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6.5 假设检验
在数理统计中,除了参数估计，还有另一类重要的
统计推断问题，即假设检验问题。
6.5.1 假设检验的基本思想与概念
假设检验是在总体的分布函数完全未知或只知其形
式但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性质,
提出某些关于总体的假设, 然后根据观测得到的样本对
所提假设做出“是”或“否”成立的判断过程.
让我们先看个引例：
引例
某味精厂生产袋装味精, 重量X服从正态分布
在正常情况下，
，今随机抽测9袋，
其重量分别是
104.34 99.56 103.71 98.84 102.77,
100.72 102.71 103.43 99.67
包装机工作是否正常？
试问
生活中假设检验是很常用的，如新药品能否应用于
临床，工厂产品的抽样验收等.
假设检验可分为参数假设检验和非参数假设检验两
类.
这个问题是要求我们判断如下两个对立的命题
哪个正确？
假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的
反证法. 为了检验一个假设 是否正确，首先假定该
假设 正确，然后根据抽取到的样本对假设 做出接
受或拒绝的决策. 如果样本观察值导致了不合理的现象
发生，就应拒绝假设 ，否则应该接受假设 .
通常被检测的假设 被称为原假设或零假设，当
被拒绝时而接收的假设 被称为备择假设或对立假设.
在做决策时所依靠的这个规则称之为 对 的检
验法则.
检验法则本质上就是把样本观测值的所有可能
取值的集合分成两个互不相交的两个区域：
和
当样本观测值
时，我们就拒绝
当样本观测值
时，我们就接受
称
是
的拒绝域，称
是
的接受域。
在参数假设检验中，备择假设
在原假设一侧
的检验称为单侧假设检验，而备择假设
在原假设
的两侧的检验称为双侧假设检验.如
都是单侧假设检验.
在一次试验之中是几乎不可能发生的概率值 ，称其为检验的显著性水平，通常用字母
表示.
H0为真
实际情况
决定
拒绝H0
接受H0
H0不真
第一类错误
正 确
正 确
第二类错误
设犯第一类错误（弃真）的概率为
两类错误及其概率
，犯第二类
错误（纳伪）的概率为
，则
显著性检验的一般步骤
下面再回到引例.前面说过，如果
成立，则
因此，
的拒绝域应具有
的形式。取显著性水平
，查标准正态分布表得
由已知可得
即
因此接受
即认为包装机工作正常.
称为检验统计量，从上面的过程可以看出
其中，
选取检验统计量很重要，我们的检验问题是针对数学
期望
是
的优良估计，当
而
成立时，
不含未知参数
，查标准正态分布
表可找到临界值
由此看出假设检验的步骤：
第一步，提出原假设
和备择假设
第二步，选取适当的检验统计量，并在
成立时
确定其概率分布。如果是参数检验问题，通常根据
这个参数的优良估计去确定检验统计量；
从而得到
第四步，查表找出临值，
第三步，确定的显著性水平 .
的拒绝域
第五步，根据样本观测值计算检验统计量的观测值，
考察是否落在拒绝域内，从而决定接受或拒绝
例6.10 某洗衣粉公司用包装机包装洗衣粉，洗衣粉包
装机在正常工作时，装包量 (单位：g).每天
开工后需先检验包装机工作是否正常，某天开工后，在
装好的洗衣粉中任取九袋，其重量如下：505，499，502，
506，498，498，497，510，503.
假设总体标准差σ=2，
试问这一天，包装机工作是否正常(α=0.05)
解 (1)提出假设检验
(2)确定 检验统计量
(3)选定显著性水平
取临界点
使得 .
故
的拒绝域与接受域分别是
(4)由样本计算统计量U的值
显然 ,
故认为这天洗衣粉包装机工作不正常.
6.5.2 单个正态总体参数检验
一、总体均值的假设检验
在检验关于总体均值μ的假设时，该总体的另一个
参数方差 是否是否已知，会影响到对于检验统计量的
选择，故下面分两种情形进行讨论.
