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§2.6 随机变量函数的分布
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若X是一个随机变量，
是一元函数，
是Ｘ的函数，它仍然是一个随机变
则
量．本节的任务是根据随机变量Ｘ的分布求Ｙ的
分布．
2.6.1 离散型随机变量函数的分布
　　当Ｘ是离散型随机变量时，Ｙ一定是离散
型随机变量，从而只要先确定Ｙ的所有可能取
值，再逐个求出取各个值的概率，即得Ｙ的分
布列．
*
例2.30 已知离散型随机变量的分布列为
解 Y的所有可能值为3，4，12，则根据上表写出 Y=X2+3的过渡表
求Ｙ的分布列．
且
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合并整理得Ｙ的分布列为
*
*例2.31 设某城市一个月内发生火灾的次数X～P(5),试求随机变量Y=|X－5|的分布列.
　　　解 由X的所有可能取值为0，1，2，…．其对应的分布列为
*
Y的所有可能取值也为0，1，2，…
则Y的分布列为
当X是连续型随机变量时，此时Ｙ的类型是不确定的.
2.6.2 连续型随机变量函数的分布
若Ｙ为非离散型的，一般采用分布函数法，即依分布函数的定义求分布函数．
如果Ｙ是连续型的，对Ｙ的分布函数求导就得到的Ｙ概率密度.
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如果Ｙ为离散型，则仍先确定Ｙ的所有可能取值，再逐个求出取各个值的概率，即得Ｙ的分布列
例2.32 设随机变量X～U[－1,2],随机变量
求Y的分布列.
解 由Y的所有取值只有－1,0,1,故Y为离散型随机变量
*
*
则Y的分布列为
*
解一 先求Ｙ的分布函数FY(y)，
上式两端同时对x求导得
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注 在对FY(y)求导数时，我们使用了如下公式
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有时可能会用到更一般的公式
定理4 设X为连续型随机变量，其概率密度fX(x),x∈R.又设Y=g(X)为有一阶连续导数的单调函数.记X=h(Y)为Y=g(X)的反函数，则Y=g(X)为连续型随机变量，且其概率密度函数为
*
上例中所涉及的函数Y=g(X)是严格单调函数.对于严格单调函数Y=g(X)，下面的定理提供了计算Y=g(X)的概率密度函数的简单方法.
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解二 由Ｙ=2X+8单调可导,可得
例2.34 假设随机变量Ｘ在区间(1，2)上服
从均匀分布，求
的概率密度
解 因为X～U[1,2]，则
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由Y=e2x单调可导,可得
求
*
解 因为 则
由Y=aX+b单调可导,可得
总结结果，我们可以得到
性质6 若
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即服从正态分布的随机变量的线性函数仍然服从正态分布
显然，性质5是性质6的特别情形，故性质5亦得证.待学习完4.6节之后，对这些结论会有更进一步的扩充.
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当Y=g(X)不是严格单调函数时，情况要略复杂一些.这时例2.33解法一中所用的分布函数法仍然适用.
即：先求出随机变量Y的分布函数FY(y)=P{Y≤y}，然后对其求导数，得到Y的概率密度函数fY(y).
这是求连续型随机变量函数的概率密度函数的一般方法.
*例2.36 设随机变量X～N(0,1),Y=X2,求fY(y).
解 先求Y的分布函数FY(y)
*
又X～N(0,1)，则
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*例2.37 设随机变量
解
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先求Y的分布函数FY(y)
*
*
作业：
P
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