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第4章
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随机变量的概率分布能够完整地刻画随机变量
的概率性质，描述随机变量的统计规律.
而实际中
我们有时只对随机变量的某一方面的指标感兴趣.
如检查一批棉花的质量时，
所关心的是棉花纤维的
平均长度；
评定一名射击运动员的技术水平时
会考察
其射击命中环数的平均值大小.
这些指标被称为
随机
变量的数字特征.
本章将介绍随机变量重要的数字特征：
数学期望、
方差、
协方差、
相关系数、
矩和分位数.
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§4.1 数学期望
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4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望
先看一个例子：
设射手甲在同样条件下进行射击100次，其中命中 情况如下
环数 10 9 8 7 6 5 0
命中数 10 10 20 30 10 10 10
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环数 10 9 8 7 6 5 0
命中数 10 10 20 30 10 10 10
这样射手甲的平均命中环数为
对上式稍作变化得
这样看来，数值6.7反映了该射手的平均命中环数.
同时我们也发现这种反映随机变量取值“平均”意义的数值，
恰好等于随机变量的取值与相应概率乘积的总和(即以概率为权的加权平均).
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定义1 设有离散型随机变量X的分布列为
则称
（4.1）
为离散型随机变量X的数学期望，简称期望
注 定义要求该级数绝对收敛，它能保证该级数不受求和过程中各项次序的影响.
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【例4.1】 面额为2元的彩票共发行5000张，其
可得奖金1000元、50
元、5元的彩票分别有
1张、50张、100张.若某人购买1张彩票，
求他获得奖金
X 的期望为多少？
解
先计算X 的分布列
X
P
0
5
50
0.9698
1000
0.02
0.01
0.0002
因此X的期望
也就是说，此人花2元买一张彩票，从理论上讲，他平均只能获得0.8元的回报.
4.1.2 几个常用离散型随机变量的期望
1. 0-1分布
设随机变量
,X 的分布列为
直观地讲，在一次伯努利试验中要么成功1次，要么成功0次，
而成功一次的概率是p，
所以
一次实验中成功的平均次数是p.
则X 的期望为
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2. 二项分布
设随机变量
,X 的分布列为
则X 的期望为
直观地讲，在一次伯努利试验中成功1次的概率是p,
所以n次伯努利试验中成功的平均次数是np.
由无穷级数知识知，
3. 泊松分布
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这表明,
在泊松分布中，
X 的期望值恰好就是参数
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【例4.2】
某产品的次品率是0.1，检验员每天检验4次，
每次随机抽取10件产品进行检验，
数大于1，
如果发现其中的次品
则应调整设备.
设各件产品是否为次品是相互
独立的，
求一天中调整设备的次数的期望.
解
以X 表示10件产品中的次品数，
则
每次检验后需调整设备的概率
以Y表示调整设备的次数，
则
,所求期望
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4.1.3 连续型随机变量的期望
连续型随机变量的期望可看成离散化后期望的极限.
于是,
在离散型随机变量的期望的定义中,
将和式
中的和号
变成积分号
,改
为
改为微分
,就得到连续型随机变量的期望定义.
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定义2
设连续型随机变量
，若积分
绝对收敛，
则称
(4.2)
为连续型随机变量X 的数学期望，
简称期望.
注 与离散型类似,
定义中要求积分
绝对收敛，
，是为了保证期望的存在性
和唯一性.
即
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【例4.3】
设随机变量X 的概率密度为
求
解
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4.1.4 几个常用连续型随机变量的期望
(1) 均匀分布
设随机变量
，概率密度为
则X 的期望为
因此，
均匀分布的期望就是分布区间的中点.
也就是说，
如果往区间
内均匀
投点，
虽然有些点落在中点左侧，
有些点落在中点右侧，
但落点的平均位置应该位于中点.
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(2) 指数分布
设随机变量
，概率密度为
则X 的期望为
因此，
在指数分布中，
参数
越大，
期望越小.
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(3) 正态分布
设随机变量
，概率密度为
则X 的期望为
作变量代换，令
，则
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这表明参数
是正态分布的随机变量取值的平均，
这与几何上其概率密度以
为对称轴是一致的.

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