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3.4 随机变量的独立性
若对于所有
3.4.1 两个随机变量的独立性
由分布函数的定义，上式左边可化为
由第1章事件独立性的定义，
上式表示
事件
与事件
相互独立
无论取何值，
事件
与事件
互不影响，反映事件相互独立性的本质。
若 ( X,Y )是离散型随机变量，则 X, Y 相互独立的定义等价于
3.4.2 二维离散型随机变量的独立性
注 X与Y相互独立要求对所有的i,j的值（3.18）式均成立
例3.11 判断如下二维离散型分布列中X与Y是否相互独立
解
所以X与Y不相互独立。
例3.12 设二维随机变量(X,Y )的联合分布律如下
且X与Y 相互独立，试求 和 .
由分布列的性质, 有
解
由X与Y 相互独立，知
若( X,Y )是连续型随机变量，则 X, Y 相互独立的定义等价于
在平面上处处成立 .
3.4.3 二维连续型随机变量的独立性
解:由题意得，
例3.13 设二维随机变量(X,Y )在以原点为圆心，半径为1的圆域上服从均匀分布,判断 X与Y是否相互独立？
X的边缘密度为
x
y
0
解
同理
所以X与Y不相互独立。
在前面提到过联合分布决定边缘分布，反之不成立，那么在什么条件下边缘分布可确定联合分布呢？
由以上讨论有如下结论：
在独立条件下，
边缘分布函数决定联合分布函数，
边缘概率密度才能决定联合概率密度函数，
边缘分布列决定联合分布列.
解
由题意得，
的概率密度函数分别为
因为 与 相互独立
解
练习 设(X,Y )在区域G={(x,y)丨a≤x≤b,c≤y≤d}上服从均匀分布,求(X,Y )的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立？
解
X, Y 的边缘密度分别为
成立，所以X, Y相互独立.
3.4.4 多个随机变量的独立性
定义6 设
是定义在同一个样本空间
上的n个随机变量，对于任意实数
元函数
称为
的联合分布函数，简称分布函数
1. 多元分布函数的定义
2. 相互独立性
则称随机变量
相互独立
若
是连续型随机变量，则其相互独立
等价于
相互独立.
则称随机变量
若
是离散型随机变量，则其相互独立
进一步，
等价于
3.重要结论
在实际问题中，根据生活经验和直观认识，如果随机变量间没有任何关系，即可判定这些随机变量是相互独立的
例如,若随机变量
代表n个人的体重，
则可认为这n个随机变量是相互独立的
作业：习题三
16；17；18；19

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