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(共26张PPT)
§2.5 几种重要的连续型分布
*
若随机变量X的概率密度为
则称X服从区间[a, b]上的均匀分布，记作
2.5.1 均匀分布
*
容易求得它的分布函数为
*
许多随机现象都可以用均匀分布刻画，例如，
　　◎数值计算中保留到小数点后第一位，四舍五
入引起的误差服从[-0.05，0.05]上的均匀分布；
　　保留到小数点后第二位，四舍五入引起的误差
服从[-0.005, 0.005]上的均匀分布．以此类推．
　　◎向区间[a，b]上等可能地投点，落点坐标Ｘ
服从区间[a，b]上的均匀分布．
　　所谓“均匀”，是指Ｘ落在区间[a，b]中的任一
小区间的概率等于该小区间的长度与区间[a，b]的
长度之比，而与小区间的位置无关．
*
◎如果一个人无预期地来到公共汽车站，那么他候车
时间与到站时间均服从
上的均匀分布，其中
是公共汽车站发车的时间间隔.
◎汽车遇到红灯时，等待时间服从区间
上的均匀分布，其中
是红灯持续的时间长度．
*
　　例2.25 某长途汽车站每隔1小时发一班车，
某人随机地来到始发站．试求他等车时间少于15
分钟的概率．
解 设Ｘ为乘客等车的时间，则
其概率密度为
故所求概率为
*
2.5.2 指数分布
若连续型随机变量Ｘ的概率密度为
记作
分布函数为
*
　　因为概率密度中的非零部分是一个指数函
数，所以称这种分布为“指数分布”．指数分布常
可作为各种“寿命”分布的近似．
◎电子元件的寿命；
◎动物的寿命；
◎电话问题中的通话时间；
◎随机服务系统中的服务时间；
◎顾客要求某种服务(到银行取钱，到车站售
票处购买车票等)需要排队等待的时间．
*
例2.26 设某电子元件的寿命X服从参数为3的指数分布.(1)求该电子元件寿命不超过2年的概率；(2)已知该电子元件已使用了1年，求它还能使用2年的概率.
解
2.5.3 正态分布
先证明概率积分公式:
事实上，
若连续型随机变量X的概率密度为
*
其中
为常数，则称Ｘ服从参数为
的正态分布，记作
（2.13）
利用概率积分公式可以验证(2.13)式所示的
函数是概率密度.
*
由图可知，f(x)的图形呈钟形，且有如下特征：
(1)关于直线x=μ对称
*
(2)在x=μ处取得最大值
(3)在x=μ±σ处有拐点
(4)当x→∞时，曲线以x轴为渐近线
如果固定σ，改变μ的值，则图形沿着x轴平移，而图形的形状不变
*
如果固定μ，改变σ的值，由最大值
可知随着σ的增大，图形越平坦，随着σ的减小，图形越陡峭，但图形的对称轴没有改变
　　一般认为，正态分布始于1733年法
棣莫佛(1667-1754)
高斯(1777-1855)
国数学家棣莫佛
次数分布逼近的研究．19世纪初，高斯
它．由于这个原因，文献中也常把正态
分布称为高斯分布． “正态”意谓“正常
的状态”，就是说若在观察或试验中不
出现重大的失误，则结果应遵从正态
分布．这个看法有大量经验事实作为
支持，也有理论上的依据，这大概就
是“正态分布”这个名称的由来．
对大量抛硬币出现正面
在研究测量误差时，从另一个角度引进
*
　　第五章的中心极限定理表明： 一个变量
如果是由大量独立起微小作用的随机因素的叠
加结果，那么这个变量一定是正态变量．因此
很多随机变量可以用正态分布描述或近似描
述，例如：
◎射击目标的水平或垂直测量误差；
◎成年男(女)子的身高、体重；
◎加工零件的尺寸；
◎某市一次统考的考生成绩；
◎一个地区的年降雨量．
*
若
则称Ｘ服从标准正态分布或
称Ｘ是一个标准正态随机变量，其概率密度和分
布函数分别为
特别用专用符号
分别表示标
和
准正态概率密度和分布函数，从一个侧面说明
了标准正态分布的重要性．
*
(1)关于直线x=0对称，即 是偶函数
*
(2)在x=0处取得最大值
(3)在x=±1处有拐点
(4)当x→∞时，曲线以x轴为渐近线
我们先研究标准正态密度
的性质：
表示下面图形中阴影部分的面积：
特别地，由曲线
的对称性，可知
进一步得到标准正态分布函数
的如下性质：
*
性质4 对于任意的
恒有
*
例2.27 设
求
和
解
*
　　现在，我们研究一般正态分布．
性质5
*
一般正态分布通过线性变换化成标准正态分
　　该性质在应用中很重要，利用它总可以把
布．借助标准正态分布函数表，正态分布的概
率计算问题在理论上获得彻底解决．
例2.28 设
求
和
解
*
例2.29 设设某地区成年男性的身高(单位：厘米)X～N(170,7.692),求该地区成年男性的身高超过175厘米的概率.
解
*
　　从上式中可以看出：尽管正态变量的取值范
概率高达99.73％，这个结果被实际工作者称作是
但它落在区间
内的
围是
”原则．
正态分布的“
*
68.26%
95.44%
99.74%
*
作业：
P
*

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