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§1.5 全概率公式与
在前面学习中，我们知道概率的加法公式和乘法公式可以解决许多概率计算问题，但对于许多较复杂事件的概率计算我们还无能为力，本节我们学习另外两个概率公式——全概率公式和贝叶斯公式．它们与之前的两个公式一起构成概率计算问题的四大公式．
　　　贝叶斯公式
*
1.5.1 全概率公式
Ω
B
A1
A2
A3
A4
A6
A7
A5
A8
则有
定理 3 设
为试验E的样本空间，B为E的任一事件，
为试验E的完备事件组，且
事件
*
证
分配律
有限可加性
乘法公式
*
原因事件
结果事件
全概率公式解决由因索果问题
每个原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生的概率的总和，“全概率公式”之“全”取为此意.
*
学生成绩好 B
原
因
*
　例1.22 人们为了解一支股票未来一段时间内价格的变化，往往会分析影响股票价格的因素，比如利率的变化.假设利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验，在利率下调的情况下，该股票价格上涨的概率为80%,在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%.求该股票价格上涨的概率.
=0.64
由全概率公式
B={股票价格上涨},
解 令
*
　　例1.23 某工厂有四个车间生产同一种计算机配件，四个车间的产量分别占总产量的15%、20%、 30%和35%，已知这四个车间的次品率依次为0.04、0.03、0.02及0.01．现在从该厂生产的产品中任取一件，问恰好抽到次品的概率是多少？
2，3，4，B={抽到次品}．
=2.15%
解 令
由全概率公式
*
补充例1(P31,B组一、7) 一批零件共6个，其中合格品4个，不合格品2个，现采用不放回方式从中取零件两次，每次一个，则第二次取到合格品的概率为________
结于求
解 记
问题归
由全概率公式，所求概率
*
我们把该例题稍稍作一些改动，可获得一个有趣的结果．
补充例2 一批零件共6个，其中合格品4个，不合格品2个，现采用不放回方式从中取零件三次，每次一个，则第三次取到合格品的概率为________
解 记
*
问题归结于求
由全概率公式，所求概率
◆从件数一定的合格品和不合格品组成一批产品
中，作不放回抽样，各次抽到合格品的概率相等！　　
　　若把抽到合格品视为中奖，则上面的结论简单
叙述为：
中奖的概率与摸奖的顺序无关！
　　小结例1和例2的结果：
*
各原因发生的概率 ,通常是在“结果”发生之前就已经明确的，它往往是根据以往的经验确定的一种主观概率，因而称之为先验概率.当“结果” B 已经发生之后,再来考虑各种原因发生的概率 ，它是在事件B发生之后对Ai的重新认识，称之为后验概率.贝叶斯公式实质就是利用先验概率去求后验概率.下面给出它的计算公式.
1.5.2 贝叶斯公式
*
证 由条件概率的定义，有
则有
定理 4 设
为试验E的样本空间，B为E的任一事件，
为试验E的完备事件组，且
事件
*
由乘法公式及全概率公式，有
所以
*
　　例1.24 (续例1.23) 若该厂规定，一旦发现了次品就要追究有关车间的经济责任．现在从该厂生产的产品中任取一件，结果为次品，但该件产品是哪个车间生产的标志已经脱落，问厂方如何处理这件次品比较合理 具体地讲，各个车间应承担多大的经济责任
解 从概率的角度考虑可以按
的大
个车间的经济责任．
小来追究第
在前面的计算已经求得
*
于是，由贝叶斯公式可得
同理可得，
*
　　由此可知，各个车间依次应承担27.91%、
27.91%、27.91%和16.28%的经济责任.
例1.25 有朋友自远方来访,他乘火车、轮船、汽车和飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4 .如果他乘火车、轮船和汽车来的话,迟到的概率分别是1/4、1/3、1/12 ,而乘飞机来不会迟到.(1)求他迟到的概率；(2)如果他迟到了，则他是乘火车来的概率是多少
解
给乘火车、轮船、汽车和飞机分别编号
B=｛迟到｝，则
1,2,3,4，设 =｛乘第i种交通工具｝i=1,2,3,4.
*
(1)由全概率公式，有
*
(2)根据贝叶斯公式，有
*

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