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第10章 相交线、平行线与平移 学案
【学习目标】
1.理解相交线、垂线的概念与性质.
2.熟练运用平行线的性质与判定进行相关的计算与推理.
3.掌握平移的概念与性质，会进行平移作图.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，提高应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.本章的主要内容有哪些？学习的关键、重点分别在哪些地方？
示例：本章主要学习了相交线和平行线，其中两条直线被第三条直线所截形成的八个角及其相互关系是重点内容，同样作为重要内容的还有平行线的判定和性质。
本章对于几何来讲其地位是十分重要的，要养成初步的几何推理能力,构建几何模型比如平行线的铅笔型、M型，而对三角形的三条重要线段的学习,同时结合三角形的内角和知识相结合,就能把一些稍微综合性的题结合在一起,形成三角形内角平分线及内角与外角平分线形成的角与三角形第三个角的关系等等的模型图。
【合作学习，课内探究】
对点练习1
给出下列说法：①棱柱的上、下底面的形状相同；②相等的角是对顶角；③若，则点B为线段的中点；④一个角的补角一定大于这个角．其中正确说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①棱柱的上、下底面的形状相同，故说法正确；
②对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故说法错误；
③当点A、B、C在一条直线上，若，则点B为线段的中点，故说法错误；
④钝角的补角小于这个角，则一个角的补角不一定大于这个角，故说法错误．
综上可知，正确说法的个数有1个，
故选：A
对点练习2
如图，直线相交于点O，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查对顶角，垂线的定义，角的和差关系，根据对顶角相等可得，进而可得，根据可得，则．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
对点练习3
如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．
请完善下列解题过程．
解：与的位置关系是___________．
，分别是，的平分线（已知），
___________，
___________（ ）．
（已知），
___________．
又（已知），
（ ），
（ ）．
【答案】；；；角平分线的定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据角平分线的定义以及已知条件得出，即可得出．
【详解】与的位置关系是．
，分别是，的平分线（已知），
，（角平分线的定义）．
（已知），
．
又（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
对点练习4
如图，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接．
(1)已知，直接写出的度数；
(2)求证：平分．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线定义，垂线，平行线的性质．
（1）由平行线的性质得到，而，得到，求出，由垂直的定义得到，即可求出；
（2）由（1）知，，由余角的性质推出，即可证明平分．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴
∴，
∴平分．
对点练习5
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在小正方形的顶点上．
(1)把先向右移动5个单位长度，再向下移动3个单位长度得到，画出（其中点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）；
(2)连接，，判定与的位置关系，并写出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，7
【分析】本题考查作图—平移变换、三角形的面积：
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据平移的性质可知；利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由平移可知，．
的面积为．
易错题辨析
1. 如图所示，有下列五种说法：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角；⑤和是同旁内角；其中正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】D
【分析】本题考查了同位角、 内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、 同位角以及同旁内角的定义寻找出各角之间的关系， 再比照五种说法判断对错， 即可得出结论 ．
【详解】解： 根据内错角、 同位角以及同旁内角的定义分析五种说法 ．
①和是同位角， 即①正确；
②和是内错角， 即②正确；
③和是内错角， 即③不正确；
④和是同位角， 即④正确；
⑤和是同旁内角， 即⑤正确 ．
故选：D．
2. 在下列实例中，属于平移过程的有（ ）
①时针运行的过程；②电梯上升的过程；③地球自转的过程；④小汽车在平直的公路行驶．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查了平移，运用平移的定义即可判断即可，解题的关键是熟记平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动．
【详解】时针运转过程，属于旋转；
电梯上升过程，属于平移；
地球自转过程，属于旋转；
火车直线行驶的过程，属于平移；
则平移过程的有个，
故选：．
典例讲解
例1 如图，于，点是上任意一点，于，且，．试求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．由，则，则，从而证得，即可得到．
【详解】解：，
又
例2 画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点，请利用网格点和直尺画图或计算：

(1)在给定方格纸中画出平移后的；
(2)画出边上的中线及高线；
(3)在上述平移中，边所扫过的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)31
【分析】本题考查作图﹣平移变换，三角形的高，中线，平行四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质．
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可．
（2）根据三角形的高，中线的定义作出图形即可．
（3）边所扫过的面积可以看成矩形面积减去周围四个三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．

