）=2592． 答：预计2008年该公司盈利2592万元．21．方程①的另外一根是－2，方程②的另外一根是－5．22．解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得 （x－2）·（2x－4）=288． 解这个方程，得x1=－10（不合题意，舍去），x2=14． 所以x=14，2x=2×14=28． 答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2． 解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为xm． 根据题意，得（x－2）·（x－4）=288． 解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=28． 所以x=28×x=×28=14． 答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．23．设每件童装应降价x元，由题意，得（40－x）（20+2x）=1200，整理，得x2－30x+200=0，（x－10）（x－20）=0，∴x－10=0或x－20=0，解得x1=10，x2=20，因要尽快减少库存，故x应取20．24．设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为（x－1．8）元/升．根据题意，得－=18.75，整理得x2－1.8x－14.4=0，解这个方程，得x1=4.8，x2=－3．经检验两根都为原方程的根，但x2=－3不符合实际意义，故舍去． 答：今年5月份的汽油价格为4.8元/升．25．（1）由题意，得70×（1－60%）=70×40%kg=28kg． （2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为xkg． 由题意，得x[1－（90－x）×1.6%－60%]=12． 整理，得x2－65x－750=0，解得：x1=75，x2=－10（舍去）． （90－75）×1.6%+60%=84%． 答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28kg． （2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为75kg，用油的重复利用率为84%．2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练二元一次方程组◆知识讲解 1．二元一次方程组的有关概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集． 二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 2．二元一次方程组的解法 代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法． 加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法． 3．二元一次方程组的应用 对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤： （1）选定几个未知数； （2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； （3）解方程组，得到方程组的解； （4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．◆例题解析 例1 已知是方程组的解，求（m+n）的值． 【分析】由方程组的解的定义可知，同时满足方程组中的两个方程，将代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m和n的值，从而求出代数式的值． 【解答】把x=2，y=1代入方程组中，得 由①得m=－1，由②得n=0． 所以当m=－1，n=0时，（m+n）=（－1+0）=－1． 【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程． 例2 （2008，长沙市）“5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶． （1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？ （2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？ 【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x，y顶，则 解得：x=41；y=32 答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶． （2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务． 可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献． 例3 （2006，海南）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？ 【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力． 【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元．依题意，得解这个方程组，得 故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元． 例4 （2004，昆明市）为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m3，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m3． （1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？ （2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t土石，运输公司派出A型，B型两种载重汽车，A型汽车6辆，B型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A型汽车3辆，B型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A型汽车，每辆B型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载） 【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是x万m3，则乙水厂的日供水量是3x万m3，丙水厂的日供水量是（x+1）万m3，由三个水厂的日供水量总和为11.8万m3，可列方程x+3x+x+1=11.8； （2）设每辆A型汽车每次运土石xt，B型车每辆每次运土石yt，依题意可列方程组解方程后可求解． 【解答】（1）设甲水厂的供水量是x万m3，则乙水厂的日供水量是3x万m3，丙水厂的日供水量是（x+1）万m3． 由题意得：x+3x+x+1=11.8，解得x=2.4． 则3x=7.2，x+1=2.2． 答：甲水厂日供水量是2.4万m3，乙水厂日供水量是7.2万m3，丙水厂日供水量是2.2万m3．（2）设每辆A型汽车每次运土石xt，每辆B型汽车每次运土石yt，由题意得：????∴ 答：每辆A型汽车每次运土石10t，每辆B型汽车每次运土石15t． 【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法．◆强化训练一、填空题1．若2xm+n－1－3ym－n－3+5=0是关于x，y的二元一次方程，则m=_____，n=_____．2．在式子3m+5n－k中，当m=－2，n=1时，它的值为1；当m=2，n=－3时，它的值是_____．3．若方程组的解是，则a+b=_______．4．已知方程组的解x，y，其和x+y=1，则k_____．5．已知x，y，t满足方程组，则x和y之间应满足的关系式是_______．6．（2008，宜宾）若方程组的解是，那么│a－b│=_____．7．某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元，则每件衬衫售价为_______，每条裤子售价为_______．8．（2004，泰州市）为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，每天8：00至21：00用电每千瓦时0.55元（“峰电”价），21：00至次日8：00用电每千瓦时0.30元（“谷电”价），王老师家使用“峰谷”电后，五月份用电量为300kW·h，付电费115元，则王老师家该月使用“峰电”______kW·h．二、选择题9．二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．已知是方程组的解，则a+b的值等于（ ） A．1 B．5 C．1或5 D．011．已知│2x－y－3│+（2x+y+11）2=0，则（ ） A． B． C． D．12．在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么a，b，c的值是（ ） A．不能确定 B．a=4，b=5，c=－2 C．a，b不能确定，c=－2 D．a=4，b=7，c=213．（2008，河北）如图4－2所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（ ） A．20g B．25g C．15g D．30g14．4辆板车和5辆卡车一次能运27t货，10辆板车和3辆卡车一次能运20t货，设每辆板车每次可运xt货，每辆卡车每次能运yt货，则可列方程组（ ）A． B．C． D．15．