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(共33张PPT)
§1.6 事件的独立性
与伯努利概型
*
1.6.1、事件的独立性
粗略地说，两个事件相互独立是指其中一个
事件的发生不影响另一个事件的发生．
　　例如，A表示“晚上7点整甲
B表示“晚上7点整乙家人看电视”．
显然，A的发生不影响B的发
家人看电视”，
生，反之亦然．
*
上述意思翻译成概率语言即为
下面给出关于两个事件的相互独立性定义：
且
　　但只要其中的条件概率有意义，上面两个式
子是相互等价的．于是，乘法公式可以改写成
定义3 设Ａ和Ｂ是随机试验E的两个事件，如果
则称，事件Ａ与Ｂ相互独立.
*
　　例1.26 将一枚匀称硬币抛掷三次，观察正
A与B相互独立．
反面朝上的试验的样本空间为
设A={前两次出现正面}={HHH，HHT}；
Ｂ={ 第三次出现反面}={HHT，HTT，THT，TTT}；
C={前两次出现反面}={TTH，TTT}．
◎AB={HHT}
*
关于独立性的几个注记
A与Ｃ不相互独立，
但A与Ｃ是互不相容的．
1 相互独立与互不相容没有必然联系．

概率有关，后者的定义没有借助概率．
◎从定义来看，A与B独立
而A与B互不相容
前者的定义与
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◎从实际结果来看，两个事件相互独立，这两个
事件未必互不相容，在例1.26中，Ａ与Ｂ相互独
立，但Ａ与Ｂ相容；同样地，两个事件互不相
容，这两个事件也未必相互独立，还是在例1.26
中，Ａ与Ｃ互不相容，但Ａ与Ｃ不相互独立．
除此之外，还有如下性质：
性质8 若 ，则A、B 相互独立与A、B 互不相容不能同时成立.
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2 两个事件相互独立的本质是：其中
一个事件发生与否不影响另一个事件的发生．
A与B相互独立