（2）解：如图，线段即为所求．
（3）解：在上述平移中，边所扫过的面积为，
故答案为：31．
课堂练习
1.如图，点O在直线上，．若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了几何图形中角度的计算，首先根据邻补角的性质求出，然后利用角的和差求解即可．正确掌握图形找中各角度的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
2.下列说法正确的是（ ）．
A．垂线段就是与已知直线相交的线段
B．垂线段就是垂直于已知直线的线段
C．垂线段就是一条竖起来的线段
D．过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段
【答案】D
【解析】略
3．P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（　　）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
【答案】D
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知垂线段最短是解题的关键，根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可．
【详解】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于，
故选D．
4.如图，下列结论正确的是（ ）
A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角
【答案】D
【分析】本题考查同位角同旁内角、对顶角，根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断，熟练掌握各角的定义是解题的关键．
【详解】A、与是对顶角，故本选项错误，不符合题意；
B、与是同位角，故本选项错误，不符合题意；
C、与没有处在两条被截线之间，故本选项错误，不符合题意；
D、与是同旁内角；故本选项正确，符合题意；
故选：D．
5.如图，下列条件中，不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握两直线平行的判定方法．
【详解】、由，根据内错角相等，两直线平行，可以判断，不符合题意；
、由，根据同位角相等，两直线平行，可以判断，不符合题意；
、由，根据同旁内角互补，两直线平行，可以判断，不符合题意；
、由，不可以判断，符合题意；
故选：．
6.如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线性质，根据平行线性质得到内错角的大小，结合邻补角互补即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
7.生活中经常见到一些美丽的图案，这些图案有许多是由基本图形平移组成的，如下列图形中，只能用其中一部分平移而得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平移的性质可知，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．从而得到平移图形对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，对应图形全等．
【详解】解：A、是图形旋转所得，故A错误；
B、图形的形状和大小不变，符合平移性质，故B正确；
C、是图形旋转所得，故C错误；
D、最后一个形状不同，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
8.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，则 ．
【答案】/75度
【分析】此题考查了对顶角、邻补角，弄清各自的性质是解本题的关键．根据题意结合图形，求出所求角度数即可．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
9.如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．

【答案】/
【分析】本题考查了点到直线的距离，根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”即可得到答案．
【详解】解：，
，
点A到直线PC的距离是线段的长，
故答案为：．
10.如图，与成同位角的角的个数为a，与成内错角的角的个数为b，则a与b的大小关系是 ．

【答案】
【分析】根据图形分析的同位角及内错角，即可解答．
【详解】解：与成同位角的角是，故，
与成内错角的角的是和，故，
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了同位角及内错角，正确理解定义及同位角及内错角的特征是解题的关键．
11.如图，直线a，b都与直线c相交，下列命题中，能判断的条件是 （把你认为正确的序号填在横线上）．
①；②；③；④．

