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第2章
本章用定量的方法，从整体上来研究
随机变量及
概率其分布
随机现象。
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§2.1 随机变量的概念及分布函数
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(1)在有些随机试验中，试验的结果本身就由数量来表示.
2.1.1 随机变量的概念
我们从下面引例谈及随机变量的概念.
例如，在掷一枚骰子，观察其出现的点数的试验中，试验的结果就可分别由数1，2，3，4，5，6来表示.
若用X表示掷到的点数，则
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则可用{X=1}表示事件{掷到1点}；用{X≤4}表示事件{掷到的点数不超过4}等等.
(2)在另外一些随机试验中，试验结果看起来与数量无关，但可以指定一个数量来表示它.
2.1.1 随机变量的概念
例如，在掷一枚硬币观察其正反面朝上的试验中，若规定“出现正面”对应数1，“出现反面”对应数0，则该试验的每一种可能结果，都有唯一确定的实数与之对应.
那么X作为样本空间 上的实值函数可定义为
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上述例子表明，随机试验的结果都可用一个实数来表示，这个数随着实验结果的不同而变化，因此，它是样本点的函数，而这个函数就是随机变量.
X(ω1)
ω1.
*
ω2.
X(ω2)
*
随机变量与高等数学中函数的比较：
(1)它们都是实值函数，但前者在试验前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值；
(2)因试验结果的出现具有一定的概率，故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.
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用随机变量表示随机事件
那么可用下列几种常见形式表示事件:
◎
*
◎
① 用集合； ② 用语言； ③ 用随机变量.
用随机变量表示事件往往比较简洁．
现在事件有三种表示的方法
例2.1
将一枚硬币掷三次，观察正面、反面出现情况的试验中，其样本空间
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ω HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
X
*
ω HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
X 3 2 2 2 1 1 1 0
例2.2
观察一部电梯一年内出现故障的次数.则样本空间
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例2.3测量某机床加工的零件长度与零件规定长度的偏差ω(单位：毫米).由于通常可以知道其偏差的范围,故可以假定偏差的绝对值不超过某一固定的正数ε.则样本空间
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例2.4测试某种电子元件的寿命(单位:小时).则试验的样本空间
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分类：实际中遇到的随机变量有两大类型
非离散型随机变量：取值可以在整个数轴上取值，
离散型随机变量：取值个数有限或可列无穷个
或至少有一部分值取某实数区间的全部值
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如例2.1、2.2
非离散型随机变量范围很广，情况比较复杂，其中最重要的，在实际中常遇到的是连续型随机变量(其精确定义见2.4节).如例2.3，例2.4.
本书仅研究离散型和连续型两类随机变量.
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2.1.2 分布函数
设Ｘ是任意一个随机变量，称如下定义的函数
为X的分布函数，
注 (1)任何随机变量都有分布函数，且由随机变
量本身唯一决定．
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(2)分布函数F(x)的几何意义
x
x1
x2
定理 1 分布函数具有下列性质：
证 (1) 显然；（4）略．
函数的定义式(2.1)及概率的单调性，
*
(3)在
两边取当
时的极限，我们得到
　　可以证明，凡是满足上述四条性质的函数
上述四条性质是判断一个函数是否可以作
一定是某随机变量的分布函数．
为分布函数的充分必要条件．

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例2.5
是分布函数；
*
例2.5
是分布函数；
④除了分段点以外,都是初等函数,故在每一点都连续,且右连续
对于分段点:
*
例2.5
不是分布函数，
因为
？？？
不满足单调不减性
*
是分布函数，因为对于某个
可能有
和
是分布函数
都是分布函数；
例2.6
和
是分布函数
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分布函数完整地描述了随机变量的统计规
2.1.3 用分布函数表示概率
律．如果知道了随机变量的分布函数，那么可
以求出该随机变量落在任何区间内的概率.
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由于之前已经证明到：
(1)
(2)
(9)
(5)
(8)
(6)
(7)
推而广之，我们有以下常用结果：
*
(3)
(4)
作业：
P
*

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