七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了14名，这时男女同学之比为5：3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（ ） A．39名 B．43名 C．47名 D．55名16．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：捐款/元1234 人数67 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚． 若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组．（ ）A． B．C． D．17．甲，乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则ah相遇；若同向而行，则bh甲追 上乙，那么甲的速度是乙的速度为（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍18．学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺张数，信封个数分别为（ ） A．150，100 B．125，75 C．120，70 D．100，150三、解答题19．解下列方程组：（1）（2008，天津市） （2）（2005，南充市）20．（2008，山东省）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？21．（2008，重庆市）为支持四川抗震救灾，重庆市A，B，C三地现在分别有赈灾物资00t，100t，80t，需要全部运往四川重灾地区的D，E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20t． （1）求这批赈灾物资运往D，E两县的数量各是多少？ （2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60t，A地运往D县的赈灾物资为xt（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25t．则A，B两地的赈灾物资运往D，E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案： （3）已知A，B，C三地的赈灾物资运往D，E两县的费用如表所示：A地B地C地运往D县的费用/（元/t）220200200运往E县的费用/（元/t）250220210为及时将这批赈灾物资运往D，E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？22．（2003，常州市）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．购苹果数不超过30kg30kg以下但不超过50kg50kg以上每千克价格3元2.5元2元 （1）乙班比甲班少付出多少元？ （2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？答案1．3；－1 2．－7 3．8 4．k= 5．15y－x=6 6．1 7．20元 80元 8．100 9．C 10．C 11．D 12．B 13．A 14．C 15．C 16．A 17．C 18．A19．（1）由②得y=2x－1 ③ 把③代入①得：3x+5（2x－1）=8 即x=1 把x=1代入③得y=1 ∴原方程组的解为 （2）化简方程组，得 ④代入⑤，得y=－3． 将y=－3代入，得x=1 故原方程组的解是：20．设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套，根据题意，得 ①×2－②得：5x=10000． ∴x=2000． 把x=2000代入①得：5y=12000． ∴y=2400． 答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套． 21．（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a（t），运往E县的数量为b（t）． 由题意，得 解得 答：这批赈灾物资运往D县的数量为180t，运往E县的数量为100t． （2）由题意，得 解得 即40 ∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45． 则这批赈灾物资的运送方案有五种． 具体的运送方案是： 方案一：A地的赈灾物资运往D县41t，运往E县59t；B地的赈灾物资运往D县79t，运往E县21t． 方案二：A地的赈灾物资运往D县42t，运往E县58t；B地的赈灾物资运往D县78t，运往E县22t． 方案三：A地的赈灾物资运往D县43t，运往E县57t；B地的赈灾物资运往D县77t，运往E县23t． 方案四：A地的赈灾物资运往D县44t，运往E县56t；B地的赈灾物资运往D县76t，运往E县24t． 方案五：A地的赈灾物资运往D县45t，运往E县55t；B地的赈灾物资运往D县75t，运往E县25t． （3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元，由题意，得 w=220x+250（100－x）+200（120－x）+220（x－20）+200×60+210×20=－10x+60800． 因为w随x的增大而减小，且40 所以，当x=41时，w有最大值，则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为： w=60390（元）．22．（1）乙班共付出70×2=140（元），乙班比甲班少付出189－140=49（元）． （2）设甲班第一次买苹果xkg，第二次买苹果ykg（x ①当x≤30时，则y>30（否则，x+y≤60<70）． 依题意有或者 解之，得 或者（不合题意，舍去） ②若3050， 当y>50，x+y>80>70，不合题意． 当30 ③若x>50，y>x，则x+y>70，不合题意． 故甲班第一次买苹果28kg，第二次买苹果42kg．2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练二次函数◆知识讲解①一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．②当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．③二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．④二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=－，最值为，（k>0时为最小值，k<0时为最大值）．由此可知y=ax2的顶点在坐标原点上，且y轴为对称轴即x=0．⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“＋”，下“－”）平移k（k>0）个单位得到函数y=ax2±k，将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“＋”）平移h（h>0）个单位得到y=a（x±h）2．在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）．⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．⑦抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=－的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=，顶点（－，）为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=－的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴x=－的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=，顶点（－，）为最高点．│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图像两边越靠近x轴；a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－<0，即对称轴在y轴左侧，垂直于x轴负半轴，当a，b异号时，对称轴x=－>0，即对称轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．◆例题解析 例1 已知：二次函数为y=x2－x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式． 【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x轴的上方，即顶点的纵坐标为正；（3）AB∥x轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值． 【解答】（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次项系数a=1>0，∴开口向上， 又∵y=x2－x+m=[x2－x+（）2]－ +m=（x－）2+ ∴对称轴是直线x=，顶点坐标为（，）． （2）∵顶点在x轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即>0 ∴m> ∴m>时，顶点在x轴上方． （3）令x=0，则y=m． 即抛物线y=x2－x+m与y轴交点的坐标是A（0，m）． ∵AB∥x轴 ∴B点的纵坐标为m． 