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4.2.1 随机变量函数的数学期望
在许多实际问题中，
我们常常要考虑一个或多个
随机变量的函数的期望.
例如在研究某个家庭的收入
支出情况时，
我们可以简单的认为支出Y是收入X的
函数，
利用随机变量X的分布来求Y的期望，
就归结为
计算随机变量函数的期望.
【例4.4】设随机变量 X 的分布列为
要得
的期望,
可以先求
的分布列
这个例子启发我们:
若求
的数学期望,
并不需要先求
的分布列,
再求
的期望,
可以直接根据
的分布列去求
的期望.
定理1
设
是连续函数，
Y是随机变量X的函数：
(1)
设X是离散型随机变量，
分布列
若
收敛，则有
(4.3)
(2)
设X是连续型随机变量，
概率密度为
，若
收敛，则有
(4.4)
证明从略.
但是，从期望的定义不难解释这个定理结论的
正确性.
例如把(4.3)式中的
看成一个新的随机变量，
那么当X以概率
取值
时，它以概率
取值
，因此
它的期望就是
.对(4.4)式也是如此.
此定理的重要性在于它提供了计算随机变量函数的期望
的一个简便方法，
不需要通过计算
的分布，
而直接利用
X的分布来计算.事实上计算
的分布有时也是一件不
容易的事.
【例4.5】
设随机变量
的分布列为
求
解
解
【例4.6】设随机变量
4.2.2二维随机变量函数的期望
根据定理1的结论容易得到二维随机变量函数的期
望的求法.
定理2
设
是二维随机变量，
，且
存在，于是
(2)
若
是离散型，其联合分布列为
则Z的期望为
(4.5)
(1)
若
是连续型，其联合概率密度为
则Z的期望为
(4.6)
【例4.7】
设
的联合分布列为
求
于是，
，可先求X和Y的边缘分布列
解
要求
再将联合分布列改写为如下形式
于是
求E(X),E(Y),E(XY)
解
设 (X, Y ) 的联合概率密度是
【例4.8】
x
y
0
1
先画出f(x,y)的非零区域的取值范围，如图，于是
4.2.3期望的性质
根据定理1和定理2，
我们可以证明期望的几个重要性质，
以下假设有关的期望都是存在的.
性质1
其中
是常数.
性质2
对任意常数
和
，有
注
这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形.
性质3
若
相互独立，则
以上性质，只对性质3的连续型进行证明，其它留给读者自行证明.
证
设
的联合概率密度是
，其边缘概率密度
分别是
和
，则
因为
相互独立，
，所以有
例如在例4.7中，
我们已经计算得
，但
显然
故X与Y不相互独立
注性质3
若X,Y相互独立
【例4.9】
对例4.7中的随机变量
X和Y，
利用期望的性质求
解
利用期望的性质来求随机变量函数的期望，不失
为一种简便方法.

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