*

*
4
Ａ与任何事件Ｂ都相互独立；
Ａ与任何事件Ｂ都相互独立.
证 关于第一个蕴涵式．
及概率的
由
从而
都与任何事件相互独立．
单调性知
*
关于第二个蕴涵式．
由加法公式有
于是
由
及概率的单
调性知
*
设事件A与B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则
前面给出了几个注记，现在巩固一下．
（A） P(B|A)>0． （B）P(A|B)=P(A)．
设事件A与B相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则
（A） P(B|A)>0． （B）P(A|B)=P(A)．
（C） P(A|B)=0．　 （D）P(AB)=P(A)P(B)．
（C） P(A|B)=0． （D）P(AB)=P(A)P(B)．
*
　　例1.27 甲、乙两射手彼此独立地向同一目标
各射击一次，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目
标的概率为0.7，问目标被击中的概率是多少
解 设A={甲射中目标 }，B={乙射中目标}，
显然 A、B 相互独立，则
*
　　例1.27 甲、乙两射手彼此独立地向同一目标
各射击一次，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目
标的概率为0.7，问目标被击中的概率是多少
另解 设A={甲射中目标 }，B={乙射中目标}，
下面利用对偶性进行计算:
*
注 关于事件独立性判断的常用方法：
(1)由实际问题本身决定，例1.27.
(2)根据事件独立性的定义及概率计算得知，
(3)在知道独立性事件的基础上经过一些推理得
如例1.26
知相关事件的独立性,如上述注（3）的证明中
独立性的概念可以推广到三个事件以至任意有限多个事件.
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关于三个事件的相互独立性定义
定义4 设A，B，C，是随机试验E 的三个事件，
则称事件A，B，C 相互独立．
由定义可知，三个事件相互独立必保证两两独
立．但两两独立不一定保证相互独立．
如果A，B，C，同时满足
*
A，B，C
相互独立
A，B，C
两两独立
关于任意有限多个事件的相互独立性的定义
成立，则称事件
相互独立．
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注 与两个事件相互独立的注（3）类似，如果n个事件相互独立，可以证明，将其中任何m个事件改为相应的逆事件，形成的新的n个事件仍然相互独立.
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例1.28 设有4张相同的卡片，1张涂上红色，1张涂上黄色，1张涂上绿色，1张涂上红、黄、绿三种颜色.从这4张卡片中任取1张，用 A,B,C 分别表示事件“取出的卡片上涂有红色”，“取出的卡片上涂有黄色”，“取出的卡片上涂有绿色”，讨论事件 A,B,C 是否相互独立.
解 显然
*
故A，B，C两两相互独立但不相互独立．
所以
可见，事件 A，B，C是两两独立的.但
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1.6.2 、伯努利概型
伯努利概率模型，简称伯努
利概型始于雅格布·伯努利的研究．
雅格布·伯努利
(1654－1705)
率为p的伯努利试验．
如果一个试验只有两个可能结果：
和
A
且
则称这个试验为成功概
成功
失败
*
试验序列为n重伯努利试验（或 n重伯努利概型），
结果都不受其他各次试验结果的影响，则称这n次
将一个伯努利试验重复进行n次，若每次试验
伯努利公式
定理5 （伯努利定理）设在一次试验中，事件A
简称为伯努利概型．
事件A恰好发生k次的概率为
发生的概率为 ,则在n重伯努利试验中，
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由二项式展开定理得，
n次的概率总和为1．
它表示n重伯努利试验中成功0次，1次，…，
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推论1 设在一次试验中，事件A
事件A在第K次试验中才首次发生的概率为
发生的概率为 ,则在n重伯努利试验中，
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　　例1.29某机构有一个5人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率为0.9，现在该机构对某事可行与否分别征求各位顾问的意见，并按多数的意见作出决策，求作出正确决策的概率．
　　解 对5人组成的顾问小组进行考察，
视贡献正确意见为成功，则成功的概率为0.9，
从而最终能作出正确决策的概率为
*
*
这个概率几乎接近百分之百了，决策错误的可能
性是很小的．所以，“少数服从多数”和“民主集中
制”原则蕴藏深刻的概率道理．
　　例1.30 某车间有5台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦.已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且各台机床开动与否相互独立.如果为这5台机床提供30千瓦的电力，求这5台机床能正常工作的概率.
每台机床配备的电动机功
率为10千瓦，而总电量只提供30千瓦.
　　解 对5台机床进行考察，视开动为成功，则
　　成功概率为 .
故5台机床
能正常工作，等价于机床开动的台数小于等于3台.
*
所以5台机床能正常工作的概率为
*
例1.31 箱子中有10个同型号的电子元件，其中有3个次品7个合格品.每次从中随机抽取一个，检测后放回.（1）共抽取10次，求10次中恰有3次取到次品的概率；（2）如果没取到次品就一直取下去，直到取到次品为止，求恰好要取3次和至少要取3次的概率.
　解　 由于该试验每次抽取1个，检测后放回，各次试验结果间相互独立.故为伯努利试验.
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（1）对10次抽取进行考察，视抽到次品为成功，则成功概率为 ，从而10次中恰有3次取到次品的概率为
由于该试验是如果没取到次品就一直取下去，直到取到次品为止，则事件恰好要取3次，即为第1次、第2次取到正品，且第3次取到次品.
（2）设 ={第 次取到次品} ,
则
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而事件至少要取3次，即为前两次取到正品，故概率为
故概率为
小概率事件
　　如果一个事件发生的概率很小，我们就说
它是小概率事件．
　　在实际生活中，我们常常忽略小概率事件
发生的可能性，并认为小概率事件在一次试验
中不会发生，通常称为小概率原理．
　　◎虽然人坐飞机出现事故的概率不等于
零，但我们还是很坦然地坐飞机；反过来，一
旦小概率事件发生了，人们会不由自主地诧异
甚至震惊.
*
　　虽然人们经常自觉不自觉地使用小概率原
理，但当大量地重复小概率事件时，这个小概率
事件迟早会发生．也就是说，概率中蕴涵着辩证
法．
*
为了明白这种辩证法，在n重伯努利试验
中，至少成功一次的概率为
做下去，那么终究一天是会成功的．
*
　　我们常说“只要功夫深，铁杵磨成针”，又说“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，还说“法网恢恢，疏而不漏”，这些富含哲理的话都蕴涵着深刻的概率道理．
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