当x2－x+m=m时，解得x1=0，x2=1． ∴A（0，m），B（1，m） 在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│． ∵S△AOB =OA·AB=4． ∴│m│·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x2－x+8或y=x2－x－8． 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处． 例2 （2006，重庆市）已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标． 【分析】（1）解方程求出m，n的值． 用待定系数法求出b，c的值． （2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积． （3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能： ①EH=EP， ②EH=EP． 【解答】（1）解方程x2－6x+5=0， 得x1=5，x2=1． 由m 所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c， 得 解这个方程组，得 所以抛物线的解析式为y=－x2－4x+5． （2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0． 解这个方程，得x1=－5，x2=1． 所以点C的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示． 则S△DMC=×9×（5－2）=． S梯形MDBO=×2×（9+5）=14， S△BDC =×5×5=． 所以S△BCD =S梯形MDBO+S△DMC －S△BOC =14+－=15． （3）设P点的坐标为（a，0） 因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5． 那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=－x2+4x+5的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）． 由题意，得①EH=EP，即 （－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）． 解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）． ②EH=EP，得 （－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）． 解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）． P点的坐标为（－，0）或（－，0）． 例3 （2006，山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x2－mx+与y=x2－mx－，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点． （1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点； （2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标； （3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？ 【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x2－mx+． 由于b2－4ac=（－m）－4×1×=－m2－2<0， 所以此函数的图像与x轴没有交点． 对于关于x的二次函数y=x2－mx－． 由于b2－4ac=（－m）2－4×1×=3m2+4>0， 所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点． 故图像经过A，B两点的二次函数为y=x2－mx－． （2）将A（－1，0）代入y=x2－mx－． 得1+m－=0． 整理，得m2－2m=0． 解得m=0或m=2． 当m=0时，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0． 解这个方程，得x1=－1，x2=1． 此时，点B的坐标是B（1，0）． 当m=2时，y=x2－2x－3．令y=0，得x2－2x－3=0． 解这个方程，得x1=1，x2=3． 此时，点B的坐标是B（3，0）． （3）当m=0时，二次函数为y=x2－1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小． 当m=2时，二次函数为y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x<1时，函数值y随x的增大而减小． 【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决．◆强化训练一、填空题1．（2006，大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．2．（2005，山东省）已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．4．（2005，温州市）若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴没有交点，其中c为整数，则c=_______（只要求写出一个）．5．（2005，黑龙江省）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c的值是______．6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－s2+s+．如下左图所示，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是______． 7．（2005，甘肃省）二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．8．（2008，甘肃庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2．二、选择题9．（2008，长沙）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0 (第9题) (第12题) (第15题)10．（2008，威海）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（ ） A．y111．（2005，山西省）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（ ） A．－1 B．0 C．1 D．212．如图所示，抛物线的函数表达式是（ ） A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+213．（2008，山西）抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（ ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位14．（2005，包头市）已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．（2006，诸暨）抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（ ） A．（，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）16．（2008，泰安）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（ ）三、解答题17．（2006，浙江舟山）如图所示，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a>0）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标； （2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．18．（2006，重庆）如图所示，m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标．19．（2006，太原市）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车．按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC．20．（2005，河南省）已知一个二次函数的图像过如图所示三点． （1）求抛物线的对称轴；（2）平行于x轴的直线L的解析式为y=，抛物线与x轴交于A，B两点．在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．21．（2005，吉林省）如图5－76所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．22．（2005，长春市）如图所示，过y轴上一点A（0，1）作AC平行于x轴，交抛物线y=x2（x≥0）于点B，交抛物线y=x2（x≥0）于点C；过点C作CD平行于y轴，交抛物线y=x2于点D；过点D作DE平行于x轴，交抛物线y=x2于点E． （1）求AB：BC； （2）判断O，B，E三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由．答案1．－2≤x≤1 2．（1，－8） 3．1 4．答案不唯一（略） 5．36．514．B 15．B 16．D17．