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§2.4 连续型随机变量
*
2.4.1 连续型随机变量的定义
机变量的概率密度函数，简称概率密度或密度，
则称X为连续型随机变量，且称
是连续型随
记作
设随机变量
若存在非负可积函数
则称X为连续型随机变量，且称
是连续型随
使对任意的
有
（2.5）

概率密度专门针对连续型随机变量；
分布列专门针对离散型随机变量．
*
定义8
定理3 概率密度具有下列性质：
这两条性质是判定一个函数是否为某随机变量的概率密度的充要条件
类似于分布列的两条共性(定理2）
(2) 规范性(正则性)
(1) 非负性
*
后者未必满足
例2.19
和
都是概率密度
也是概率密度；
和
是概率密度．
因为前者未必满足
*
对一个连续型随机变量X,若已知其概率密度f(x),则根据定义,可求得X的取值落在区间(a,b]上的概率为
*
　　 “处处右连续性”是所有分布函数的一个共
性．对于连续型随机变量的分布函数，有什么特
殊性呢？
性质1 连续型随机变量的分布函数处处连续．
证 对于任意的
由(2.5)式知，
这表明
在
处连续．
*
2.4.2 连续型随机变量分布函数的性质
　例2.20 设连续型随机变量X的分布函数为
求常数A，B．
解 连续随机变量的分布函数处处连续，所以，
*
　　性质2 设Ｘ是连续型随机变量，则对任意
的
有
(2.7)
*
证 对任意给定的ε>0，总有
上式两端同时求极限ε→0，得
连续型随机变量取任何实数值的概率都等于零．
“小”，“小”到其概率等于零的程度，但并不意味
◆(2.7)式只意味着
发生的可能性很
着
，
*
即一个事件的概率等于零，并不能推出这件事是不可能事件
同样地，一个事件的概率等于1，也不能推出这件事是必然事件.
　　性质 3 设连续型随机变量
则对于任意的
◆连续型随机变量落在任何区间内的概率等于它
的分布函数在该区间上的增量，也等于它的概率
密度在该区间上的积分．
*
在利用上式计算概率时，如果概率密度f(x)在区间(a,b]内的取值有些部分为零，此时积分区间可缩小到f(x)的非零区间与(a,b]的交集部分
*
即设f(x)的非零区间∩(a,b]=[c,d]，则
例2.21 设
解
求(1)a的值；(2)P(X=0.1)；(3)P(－1(4)P(X＜0.2|0.1例2.21 设
解
求(1)a的值；(2)P(X=0.1)；(3)P(－1(4)P(X＜0.2|0.12.4.3 概率密度与分布函数的互化
　　(2.5)和(2.9)都是连接连续型随机变量分布
（2.5）
两边求导得
若
在点
处连续，则在
（2.9）
函数与概率密度关系的桥梁，前者是积分的桥
　　(2.5) 通过积分由概率密度求分布函数，
梁，后者是微分的桥梁．
　　 (2.9) 通过求导由分布函数求概率密度．
*
例2.22 求例2.20中Ｘ的概率密度
解 根据例2.20的结果，Ｘ的分布函数为
两边求导得X的概率密度
*
◆ 此例中
在
处的导数都不存在，
概率密度可以赋给任何非负值．为了使分段
不至于变得较繁杂，这里我们让
当然
*
等都是本例中随机变量X的概率密度．即是说
连续随机变量的概率密度不唯一，修改概
率密度在任意几个点的函数值不影响该随
机变量的其它性质．
*
例2.23 已知
求Ｘ的分布函数．
　　解 概率密度表达式有两个段点：1，2，
1
２
数轴被分成三部分区间：
考虑
中上限变量x分别落在
在这三个部分区间时的积分，我们得到
*
经过一些简单的积分计算，得所求分布函数为
*
◆上述分布函数尽管是一个分段函数，但它在
每个分段点处都连续，从而在整个数轴上处处
连续，这是因为“连续型随机变量的分布函数
处处连续” （性质1）．
*
例2.24 设
且
求(1)常数A，B（2)X的分布函数
(3)
解 (1) 由
和规范性得
*
(2)由（1）知，
*
则分布函数为
(3)方法一
*
方法二
作业：
P54 全做
*

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