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(共20张PPT)
§1.4 条件概率与
乘法公式
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1.4.1 条件概率
在实际问题中，除了考虑某事件B发生的概率P(B)外，有时还要考虑在“事件A已经发生”的条件下，事件B发生的概率.一般情况下，两者的概率是不同的，为了区别，我们把后者称为条件概率，记作 ，读作在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
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例1.15 设100件产品中有5件是不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是废品.现从100件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到的可能性相同，求（1）抽到的产品是次品的概率；（2）在抽到的产品是不合格品的条件下，求该产品是次品的概率.
　　记Ａ={抽到的产品是不合格品}，
　 Ｂ={抽到的产品是次品}．
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解
(1)由于100件产品中有3件是次品，按古典概型计算，有
(2)由于抽到的产品是不合格品已经发生，则所求概率即为从5件不合格产品中任取一件，故取到次品的概率为
可见
*
又
从而
受此式启发，我们给出条件概率的定义
由于 = {抽到的产品是不合格品，且是次品}，而在100件产品中只有3件既是不合格
产品又是次品，所以
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为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．
◆今后当提及条件概率时，自动认为条件事
件的概率大于零．
定义2 若事件A和B是随机试验E的两个事件，且
则称
◆当
时，条件概率
无意义；
保证分母不为零，是必要的假设；
◆
*
条件概率与无条件概率的关系
条件概率是无条件概率的推广
无条件概率是条件概率的特殊情形
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条件概率P(B|A)与P(B)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设B是随机试验的一个事件，则P(B)是在该试验条件下事件B发生的可能性大小．
　　P(B) 与 P(B|A) 的区别在于两者发生的条件不同，是两个不同的概念，在数值上一般也不同．
而条件概率 P(B|A) 是在原条件下又添加 “A 发生 ” 这个条件时B发生的可能性大小，即 P(B|A) 仍是概率．
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1 非负性
2 规范性(正则性)
3 可列可加性
由此可推出条件概率的其它性质，如：
(1)(不可能事件的条件概率公式)
(2)(对立事件的条件概率公式) 对任意事件B，有
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(3(真差的条件概率公式) 当
时，有
(4(条件概率的减法公式) 对任意
和
有
(5(条件概率的加法公式) 对任意
和
有
● 当
与
互不相容时，有
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例1.18 有外观相同的三极管6只，按电流
放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类．不放回
地抽取三极管两次，每次只抽一只．求在第一次
抽到甲类三极管的条件下，第二次又抽到甲类三
极管的概率．
　解　记 ={第一次抽到的是甲类三极管}，
　 ={第二次抽到的是甲类三极管},
则 ={两次抽到甲类三极管}.
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所以
*
从而第二次抽到甲类的概率为 ，
另外，本题也可按缩小的样本空间下计算条件概率
因为 已经发生，即第一次已经抽走了一只甲类三极管，
此时样本空间由6只三极管缩小为5只三极管，3只甲类，2只乙类，
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例1.19 口袋中有10个乒乓球，3个黄球，7个白球，从中任取一球观察颜色后不放回，然后再任取一球.（1）已知第一次取到的是黄球，求第二次取到的仍是黄球的概率；（2）已知第二次取到的是黄球，求第一次取到的也是黄球的概率.
　解　
记Ai={第i次取到黄球},i=1，2
则 ={第一次取到白球}.
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（1）已知A1已经发生，即第一次取到的是黄球，那么第二次就在剩余的2个黄球和7个白球中任取一个，从而第二次取到黄球的概率为 ，即有
（2）已知A2发生，即第二次取到的是黄球.由于第一次取球发生在第二次取球之前，所以问题的结构不像（1）那么直观，我们采用条件概率的定义计算 .
*
所以
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1.4.2 概率的乘法公式
由条件概率的定义
变形得到
　定理2 (乘法公式) 对于任意两个事件A和B， 若
则
乘法公式用来计算若干个事件乘积 (交)的概率！
对称地，若
则
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　　推广1 (关于三个事件的概率的乘法公式)
　　推广2 (概率的一般乘法公式) 若
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　　例1.20 一批灯泡共有100只，其中10只是次品，其余是正品，做不放回抽取，每次取一只，求第三次才取得正品的概率.
在缩小的样本空间下计算条件概率
则所求概率为
由乘法公式得
解 记
{第i次取出的正品}，
*
例1.21 某人忘记了所要拨打的电话号码的最后一位数字，因而只能随意拨码.求他（她）拨码不超过3次就能接通电话的概率.
解
记 {第i次接通}，
*
则他(她)拨码不超过3次接通电话，即为事件

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