（1）对称轴是直线x=2，A点坐标为（－3，0） （2）四边形ABCP是平行四边形 （3）∵△ADE∽△CDP，∴= ∵△ADE∽△PAE，∴12=·t，∴t= 将B（－1，0）代入y=ax2+4ax+t得t=3a，a= ∴抛物线解析式为y=x2+x+2．18．（1）y=－x2－4x+5 （2）C（－5，0），D（－2，9） S△BCD=15 （3）设P（a，0），∵BC所在直线方程为y=x+5． ∴PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5）． PH与抛物线y=－x2－4x+5的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）． ①若EH=EP．则（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5），则a=－或a=－5（舍） ②若EH=EP，则（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5），则a=－或a=－5（舍） ∴P（－，0）或（－，0）．19．如图所示，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为M（，4），N（2，），设抛物线的表达式为y=ax2+c，则 解这个方程组，得 ∴y=－x2+，当x=0时，y=， ∴C（0，），OC=． 当y=0时，－x2+=0，解得x=±． ∴A（－，0），B（，0），AB=． 所以，抛物线拱形的表达式为y=－x2+．隧道的跨度AB为m，拱高OC为m．20．（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c． 根据题意，得 ，解得 即y=－x2+6x－3=－（x－3）2+6． ∴抛物线的对称轴为直线x=3． （2）解得点B（3+，0）． 设点P的坐标为（3，y），如图， 由勾股定理，得BP2=BC2+PC2， 即BP2=（3+－3）2+y2=y2+6． ∵L与x轴的距离是， ∴y2+6=（）2，解y=±． ∴所求点P为（3，）或（3，－）．21．（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得 ∴所求抛物线的解析式为y=－x2+4x+5． （2）∵C点坐标为（0，5），∴OC=5，令y=0． 则－x2+4x+5=0，解得x1=－1，x2=5． ∴B点坐标为（5，0），∴OB=5． ∵y=－x2+4x+5=－（x－2）2+9， ∴顶点M的坐标为（2，9）． 过点M作MN⊥AB于点N，则ON=2，MN=9． ∴S△MCB=S梯形OCMN+S△BNM －S△OBC =×（5+9）×2+×9×（5－2）－×5×5=15．22．（1）∵A（0，1）． ∴B点纵坐标为1，1=x2，x≥0，x=1，B（1，1），AB=1． C点纵坐标为1，1=x2，x2=4，x≥0，x=2． C（2，1），BC=1，∴AB：BC=1：1． （2）D点的横坐标为2，D在y=x2上，则D（2，4）． E点的纵坐标为4，E在y=x2，则E（4，4）． 过O（0，0），B（1，1）的直线解析式为y=x． E（4，4）在这条直线上，所以O，B，E三点在同一条直线上，并且直线解析式为y=x．2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练变量与函数◆知识讲解 ①在某一变化过程中，可以取不同数值的值叫做变量．数值保持不变的量叫常量．常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是“在某一变化的过程中”，同一量在不同的变化过程中可以为常量也可以为变量，这是根据问题的条件而定的．常量和变量并一定都是量，也可以是常数或变数．②在某一变化的过程中有两个变量x与y，如果对于x在取值范围内取的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么说x是自变量，y是x的函数，函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．③自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义．自变量的取值范围可以是无限的也可以是有限的．可以是几个数，也可以是单独的一个数，表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．④对于自变量在取值范围内取一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应，这个对应值叫做函数的一个函数值．函数由一个解析式表示时，求函数的值，就是求代数式的值，函数的值是唯一确定的，但对应的自变量的值可以是多个．函数值的取值范围是随自变量的取值范围的变化而变化的．⑤函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法．这三种表示法各具特色，在应用时，通常将这三种方法结合在一起运用，其中画函数图像的一般步骤为：列表、描点、连线．◆例题解析例1 观察右图，回答下列问题： （1）自变量x的取值范围； （2）函数y的取值范围；（3）当x取何值时，y的值最小，并写出这个最小值；（4）当x取何值时，y的值最大，并写出这个最大值； （5）当x=0或－5时，y的值； （6）当y=0和2时，x的值； （7）当y随x的增大而增大时，x的取值范围； （8）当y随x的增大而减小时，x的取值范围． 【分析】由于函数图像与自变量x、函数y的取值有关，因此图像能反映出x、y的取值范围，从左到右，x的值逐渐增大，因此，观察图像应从左到右，这时若图像逐渐升高，则y的值逐渐增大，若图像逐渐下降，则y的值逐渐变小． 【解答】（1）由图像可知：图像左端端点横坐标为－5，右端端点横坐标为5，且5用了空心点，所以自变量x的取值范围为－5≤x<5； （2）由于图像最低点的纵坐标为－3，最高点的纵坐标4，所以－3≤y<4； （3）由于图像最低点坐标为（－3，－3），所以当x=－3时，y有最小值为－3； （4）由于图像最高点坐标为（2，4），所以当x=2时，y有最大值为4； （5）因为图像过点（0，2）与点（－5，0），所以当x=0时，y=2；当x=－5时，y=0；（6）由图像可知，图像与x轴有两个交点，它们的横坐标为－5和－1，故当y=0时，x=－5或－1；同理当y=2时，x=0或4；（7）图像从点（－3，－3）到点（2，4）是逐渐升高的，因此当－3≤x≤2时，y随x的增大而增大； （8）图像从点（－5，0）到点（－3，－3）及从点（2，4）到点（5，0）是逐渐降低的，因此当－5≤x≤－3或2≤x<5时，y随x的增大而减少． 【点评】虽然图像法表示函数形象直观，但有时却不精细，所以利用图像观察得出的数值往往有时精确，有时近似，这因题而异．根据函数的图像求函数的某些值，探讨函数y随自变量x变化的规律，是数形结合的具体表现． 例2 如图所示表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，她9点离开家，15点回到家，请根据图像回答下列问题： （1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （2）她何时开始第一次休息？休息多长时间？ （3）第一次休息时，离家多远？ （4）11：00到12：00她骑了多少千米？ （5）她在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度各是多少？ （6）她在何时至何时停止前进并休息用午餐？ （7）她在停止前进后返回，骑了多少千米？（8）返回时的平均速度是多少？ 【分析】小玲骑自行车离家的距离是时间的函数，从图像中线段CD和EF与横轴平行，表明这两段时间她在休息，通过读图可分别求解各问题． 【解答】（1）由图像知，玲玲到达离家最远的地方是12点，离家30km； （2）由线段CD平行于横轴知，10：30开始休息，休息半个小时； （3）第一次休息时离家17km； （4）从纵坐标看出，11：00到12：00，她骑了13km（30－17=13）； （5）由图像知，9：00～10：00共走了10km，速度为10km/h，10：00～10：30共走了7km，速度为14km/h； （6）她在12：00～13：00时停止前进并休息用午餐； （7）她在停止前进后返回，骑了30km回到家（离家0km）； （8）返回时的路程为30km，时间为2h，故返回时的平均速度为15km/h． 【点评】如图a所示，表示速度v与时间t的函数图像中，①表示物体从0开始加速运动，②代表物体匀速运动，③代表物体减速运动到停止．如图b所示，表示路程s与时间t的函数图像中，①代表物体匀速运动，②代表物体停止，③代表物体反向运动直至回到原地． (a) (b)◆强化训练一、填空题1．如果水的流速是am/min（一定量），那么每分钟的进水量Q（m3）与所选择的水管直径D（m）之间的函数关系式是________，其自变量是_______．2．（2006，南通）在函数y=中，自变量x的取值范围是________．3．三角形的面积是12，三角形底边长y是高x的函数，在平面直角坐标系中，它的图像只能在第______象限．4．设点P（3，m），Q（n，2）在函数y=x+b的图像上，则m+n=______．5．若点（，－）在反比例函数y=（k≠0）的图像上，则k=______．6．某地铁自行车存车处在某星期日的车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.30元，普通车存车费是每辆一次0.20元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入y（元）与x的函数关系式是___________________．7．题目中的图是用棋子摆成的“上”字： 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察发现：第n个“上”字的棋子数S与n之间的关系式为_______________．8．（2006，苏州）下列函数中，自变量x的取值范围是x>2的函数是（ ） A．y= B．