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3.3 二维连续型随机变量
3.3.1 二维连续型随机变量
函数
3.3 二维连续型随机变量
记作
定理4
任何联合概率密度都具有上述两条性质；
以上两条性质的二元函数必可作为联合概率密度.
凡是满足
例3.5 设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为
解
由规范性
求（1）常数
（2）
的分布函数
（1）
（2）由定义4得
则当
时，
当
时，
所以
3.3.2 联合密概率密度与联合分布函数的互化
设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
例3.6
求(X, Y )的联合密度函数f (x,y)
解：由式(3.12)有
练习 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
解
3.3.3 二维连续型分布的概率计算
在使用上式计算概率时,如果联合概率密度f(x,y)在区域G内的取值有些部分为零,此时积分区域可缩小到f(x,y)的非零区域与G的交集部分,然后再把二重积分化成二次积分,最后计算出结果.
性质1 设
,则对任意的平面区域G
例3.7 设二维随机向量(X,Y)的概率密度为
解:(1)随机变量分布区域如图所示
x
y
0
1
2
1
例3.7 设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为
解：(2)随机变量分布区域如图所示
y
0
1
2
1
x
y=x
3.3.4 边缘概率密度
定理5 设二维连续型随机变量( X,Y ) 的联合概率密度为 则
分别称为 (X,Y) 关于 X 和关于Y的边缘概率密度.
求边缘概率密度fX(x)与fY(y)
解
设 (X, Y ) 的联合概率密度是
例3.8
f(x,y)的非零区域如图
关于X的边缘概率密度为
x
y
0
1
求边缘概率密度fX(x)与fY(y)
解
设 (X, Y ) 的联合概率密度是
例3.8
x
y
0
1
f(x,y)的非零区域如图
关于Y的边缘概率密度为
求边缘概率密度fX(x)与fY(y)
设二维随机变量 (X, Y ) 的联合概率密度是
例3.9
解
f(x,y)的非零区域如图
关于X的边缘概率密度为
y
0
x
y=x
关于Y的边缘概率密度为
3.3.5 两种重要的二维连续型随机变量的分布
（1）二维均匀分布
若 (X,Y) 的联合密度函数为
其中 为平面上的有界区域 的面积
则称 服从区域 上的均匀分布.
例3.10 设 服从区域
上的均匀分布，其中
为：
求
解 如图所示，
G的面积
所以
的密度函数为
y
0
1
2
1
x
y=x
y=1－x
练习 设国际市场上甲、乙两种产品的需求量（单位：吨）是服从区域
上的均匀分布, 试求两种产品需求量的差不超过1000吨
的概率.
所求概率为
解
设甲、乙两产品的
需求量分别是X和Y,
则(X,Y)的联合概率密度为
（2）二维正态分布
若二维随机变量 的概率密度函数为
其中
则称 服从参数为 的二维正态分布
记作
定理6 若
则
即二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布
上述结果表明
联合分布能确定二维随机变量边缘分布
但边缘分布一般不能确定二维随机变量联合分布
作业：习题三
10；11；12；13；14

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