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§1.3 古典概型与几何概型
概率的公理化定义只给出了概率的定义，并没有给出计算概率的方法和公式.实际上，在一般情形之下概率的计算是比较困难的.下面我们讨论两类基本的概率模型——古典概率模型和几何概率模型.在这两种概率模型下计算事件的概率是本节的主要任务.
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1.3.1 古典概率模型
1 （有限性）样本空间的基本事件只有有限多个，
ω1, ω2, …，ωn ；
一类最简单的随机试验具有下述特征:
2 （等可能性）每一个基本事件发生的可能性相同，即
这种等可能的概率模型曾经是概率论发展初期的
主要研究对象，谓之为古典概率模型，简称为古
典概型（等可能概型）．
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事实上
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由概率的有限可加性，有
下面我们讨论古典概型中事件概率的计算公式.
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例1.11将一枚硬币抛掷三次，求“恰有一次出现正面”的概率.
包含了3个基本事件，
则
记A={恰有一次出现正面}，
中包8个基本事件
解 样本空间
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例1.12袋中有5只白球，4只红球，3只黑球. (1)从中任取4只，求4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球的概率；(2) 从中任取3只，求3只中至少有1只红球的概率.
设A={4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球}，
解（1）从12只球中任取4只，共有 种不同的取法.
个基本事件，
则A包含了
*
例1.12袋中有5只白球，4只红球，3只黑球. (1)从中任取4只，求4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球的概率；(2) 从中任取3只，求3只中至少有1只红球的概率.
设B={3只中至少有1只红球}，
解（2）从12只球中任取3只，共有 种不同的取法.
个基本事件，
则B包含了
*
例1.12袋中有5只白球，4只红球，3只黑球. (1)从中任取4只，求4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球的概率；(2) 从中任取3只，求3只中至少有1只红球的概率.
设B={3只中至少有1只红球}，
另解（2）从12只球中任取3只，共有 种不同的取法.
则 ={3球中没有红球}，
*
　　例1.13 从0，1，2，…，9这10个数字中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：(1)取到的三个数字不含0和5；(2)取到的三个数字不含0或不含5.
样本空间
中包含的基本事件数为
解 设A={3个数字中不含0和5}， B={3个数字中不含0或不含5}，
*
　　例1.13 从0，1，2，…，9这10个数字中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：(1)取到的三个数字不含0和5；(2)取到的三个数字不含0或不含5.
解 (2)由于事件B包含取到的三个数字“不含0含5”、“含0不含5”、“既不含0也不含5”三种情况
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另解
也可以利用对立事件的概率公式计算如下
因为
{3个数字中既含0，又含5}，
所以
球
箱子
　　例1.14 将n个球随机地放入N(n≦N)个箱子中，其中每个球都等可能地放入任意一个箱子，求下列事件的概率：（1）每个箱子最多放有1个球；（2）某指定的一个箱子不空.
解　每个球都有N种选择，基本事件总数为
记（1）和（2）中的事件分别为A和B.
*
A共包含
个基本事件，
(1) 事件A相当于在N个箱子中任意取出n个，然后再将n个球放入其中，每箱1球，所以
*
进而
(2) 事件B的逆事件 ={某指定的一个箱子是空的}，它相当于将n个球全部放入其余的N-1个箱子中，所以
*
扩展延伸：下面我们用分球问题来讨论概率论发展史上有名的“生日问题”．
　　一个人在一年（按365天计）内每一天出生的可能性相同．
人
任一天
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现随机地选取n(n≤365)个人，则他们生日各不相同的概率为
于是，n个人中至少有两个人生日相同的概率为
对一些不同的n值，计算相应的概率值如下表：
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惊奇？！
人生日相同”十有八九会发生；在60人的人群里，
“至少有两人生日相同”几乎必然发生．
在40人左右的人群里，“至少有两
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*1.3.2 几何概率模型
　　几何概型借助于几何度量确定事件的概率，习惯上称这种概率为几何概率．类似于古典概型的有限性和等可能性，几何概型满足下述两个特征：
其几何度量度、面积或体积等）大小可用
表示；
1 随机试验的样本空间
充满某个区域，
*
2 任意一点落在
中任何子区域的概率只
与其几何度量有关，并与之成正比．
事件A的概率为
对于几何概型下的任何事件A，若A对应于
中的某个子区域，其几何度量可用
表示，则
*
注 如果试验相当于向直线上的区间内投掷随机点，则只需将上式中的面积改为长度，上述讨论依然成立；
如果试验相当于向空间区域内投掷随机点，则只需将面积改成体积.
　　例1.15 某人午觉醒来发现自己的表停了，便打开收音机收听电台报时.已知电台每个整点报时一次，求他（她）能在10分钟之内听到电台报时的概率.
记A={他（她）能在10分钟之内听到电台报时}
则
解 设x表示他（她）打开收音机的时刻，则样本空间
*
　　例1.16 两人相约7点到8点在某地见面，先到的人等另一个人20分钟，超过20分钟就离去，试求两个人能见面的概率.
60
A
60
解 设x，y分别表示两人到达的时刻，则样本空间
记
则
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