y= C．y= D．y=二、选择题9．（2006，泰州）在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中（右图），然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则能反映弹簧秤的读数y（N）与铁块被提起的高度x（cm）之间的函数关系的大致图像是（ ） A B C D10．汽车由北京驶往相距120km的天津，平均速度是30km/h，则汽车距天津的路程s（km）与行驶时间t（h）的函数关系式及自变量t的取值范围是（ ） A．s=120－30t（0≤t≤4） B．s=30t（0≤t≤4） C．s=120－30t（t>0） D．s=30t（t=4）11．下列关于变量x，y的关系式中：①5x－2y=1；②y=│3x│；③x－y=2，其中表示y 是x的函数的是（ ）A．② B．②③ C．①② D．①②③12．（2008，金华）三军受命，我解放军各部奋力抗战在货物救灾一线，现有甲，乙两支解放军小分队将救灾货物送往重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24km，下图是他们行走的路程关于时间的函数图像，四位同学观察此函数图像得到有关信息，其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．413．某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的数据如下表：砝码的质量x/g 050100150200250300400500指针位置y/cm2345677.57.57.5则y关于x的函数图像是（ ）14．小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图像与上述诗的含义大致吻合的是（ ）15．某人骑车外出所行的路程s（km）与时间t（h）的函数关系如图所示，现有下列四种说法：①第3h中的速度比第1h中的速度快； ②第3h中的速度比第1h中的速度慢； ③第3h后已停止前进；④第3h后保持匀速前进． 其中说法正确的是（ ）A．②③ B．①③ C．①④ D．②④16．（2008，盐城）如图所示，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O─C─D─O路线做匀速运动，设运动时间为t（s），∠APB=y（°），则下列图像中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ） 三、解答题17．如图所示，周长为24的凸五边形ABCDE被对角线BE分为等腰△ABE及矩形BCDE，且AE=DE，设AB的长为x，CD的长为y，求y与x之间的函数关系式，写出自变量的取值范围．18．（2008，长沙）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四点组成的正方形边线（图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图像，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图像的一部分． （1）s与t之间的函数关系式是________； （2）与图5－26③相对应的P点的运动路径是：______；P点出发____秒首次到达点B；（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图像．19．（2006，枣庄）如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y． （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC=，∠DAE=，当、满足怎样的关系时，（1）中的y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．20．A市和B市有两条路可走，一辆最多可载19人的依维柯汽车在这条公路行驶时的有关数据如下表所示：路程/km耗油量（L/100km）票价/（元/人）过路费/（元/辆）油价/（元/L）第一条路 60 14 16 20 2.9第二条路 64 10 12 5 2.9如果用y1（元），y2（元）表示从A市到B市分别走两条路时司机的收入，仅就其中数据求出y1，y2与载客人数x（人）之间的函数表示式．21．（2005，吉林省）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？22．观察图中小黑点的摆入规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． 解答下列问题： （1）填表：n1234567…y13713… （2）当n=8时，y=_______； （3）根据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图5－30的平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y），其中1≤n≤5； （4）请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？如果在某一函数的图像上，请写出该函数的解析式．答案:1．Q=aD2，D 2．x>5 3．一 4．5 5．－36．y=－0.10x+1200（0≤x≤4000）7．S=4n+2（n>0且为整数）8．C 9．C 10．A 11．C 12．D 13．B 14．C 15．A 16．C17．y=24－4x，418．（1）设s=kt，知（2，1）在图像上，把（2，1）代入解析式得k=，∴s与t的函数关系式为s=t（t≥0）． （2）M→D→A→N 10 （3）当3≤s<5，即P从A到B时，y=4－s； 当5≤s<7，即P从B到C时，y=－1； 当7≤s≤8，即P从C到M时，y=s－8．补全图像如图所示．19．（1）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30° ∵∠ABC=∠ACB=75° ∴∠ABD=∠ACE=105°． ∵∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75° 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75° ∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC ∴即，∴y=．（2）当、满足关系式－=90°时，函数关系式y=成立．理由如下：要使y=即成立，则需且只需△ADB∽△EAC，由于∠ABD=∠ECA，故只需∠ADB=∠EAC，又∠ADB+∠BAD=∠ABC=90°－，∠EAC+∠BAD=－，只需90°－=－，∴－=90°．20．由题意可知：司机收入=客人付票款－耗油费－过路费．耗油费=油价×耗油量，则y1=16x－20－2.9××60，即y=16x－44.36，同理y2=12x－23.56（021．（1）2． （2）设y=kx+b，把（0，30），（3，36）代入得： 解得 即y=2x+30． （3）由2x+30>49，得x>9.5． 即至少放入10个小球时有水溢出．22．（1）n=5时y=21，n=6时y=31，n=7时y=43． （2）n=8时y=57． （3）根据题设要求可把点（1，1），（2，3），（3，7），（4，13），（5，21）五个点在图中直观地表示出来． （4）在y=n2－n+1上．2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练平面直角坐标系◆知识讲解①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；②点P（a，b）到x轴的距离为│b│，到y轴距离为│a│，到原点距离为；③各象限内点的坐标的符号特征：P（a，b），P在第一象限a>0且b>0，P在第二象限a<0，b>0，P在第三象限a<0，b<0，P在第四象限a>0，b<0；④点P（a，b）：若点P在x轴上a为任意实数，b=0；P在y轴上a=0，b为任意实数；P在一，三象限坐标轴夹角平分线上a=0；P在二，四象限坐标轴夹角平分线上a=－b； ⑤A（x1，y1），B（x1，y2）：A，B关于x轴对称x1=x2，y1=－y2；A、B关于的y轴对称 x1=－x2，y1=y2； A，B关于原点对称x1=－x2，y1=－y2；AB∥x轴y1=y2且x1≠x2；AB∥y轴x1=x2且y1≠y2（A，B表示两个不同的点）．◆例题解析 例1 已知点A（a，－5），B（8，b）根据下列要求，确定a，b的值． （1）A，B两点关于y轴对称；（2）A，B两点关于原点对称； （3）AB∥x轴；（4）A，B两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上． 【分析】（1）两点关于y轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同； （2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数； （3）两点连线平行于x轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）； （4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同． 【解答】（1）当点A（a，－5），B（8，b）关于y轴对称时有： （2）当点A（a，－5），B（8，b）关于原点对称时有 （3）当AB∥x轴时，有（4）当A，B两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：xA=yB且xA=yB即a=－5，b=8． 【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键． 