【答案】①②③④
【分析】根据平行线的判定逐项判断即可．
【详解】解：①由，根据同位角相等两直线平行可判断；
②由，根据内错角相等两直线平行可判断；
③∵，，
∴，根据同位角相等两直线平行可判断；
④∵，，，
∴，根据同旁内角互补两直线平行可判断；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行是解题的关键．
12.如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于 ．
【答案】/50度
【分析】本题考查的是平行线的性质以及垂线的定义的运用．先利用余角的性质求得，再根据“两直线平行，内错角相等”可求得的度数．
【详解】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点在直线a上，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13.如图，将一个周长为12厘米的三角形沿平移后得到三角形，连结，已知四边形的周长为22厘米，那么平移的距离是 厘米．
【答案】5
【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键；由平移可知，然后根据三角形的周长及四边形的周长可进行求解．
【详解】解：由平移可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴厘米，
∴平移的距离是5厘米；
故答案为：5．
能力拓展
13.已知一条笔直的公路两侧有、、三个村庄．
(1)画出村庄、之间距离最短的路线；
(2)加油站D在村庄B、C所在直线与公路L的交点处，画出加油站的位置D；
(3)画出村庄到公路的最短路线，画图依据是：______，测量答题卡上______（精确到），如果示意图与实际距离的比例尺为，通过你的测量和计算，在实际中村庄到公路的距离是：______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析；垂线段最短；，
【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接即可，
（2）两条直线的交点就是加油站的位置，
（3）依据点到直线的所有线段中，垂线段最短，和比例尺的意义可得．
【详解】（1）如图所示．根据两点之间线段最短，连接，
（2）如图所示．线与公路的交点，即为加油站，
（3）如图所示．
作图依据：垂线段最短．
过点作交点为
测量，．
示意图与实际距离的比例尺是
：实际距离：
实际距离
在实际中村庄到公路的最短线路为．
【点睛】本题考查了两条直线的交点，垂线段最短，以及过直线外一点作已知直线的垂线，以及比例尺，解题的关键是掌握两点之间线段最短，以及垂线段最短．
14.已知，直线，．
(1)如图1，点在上，与交于点，若，则 ______；
(2)如图2，点在与之间，与交于点，与交于点，且的平分线与的平分线交于点．
①若，求（用含的式子表示）；
②求的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
（1）根据平行线的性质和互余解答即可；
（2）①过作，连接，利用平行线的性质解答即可；②过作，利用平行线的性质解答即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：①如图，过作，连接，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图，过作，
，
，
，
，，
，
过作，
，
，
，，
平分，平分，
，，
．
15.如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形边长为1，顶点叫做格点，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，画出平移后的图形．点A、B、C平移后的对应点分别是；
(2)平移扫过的面积是______；
(3)在图（2）中，过点C画出的平行线l，则在此网格内l上有______个格点（C点除外）．
【答案】(1)见解析
(2)9
(3)2
【分析】本题考查平移的性质．
（1）根据平移的规则，画出即可；
（2）分割法求平移扫过的面积即可；
（3）根据题意，画出直线，确定l上的格点个数即可；
熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）由题意，平移扫过的面积为：；
故答案为：9；
（3）如图所示，直线l即为所求，
由图可知，直线上除了格点有2个格点；
故答案为：2．
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第10章 相交线、平行线与平移 学案
【学习目标】
1.理解相交线、垂线的概念与性质.
2.熟练运用平行线的性质与判定进行相关的计算与推理.
3.掌握平移的概念与性质，会进行平移作图.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，提高应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.本章的主要内容有哪些？学习的关键、重点分别在哪些地方？
【合作学习，课内探究】
对点练习1
给出下列说法：①棱柱的上、下底面的形状相同；②相等的角是对顶角；③若，则点B为线段的中点；④一个角的补角一定大于这个角．其中正确说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
对点练习2
如图，直线相交于点O，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
对点练习3
如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．
请完善下列解题过程．
解：与的位置关系是___________．
，分别是，的平分线（已知），
___________，
___________（ ）．
（已知），
___________．
又（已知），
（ ），
（ ）．
对点练习4
如图，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接．
(1)已知，直接写出的度数；
(2)求证：平分．
对点练习5
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在小正方形的顶点上．
(1)把先向右移动5个单位长度，再向下移动3个单位长度得到，画出（其中点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）；
(2)连接，，判定与的位置关系，并写出的面积．
易错题辨析
1. 如图所示，有下列五种说法：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角；⑤和是同旁内角；其中正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
2. 在下列实例中，属于平移过程的有（ ）
①时针运行的过程；②电梯上升的过程；③地球自转的过程；④小汽车在平直的公路行驶．
A．个 B．个 C．个 D．个
典例讲解
例1 如图，于，点是上任意一点，于，且，．试求的度数．
例2 画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点，请利用网格点和直尺画图或计算：

(1)在给定方格纸中画出平移后的；
(2)画出边上的中线及高线；
(3)在上述平移中，边所扫过的面积为 ．
课堂练习
1.如图，点O在直线上，．若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
2.下列说法正确的是（ ）．
A．垂线段就是与已知直线相交的线段
B．垂线段就是垂直于已知直线的线段
C．垂线段就是一条竖起来的线段
D．过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段
3．P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（　　）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
4.如图，下列结论正确的是（ ）
与是对顶角 B．与是同位角
C．与是同旁内角 D．与是同旁内角
5.如图，下列条件中，不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7.生活中经常见到一些美丽的图案，这些图案有许多是由基本图形平移组成的，如下列图形中，只能用其中一部分平移而得到的是（　　）
A． B．
C． D．
8.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，则 ．
9.如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．

10.如图，与成同位角的角的个数为a，与成内错角的角的个数为b，则a与b的大小关系是 ．

11.如图，直线a，b都与直线c相交，下列命题中，能判断的条件是 （把你认为正确的序号填在横线上）．
①；②；③；④．

12.如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于 ．
13.如图，将一个周长为12厘米的三角形沿平移后得到三角形，连结，已知四边形的周长为22厘米，那么平移的距离是 厘米．
能力拓展
13.已知一条笔直的公路两侧有、、三个村庄．
(1)画出村庄、之间距离最短的路线；
(2)加油站D在村庄B、C所在直线与公路L的交点处，画出加油站的位置D；
(3)画出村庄到公路的最短路线，画图依据是：______，测量答题卡上______（精确到），如果示意图与实际距离的比例尺为，通过你的测量和计算，在实际中村庄到公路的距离是：______．
14.已知，直线，．
(1)如图1，点在上，与交于点，若，则 ______；
(2)如图2，点在与之间，与交于点，与交于点，且的平分线与的平分线交于点．
①若，求（用含的式子表示）；
②求的度数．
15.如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形边长为1，顶点叫做格点，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，画出平移后的图形．点A、B、C平移后的对应点分别是；
(2)平移扫过的面积是______；
(3)在图（2）中，过点C画出的平行线l，则在此网格内l上有______个格点（C点除外）．
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
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