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*
§4.4
*
对多维随机变量，
随机变量的期望和方差值只反映
了各自的平均值
与偏离程度，
并不能反映随机变量之间
的关系.
本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依
赖关系的一个数字特征.
在证明方差的性质时，我们已经知道，
当
和
相互独立时，有
反之说明，当
时，
和
一定不相互独立.
这说明
定程度上反映了
在一
随机变量
和
之间的关系.
*
4.4.1 协方差的定义
定义4
covariance
设
为二维随机变量，若
存在，
则称其为随机变量
X 和Y 的协方差，记为
即
(4.11)
*
按定义，若
离散型随机变量，
其分布列为
则
(4.12)
若
为连续型随机变量，
其概率密度为
，则
(4.13)
*
此外，利用期望的性质，
易将协方差的计算化简为
(4.14)
事实上，
当X 和Y 相互独立时，有
，所以
*
4.4.2 协方差的性质
(1)协方差的基本性质
①
②
③
a,b是任意常数
④
⑤
，其中C 为任意常数.
(2)协方差与方差的一般关系
(4.15)
特别地，
当X 和Y 相互独立时，有
*
【例4.16】
已知二维离散型随机变量
的分布列为
解
先求出边缘分布，
求
*
于是有
计算得
所以
*
【例4.17】
设
(X,Y )的联合密度函数为
解
的非零区域如图所示
,同理可得
*
*
4.4.3 相关系数的定义
协方差是对两个随机变量协同变化的度量，
其大小在
一定程度上反映了X 和
Y 相互间的关系，
但它还受X 和Y
本身度量单位的影响.
例如，kX 和kY 之间的统计关系与
与X 和Y 之间的统计关系应该是一样的，
但其协方差却
扩大了
倍，因为
为了避免随机变量因本身度量单位不同而影响它们
之间的相互关系的度量，
可将每个随机变量标准化，
即取
*
并将
作为X 和Y 之间相互关系的一种
度量，而
定义5
设(X,Y )为二维随机变量，
称
有时也记
为
.特别地，
*
4.4.4 相关系数的性质
证
由方差的性质和协方差的定义知，
对任意的实数
b，有
令
,则
由于方差总是为正的，故必有
，所以
*
若X 和Y 相互独立，则
，即X 和Y 不相关.
(3)
其中当
时，有
；其中当
时，有
即Y 随X 的增大有增大
的趋势；
即Y 随X 的增大有减小
的趋势.
*
注
(1)相关系数
刻画了随机变量X 和Y 之间的
的“线性关系”程度.
的值越接近1，X 和Y 的线性
程度越高；
的值越接近0，X 和Y 的线性程度越弱.
当
时，Y 与X 的变化可完全由X 的线性函数给出.
当
时，Y 与X 之间不是线性关系.
(2)
当
时，只说明Y 与X 没有线性关系，
并不能说明Y 与X 没有其它的函数关系，
也不能推出Y 与X
相互独立.
*
若随机变量X 和Y 相互独立，则下列四条都成立且彼此等价：
①
②
③
④
X 和Y 不相关，即相关系数
反之，以上四条的某一条成立，不一定能推出X 和Y 相互独立.
(3)
我们将几个重要知识结论总结如下：
*
【例4.18】
设
的联合分布列为
易知
,于是
X 和Y 不相关.
这表示X 和Y 不存在线性关系.但
故X 和Y 不是相互独立的.
*
4.4.5 二维正态分布的数字特征
二维正态分布是重要的二维连续型分布之一，
由
第3章定理6可知，若
，则
.即
分别是随
机变量
的数学期望与方差，
分别是随机变量
的数学
期望与方差，
这样我们就清楚了二维正态分布
前四个参数的含义.那么，
第五个参数
的含义是什么？
*
定理3
则其中的参数
即为X、Y 的相关系数
证
由相关系数的定义
作变量代换
，注意到
，有
*
*
定理4
则
X 和Y
相互独立的充要条件是相关
系数
证
必要性已证，
只需证充分性.若X 和Y 不相关，
即相关系数
，此时
的二维联合概率密度为
则X 和Y 相互独立.
上述定理表明，
一般来说X 和Y 不相关，
不能推出X 和
Y 相互独立，
但对于二维正态随机变量
，X 和Y 不相
关与相互独立是等价的.

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