例2 如图所示，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（0，6），（－8，0），求Rt△ABO的内心的坐标． 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形内心的概念，运用内心到两坐标轴的距离，结合实际图形，确定内心的坐标．【解答】∵A（0，6），B（－8，0），∴OA=6，OB=8，在Rt△ABO中，AB2=OA2+OB2=62+82=100，∴AB=10（负值舍去）．设Rt△ABO内切圆的半径为r，则由S△ABO=×6×8=24，S△ABO =r（AB+OA+OB）=12r，知r=2，而内心在第二象限，∴内心的坐标为（－2，2）．【点评】运用数形结合并借助面积是解答本题的关键．◆强化训练一、填空题1．（2006，诸暨）已知A，B，C，D点的坐标如图1所示，E是图中两条虚线的交点，若△ABC和△ADE相似，则E点的坐标为_______． 图1 图2 图32．已知点A（m2+1，n2－2）与点B（2m，4n+6）关于原点对称，则A关于x轴的对称点的坐标为_____，B关于y轴的对称点的坐标为______．3．（2006，苏州）在图2的直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为_______平方单位．4．在直角坐标系中，已知点A（－5，0），B（－5，－5），∠OAB=90°，有直角三角形与Rt△ABO全等并以BA为公共边，则这个三角形未知顶点的坐标是_______．5．已知m为整数，且点（12－4m，19－3m）在第二象限，则m2+2005的值为______．6．如图3所示，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（－4，2），（－2，2），右图案中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是_______．7．（2006，绍兴）如图4所示，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=_______． 图4 图5 图68．（2008，潍坊）如图5所示，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为（，1），若将△OAB逆时针旋转60°后，B到到达B′点，则B′点的坐标是_______．二、选择题9．（2008，贵阳）对任意实数x，点P（x，x2－2x）一定不在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．图6是中国象棋棋盘的一部分，若在点（1，－1）上，在点（3，－1）上，则在点（ ） A．（－1，1） B．（－1，2） C．（－2，1） D．（－2，2）11．已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0），A（－1，1），B（－1，0），将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°，则点A，B的对应点A，B的坐标分别是（ ） A．（，），（，） B．（，0），（，） C．（0，），（，） D．（，），（，）12．已知点A（2a+3b，－2）和点B（8，3a+2b）关于x轴对称，那么a+b=（ ） A．2 B．－2 C．0 D．413．若点A（－2，n）在x轴上，则点B（n－1，n+1）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．如图7所示，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（ ）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2） 图7 图815．（2008，济南）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图8所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A的坐标是（ ） A．（－2，1） B．（2，1） C．（2，－1） D．（－2，－1）16．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知A点的坐标为（1，1），请你在坐标轴上找出点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个三、解答题17．（2008，河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．18．（2006，晋江）如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=5，矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A─B─C─D的路线做匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动． （1）求P点从A点运动到D点所需的时间； （2）设P点运动时间为t（s）； ①当t=5时，求出点P的坐标；②若△OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．19．（2006，泰州）将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．（1）如图所示，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标； （2）如图所示，将矩形变为矩形OA′B′C′，在OA′，OC′边上选择取适当的点E′，F′，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在A′B′边上的D′点，过D′作D′G∥A′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′．（3）在图的条件下，设T（x，y）： ①探求：y与x之间的函数关系式；②指出变量x的取值范围．20．（2005，南京市）如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，点M是线段PQ的中点．如图5－14所示，在直角坐标系，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…，对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知P1的坐标是（1，1），试写出点P2，P7，P100的坐标．21．（2005，沈阳市）如图所示，在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如图中的△ABC称为格点△ABC． （1）如果A，D两点的坐标分别是（1，1）和（0，－1），请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B，点C的坐标；（2）请根据你所学过的平移，旋转或轴对称等知识，说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的．22．（2005，苏州市）如图a所示，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B，C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合． （1）如图b所示，若翻折后点F落在OA边上，求点D，E的坐标； （2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的关系式． (a) (b)答案1．（4，－3）2．由m2+1+2m=0，且2m<1，m<0，得m=－1，n2－2+4n+6=0得n=－2即A（2，2），B（－2，－2），∴A关于x轴对称点为（2，－2），B关于y轴对称点为（2，－2）．3．54．画图并讨论得未知点坐标为（0，－5），（－10，0），（－10，－5）．5．由已知得12－4m<0，19－3m>0，∴36．（5，4） 7．2006 8．（，） 9．C 10．D 11．B12．由已知得2a+3b=8，3a+2b=2解得a=－2，b=4，∴a+b=2，故选A．13．B 14．C 15．B 16．C17．如图所示，∵四边形OCDB是平行四边形，B（8，0）． ∴CD∥OA，CD=OB=8． 过点M作MF⊥CD于点F， 则CF=CD=4． 过点C作CE⊥OA于点E． ∵A（10，0），∴OA=10，OM=5． ∴OE=OM－ME=OM－CF=5－4=1． 连接MC，则MC=OA=5． ∴在Rt△CMF中，MF==3． ∴点C的坐标为（1，3）．18．（1）P点从A点运动到D点所需的时间为（3+5+3）÷1s=11s （2）①当t=5时，P点从A点运动到BC上，此时OA=10，AB+BP=5，∴BP=2，过点P作PE⊥AD于点E，则PE=AB=3，AE=BP=2，∴OD=OA+AE=10+2=12，∴点P的坐标为（12，3）；②分三种情况：当0∴S=×2t×t=t2．当3∴S=×2t×3=3t．当8 ∴DP=（AB+BC+CD）－（AB+BC+CP）=11－t ∴S=×2t×（11－t）=－t2+11t．19．（1）设OE=a，∵△EOC≌△EDC ∴OE=DE=a，OC=CD=10． 又AE=6－a．在Rt△DBC中， DB==8 ∴AD=10－8=2． 在Rt△DAE中，AE2+AD2=DE2． 即（6－a）2+22=a2，∴a=，∴E（0，） （2）连接OT，∵△E′OF≌△E′D′F ∴∠FE′D′=∠FE′O，E′D=E′O 又∵E′T=E′T，∴△E′DT≌△E′OT ∴∠E′D′T=∠E′O′T ∵∠E′D′T+∠E′D′A′=∠E′OT+∠TOG=90° ∴∠E′D′A′=∠TOG 又∵A′D′∥OG，A′O∥D′G ∠A′OC′=90°=∠D′GO=∠OA′D′ ∴四边形A′DGO为矩形，∴A′D′=OG ∴△A′E′D′≌△OTG，∴A′E′=TG （3）①由（2）知：A′E′=TG=y，OG=A′D′=x, E′O=E′D′=6－y． 