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§1.2 随机事件的概率
*
1.2.1概率的公理化定义
性大小，记为
上所有事件组成的集合．事件
设
是随机试验 E 的样本空间，
为
发生的可能
是事件Ａ的固有属性，
需要强调的是，
的固有属性一样．
它随着事件Ａ的确定而确定，
就像“质量”是物体
一旦事件Ａ给定了，
我们知道不知道它是多少，能不能计算它，那是
就确定了．至于
技术问题，属于另一回事．
*
是一个映射
从对应关系来说，
（函数就是一种特殊的映射）．
熟知，只有当定义域和对应法则确定之后，
一个映射才算确定了．在这里，映射P的定义域
试问映射P的对应法则是什么
是
　　映射P没有通常的函数解析式，1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫解决了映射P的对应法则问题，这在概率论发展史具有重大意义．
柯尔莫哥洛夫
（1903～1987)
*
　　映射P的对应法则由下面三条公理确定，这就是我们通常所说的概率的公理化定义．
1 非负性 若
则
2 规范性(正则性)
都有唯一确定的实数 与之对应，
上所有事件组成的集合.
为
设E是随机试验，它的样本空间为
如果对任意事件
并且 满足下列条件：
定义1
*

3 可列可加性 若
是一列两两互不相
则
容的事件，即
其中的“Ｐ”是英文单词“probability”的首写字母，表示“概率”的意思．
则称
为事件Ａ的概率．
*
1.2.2 概率的基本性质
可列可加性公理

由此可得
证
性质1 对于不可能事件
*
证　
可列可加性公理
性质1
性质2 (概率的有限可加性) 若
两两互不相容，即
则
*
概率的有限可加性
　 对立事件的概率公式的意义在于：当一个事件的概率不容易直接计算时，我们常常通过计算它的对立事件来完成，这种“反思维”的方式在概率的计算问题中经常被采用.
性质3 (对立事件的概率公式) 对任何事
件A，有
证 注意，A与
互不相容，且
*
概率的有限可加性
移项得所需结论．
性质4 (真差概率公式) 若
则
证 当
时，
A与B-A互不相容，
*
由真差的概率公式可得下面三条性质：
　　 性质7 (概率的减法公式) 对任意两个事件A和B，有
性质6 对任意事件A，有
性质5(概率的单调性) 若
则
*
1.2.3 概率的加法公式
证
　　定理1 (两个事件的概率的加法公式) 对于任意两个事件A和B，有
所以
*
注 概率的加法公式可以推广到有限个事件的情形.如对任意三个事件A，B，C ，三个事件的概率的加法公式为
*
解 由概率的性质，可得
例1.9
*
*
例1.10 由长期统计资料得知，某一地区在４月份每天下雨的概率为4/15，刮风的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为2/15，求４月份的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率．
从而，由概率的加法公式得所求概率为
解 在４月份中任取一天，令A={下雨}，
B={刮风}，则
*

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