1.考虑μ双侧检验问题
(1)、
已知时，关于
的检验（u检验法）
当
成立时，检验统计量
如果
不成立，则
应该偏大或偏小，即
的
拒绝域应该具有
的形式。
查标准正态分布表找到
给定显著性水平
临界值
，使得
于是取
的拒绝域为
由样本计算
的观察值
如果
则拒绝
原假设
否则接受
即
2.考虑单侧检验问题
如果
不成立，即
成立，则
取检验统计量
应该偏大，因而
的拒绝域应具
数学期望的真值
是未知的，
有
的形式。
查标准正态分布表找到临界值
给定显著性水平
，使得
当
成立时，
因而
故取
的拒绝域为
类似可知，单侧检验问题
的拒绝域为
例6.11
假设检验问题
解
从甲地发出一个信号到乙地，设乙地接收到的讯
号值是一个服从正态分布 的随机变量,其中
μ为甲地发送的真实讯号值.现在甲地重复发送同一信
号5次，乙地接收的信号值为：8.05，8.15, 8.2，8.1，
8.25，设接受方有理由猜测甲地发出的讯号值为8，问
能否接受这猜测？
检验统计量
,拒绝域
由样本值算得统计量的观测值
查表得
（2）
未知时，关于
的假设检验（t 检验法）
1.考虑双侧检验
未知，因此，用样本标准差
由于
代替
总体标准差
，可知当
成立时，检验统计量
查t分布表找到临界值
给定显著性水平
，使得
于是取
的拒绝域为
类似得，方差未知时，关于数学期望的单侧检验
和
的拒绝域分别是
和
其中，检验统计量
已知某汽车厂生产的汽油发动机燃烧时每升汽油运转的时间服从正态分布，现抽取6台进行测试，它们运行时间(单位：min)依次为28，27, 31，29，30，27. 按设计要求，平均每升汽油运转时间至少应该等于30min. 那么，根据测试结果，在显著水平0.05下能否说明该发动机符合设计要求？
例6.12
解
待检验的假设是
拒绝域
设燃烧每升汽油运转时间为X ,
样本容量n=6, σ未知.
故接受原假设，认为该型发动机符合设计要求 .
未知时，关于
的假设检验（ 检验法）
1.考虑双侧检验
当
成立时，检验统计量
对给定的显著性水平 ，查表得
故
的拒绝域为
二、总体均值的假设检验
(1)
例6.13
解
待检验的假设是
检验统计量
查表得
由样本值算得
即认为方差显著地改变了.
类似得，期望未知时，关于方差的单侧检验
和
的拒绝域分别是
和
其中，检验统计量
分别来自两个
设样本
和
独立的正态总体
和
，样本均值
和样本方差分别是
记
6.5.3 两个正态总体参数检验
一、关于均值差的假设检验
1. 方差都已知的情形（两样本u检验法）
先考虑双侧检验
当
成立时， 检验统计量
，使得
查表得
给定显著性水平
于是取
的拒绝域为
至于单侧检验
和
类似单个总体的讨论可得
的拒绝域分别是
和
例6.14 某实验室要检验A,B两种烟草的尼古丁含量是否相同，今从A，B中各随机抽取5例进行化验，测得其尼古丁含量分别是（单位：毫克）：
解 设两种烟草的尼古丁平均含量分别是
和
检验假设
A：24 27 26 21 24；
B：27 28 23 31 26.
根据以往经验，尼古丁含量服从正态分布，且A的
方差为5，B的方差为8. 试问两种烟草的尼古丁
含量是否存在显著差异？取
查表得
对给定的显著性水平
这里，
的拒绝域为
因此，
计算得
统计量U 的观测值为
故接受原假设
即认为两种烟草的尼古丁含量无
显著性差异.
2. 方差未知但相等的情形（两样本 t 检验法）
先考虑双侧检验
成立时， 检验统计量
查表得
给定显著性水平
使得
于是取
的拒绝域为
按条件
未知，用
代替
则当
至于单侧检验
和
类似单个总体的讨论可得
的拒绝域分别是
和
例6.15
解
某地某年中考后随机抽的15名男生与12名女生的
体育考试成绩如下：男生49，48，47，53，51，43，39，
57，56，46，42，44，40，55，44；女生46，40，47，
61，43，36，43，38，48，54，48，34.这能说该地区男
女生的体育成绩不相上下吗？
将该地区男女生的体育成绩近似看成正态分布，则
该问题可以转化为一个双侧假设检验问题.用随机变
量X表示男生，Y表示女生.
作如下假设
由于方差未知，那么采取两样本t检验.
这里
则有由样本值算得
所以，接受原假设，即认为该地区男女生的体育成绩不相上下.
对
查表得
显然，
二、均值未知，关于方差比的假设检验（F 检验法）
数学期望
都未知，关于方差比
的检验有
如下三种情况
（1）
（2）
（3）
由定理6.3可知，
先看双侧检验（1）
当
成立时， 检验统计量
查表得
给定显著性水平
因此
的拒绝域为
至于单侧检验
和
类似单个总体的讨论可得
的拒绝域分别是
和
（2）
（3）
例6.16
甲、乙两台机床加工某种零件，零件的直径
服从正态分布，总体方差反映的加工精度.现从各自加
工的零件中分别抽取7件产品和8件产品，测得其直径
为机床甲X 16.2，16.4,15.8,15.5,16.7,15.6,15.8，
机床乙15.9,16.0,16.4,16.1,16.5,15.8,15.7,15.0.
试比较两台机床的加工精度有无差别？
解 这是一个双侧检验问题，作假设如下
题上n=7，m=8，
将样本值代入计算得
于是有
取
，查表知
其拒绝域为
样本未落入拒绝域，即可以认为两台机床的加工精度
没有显著差别.
作业：
P146: 15、16、17.

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