在Rt△E′A′D′中，x2+y2=（6－y）2 ∴y=－x2+3 ②在（1）的情况下，x取得最大值x=A′E′=6－=． 在E′点与A′点重合时，x取得最小值，x=6． ∴≤x≤620．P2的坐标是（1，－1），P7的坐标是（1，1），P100的坐标是（－1，－3），先找出规律，再写出P100的坐标．21．（1）如图所示．B（－1，－1），C（3，－1）． （2）把“格点△ABC图案”向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位长度后，再以点P（11，4）为旋转中心，按顺时针方向旋转180°，即得到“格点四边形图案”．22．（1）由已知得DF=OF=OC=CD=6 ∴D（6，6），又OA=10． ∴DB=4，故DG=GE=EB=DB=4． ∴EA=2，即E（10，2）． （2）由题设可知∠CDO=∠ODF，∠BDE=∠GDE， ∵∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°， ∴∠CDO+∠BDE=90°， ∵∠COD+∠CDO=90°， ∴∠COD=∠BDE， 又∵∠OCD=∠DBE=90° ∴△COD∽△BDE ∴，又BE=6－b，BD=10－a ∴，即b=a2－a+6．2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练统计与概率◆知识讲解 1．统计初步的有关概念 总体：所要考查对象的全体叫总体；个体：总体中每一个考查对象． 样本：从总体中所抽取的一部分个体叫总体的一个样本． 样本容量：样本中个体的数目． 样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数． 总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数． 2．统计学中的基本思想就是用样本对总体进行估计、推断，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分析规律． 3．概率初步的有关概念 （1）必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%； （2）不可能事件是指一定不能发生的事件； （3）随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件； （4）随机事件的可能性 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同． （5）概率 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数P附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率，记为P（A）=P． （6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，反之事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．（图6-30） （7）古典概率 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=． （8）几何图形的概率 概率的大小与面积的大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成图形的面积除以所有可能结果组成图形的面积． ◆例题解析例1 北京2008奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”．现将三张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片（卡片的形状大小一样，质地相同）放入盒子，如图6-31所示． （1）小玲从盒子中任取一张，取到印有“欢欢”图案的卡片的概率是多少？ （2）小玲从盒子中取出一张卡片，记下名字后放回，再从盒子中取出第二张卡片，记下名字．用列表或画树状图列出小玲取到的卡片的所有可能情况，并求出小玲两次都取到印有“欢欢”图案的卡片的概率． 【分析】小玲第一次摸出“欢欢”的概率是P（欢欢）＝，小玲第二次摸出“欢欢”的概率应注意摸的过程中是将已摸出的“欢欢”卡片又放回去了，这样“欢欢可能出现的次数”及“所有可能的结果数”不变，所求概率应是第一次和第二次所摸“欢欢”的概率之积． 【解析】（1）小玲取到印有“欢欢”图案的卡片的概率是． （2）小玲第一次取出一张卡片的概率为，由于题中要求记下名字后放回，这时盒子里的卡片仍有三张，因此小玲第二次取出相同卡片的概率仍为，这样小玲两次都取到印有“欢欢”图案的卡片的概率为×＝，用列表法表示为：欢欢迎迎妮妮欢欢（欢欢，欢欢）（迎迎，欢欢）（妮妮，欢欢）迎迎（欢欢，迎迎）（迎迎，迎迎）（妮妮，迎迎）妮妮（欢欢，）妮妮（迎迎，妮妮）（妮妮，妮妮） 【点评】求随机事件的概率的关键是确定所有可能的结果数和可能出现的结果数．当这两个“结果数”直接确定有困难时，可用列举法来解．同时取到“欢欢”的卡片的概率等于先后取到“欢欢”卡片概率的乘积，解这类题要注意“取到后放回”与“取到后不再放回”的不同．前者每次取到的所有可能的结果数与可能出现的结果数都不发生变化，而后者每次取到的所有可能的结果数与可能出现的结果数都会发生变化． 例2 四张扑克牌的牌面如图6-32a所示，将扑克牌洗匀后，如图6-32b背面朝上放置在桌面上． （1）若随机抽取一张扑克牌，则牌面数字恰好为5的概率是______；（2）规定游戏规则如下：若同时随机抽取两张扑克牌，抽到两张牌的牌面数字之和是偶数为胜；反之，则为负．你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【分析】本题以游戏是否公平为背影，考查概率知识，出题思路新颖，为近几年中考试题中的一大特点． 【解答】（1） （2）不公平． 随机抽取两张扑克牌，结果如下（2，4），（2，5），（2，5） 所以P（和为偶数）=． P（和为奇数）=． 所以游戏不公平． 【点评】本题以游戏是否公平为载体，考查了学生对概率知识的掌握情况． ◆强化训练 一、填空题 1．如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分．谁先累积到10分，谁就获胜．你认为______（填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大． 2．某班有49位学生，其中有23位女生．在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀．如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有女生名字纸条的概率是______． 3．小明的书包里装有外观完全相同的8本作业本，其中语文作业本3本，数学作业本3本，英语作业本2本．小明从书包中随机抽出一本作业本是数学作业本的概率是______． 4．按下面的要求，分别举出一个生活中的例子： （1）随机事件：___________；（2）不可能事件：________；（3）必然事件：_______． 5．一个水库养了某种鱼10万条，从中捕捞了20条，称得重量如下（单位：kg）：1.15 1.04 1.11 1.07 1.10 1.32 1.．25 1.19 1.15 1.21 1.18 1.14 1.09 1.25 1.21 1.29 1.16 1.24 1.12 1.16，这组样本的平均数是______，估计水库里这种鱼的总重量是_______万kg． 6．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有_______． 7．小玲家的鱼塘里养了2000条鲢鱼，现准备打捞出售．为了估计鱼塘中鲢鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次进行统计，得到的数据如下表：鱼的条数平均每条鱼的质量第一次捕捞 20 1.6kg第二次捕捞 10 2.2kg第三次捕捞 10 1.8kg 那么，鱼塘中鲢鱼的总质量约是______kg． 8．2004年4月25日，我市举行龙岩冠豸山机场首航仪式，利用这一契机，推出“冠豸山绿色之旅”等多项旅游项目．“五一”这天，对连城八家旅行社中部分游客的年龄（年龄取整数）进行了抽样统计，经整理后分成六组，并绘制成频率分布直方图．已知从左到右依次为1～6小时的频率分别是0.08，0.20，0.32，0.24，0.12，0.04，第1小时的频数为8，请结合图形回答下列问题： （1）这次抽样的样本容量是_____； （2）样本中年龄的中位数落在第______小组内；（3）“五一”这天，若到连城冠豸山的游客约有5000人，请你用学过的统计知识去估计20.5～50.5年龄段的游客约有______人． 二、选择题 9．现有A，B两枚均匀的小立方体，立方体的每个面上分别标有数学1，2，3，4，5，6．用小莉掷A立方体朝上的数字为x，小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=-x2+4x上的概率为（ ） A． B． C． D． 10．一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．如图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的概率是（ ）A． B． C． D． (第10题) (第11题) (第12题) 11．（2005，苏州市）如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等．四位同学各自发表了下述见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形； 乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大． 其中，你认为正确的见解有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图所示，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ） A． B． C． D． 13．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“08”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励，假设该婴儿能将字块模着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是（ ） A． B． C． D． 14．在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果口袋中装有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中共有球的个数为（ ） A．12个 B．9个 C．7个 D．6个 15．（2008，徐州）如图所示，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（ ）A． B． C． D． 16．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖．参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ） A． B． C． D． 三、解答题17．甲、乙两队进行拔河比赛，裁判员让两队队员用“石头、剪子、布”的方式选择场地位置．规则是：石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头，手势相同再决胜负．请你说明裁判员的这种作法对甲、乙双方是否公平，为什么？（用树状图或列表法解答） 18．如图所示，口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1cm，2cm，3cm，4cm和5cm，口袋外有2张卡片，分别写有4cm和5cm．现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，回答下列问题： （1）求这三条线段能构成三角形的概率； （2）求这三条线段能构成直角三角形的概率；（3）求这三条线段能构成等腰三角形的概率． 19．（2008，荆门）小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，9的四张牌留给自己，如图6-39所示，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去． （1）请用画树状图或列表的方法求小敏去看比赛的概率．（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 20．有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，分别被分成4等份，3等份，并在每份内均标有数字，如图6-40所示，丁洋和王倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A和B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；③如果和为0，丁洋获胜，否则王倩获胜． （1）用列表法（或树状图）求丁洋获胜的概率；（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．21．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，求A与B不相邻而坐的概率． 22．（2008，烟台）如图所示，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）． （1）请你用画树状图或列表格的方法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率；（2）直接写出点（x，y）落在函数y=-图像上的概率． 23．有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张． （1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A，B，C，D表示）；（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率． 24．如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成2个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次，小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无郊，重转）． （1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”．按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少？ （2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并有一种合适的方法（例如：树状图，列表）说明其公平性．答案 1．甲 2． 3． 4．（1）袋子里装有2个白球，2个红球，摸出一个球是红球 （2）袋子里装有5个红球，摸出一个球是白球 （3）袋子里装有5个红球，摸出一个球是红球 5．1.17kg 11.7 6．12 7．3600 8．（1）8÷0.08=100 （2）3 （3）5000×（0.20+0.32+0.24）=3800（人） 9．B（点拨：点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线y=-x2+4x上的共有3种可能，其概率为=，故选B．） 10．A 11．A 12．C 13．C 14．A 15．C 16．B 17．裁判员的这种作法对甲，乙双方是公平的．理由：用列表法得出所有可能的结果如下：石头剪子布石头（石头，石头）（石头，剪子）（石头，布）剪子（剪子，石头）（剪子，剪子）（剪子，布）布（布，石头）（布，剪子）（布，布） 根据表格得，P（甲获胜）==， P（乙获胜）==， ∵P（甲获胜）=P（乙获胜）， ∴裁判员这种作法对甲，乙双方是公平的． 18．（1）P（构成三角形）=； （2）P（构成直角三角形）=； （3）P（构成等腰三角形）=．19．（1）根据题意，我们可画出如图所示的树形图： 或者，根据题意，我们也可以列出下表：23594（4，2）（4，3）（4，5）（4，9）6（6，2）（6，3）（6，5）（6，9）7（7，2）（7，3）（7，5）（7，9）8（8，3）（8，3）（8，5）（8，9） 从树形图（表）中可以看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等．而和为偶数的结果共有6种，所以小敏去看比赛的概率P（和为偶数）==． （2）哥哥去看比赛的概率P（和为奇数）=1-=，因为<，所以哥哥设计的游戏规则不公平． 如果规定点数之和小于等于10时小敏（或哥哥）去，点数之和大于等于11时哥哥（或小敏）去，则两人去看比赛的概率都为时，那么游戏规则就是公平的． 或者，如果将8张牌中的2，3，4，5四张牌给小敏，而余下的6，7，8，9四张牌给哥哥，则和为偶数或奇数的概率为，那么游戏规则也是公平的．（只要满足两人手中点数为偶数（或奇数）的牌的张数相等即可） 20．（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：0-1-20（0，0）（0，-1）（0，-2）1（1，0）（1，-1）（1，-2）2（2，0）（2，-1）（2，-2）3（3，0）（3，-1）（3，-2） 根据表格，共有12种可能的结果，其中和为0的有三种：（0，0），（1，-1），（2，-2）， ∴丁洋获胜的概率为P==． （2）这个游戏不公平． ∵丁洋获胜的概率为，王倩获胜的概率为． ∴≠， ∴游戏对双方不公平． 21．由于A的位置已确定，B，C，D随机而坐的情况共6种，6种情况出现的可能性相同，其中A与B不相邻而坐的情况共有2种，所以所求的概率为P==．22．（1）根据题意，画出树状图如图所示： 由上图可知，点（x，y）的坐标共有12种等可能的结果： （1，-1），（1，-），（1，-），（1，2），（-2，-1），（-2，-），（-2，），（-2，2），（3，-1），（3，-），（3，），（3，2），其中点（x，y）落在第二象限的共有2种．（-2，），（-2，2）．所以P（点（x，y）落在第二象限）==． 或根据题意，画表格：1-23-1（1，-1）（-2，-1）（3，-1）-（1，-）（-2，-）（3，-）（1，）（-2，）（3，）2（1，2）（-2，2）（3，2） 由表格可知共有12种结果，其中点（x，y）落在第二象限的有2种． 所以P（点（x，y）落在第二象限）==． （2）P（点x，y）落在y=-图像上）==．23．（1）如图所示． （2）两次摸牌所有可能结果数m=16，两次都是中心对称图形的可能结果数n=4，P（两次都是中心对称图形）==． 24．（1）数字之和为6或7的可能性为． 所以小夏获胜的可能性为，小秋获胜的可能性为． （2）公平的游戏规则为：数字之和为偶数，小夏获胜；数字之和为奇数，小秋获胜．理由如下： 小夏转得的数 小秋转得的数 两数的和为： ∴数字之和为偶数的可能性为，数字之和为奇数的可能性为，对于双方是公平的． （还有其他设计方法，只要公平，合理即得满分）． 展开更多...... 收起↑ 资源列表 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