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5.2 中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成的，而每一个因素在总的影响中所起的作用是很小的，但总体看来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景. 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理（Central limit theorem)，现介绍几个常用的中心极限定理.
5.2.1 独立同分布的中心极限定理
定理5（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量序列
满足如下三个条件：
（1） 相互独立；
（2） 同分布；
（3） 期望
和方差
都存在;
则对
, 有
(5.13)
注 (5.13)式和下面(5.14)式中的“
”可改为“
”.
这个定理的证明超出了本书的范围，故略去. 下面我们给出一些概率解释.
设
则(5.13)式可以重新写成
(5.14)
这就是说，当
时，随机变量
与标准正态随机变量
所起的作用越来越相当，于是
我们称
为渐进标准正态.
注意，
是
的部分和
的标
准化. 因此，独立同分布情形时的中心极限定理说明随
机变量序列
的部分和
的标准化渐近标准
正态. 等价地说，当
充分大时，部分和
近似服从
正态分布
中心极限定理之所以重要还因为，它在概率计算方面显示出强大的应用. 它只假设
相互独立同分布，
方差存在, 不管原来的分布是什么, 只要
充分大, 就可以
用正态分布去逼近. 一个经验法则是, 当
时，如果把
当做标准正态随机变量来对待，那么带来
的概率误差就已经非常小了.
【例5.5】 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两. 求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.
解 设一盒重量为
，盒中第
个螺丝钉的重量为
相互独立，
，则有
，且
根据定理5，有
【例5.6】 对敌人的防御地进行100次轰炸, 每次轰炸命中目标的炸弹数目是1个随机变量, 其期望值是2, 方差是1.69. 求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.
解 令第
次轰炸命中目标的炸弹数为
，100次轰炸中
命中目标炸弹数
应用定理5，
渐近服从正态分布，
. 所以
定理6 (李雅普诺夫(Liapunov)中心极限定理) 设随机变量
相互独立，它们具有数学期望和方差
记
，若存在正数
，使得当
时
则随机变量
的分布函数
对于任意
，满足
(5.15)
证明略.
这个定理说明，随机变量
，当
很大时，近似地服从正态分布
. 因此，当
很大时,
近似地服从正态分布
这表明无论随机变量
具有怎样的分布，只
要满足定理条件，则它们的和
当
很大时,
就近似地
服从正态分布.
而在许多实际问题中，所考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因而它们常常近似服从正态分布. 这就是为什么正态随机变量在概率论与数理统计中占有重要地位的主要原因.
在数理统计中我们将看到，中心极限定理是大样本统计推断的理论基础. 下面介绍另一个中心极限定理.
定理7 设随机变量
服从参数为
的二项
分布，则对于任意的
，恒有
（1） （拉普拉斯(Laplace)定理） 局部极限定理：当
时
(5.16)
其中
(2) （德莫佛-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理） 积分极限定理：对于任意的
，恒有
（5.17）
证明略.
这个定理表明，二项分布以正态分布为极限. 当
充分大时，我们可以利用上两式来计算二项分布的概率.
【例5.7】 100部机器独立工作，每部停机的概率为0.2. (1)求23部机器同时停机的概率；(2)求停机的机器不超过30部的概率.
解 设
表示100部机器中同时停机的数目，则
(1)用局部极限定理近似计算
(2)
【例5.8】 应用定理7计算§5.1中例5.2的概率.
解
，则
【例5.2】设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.
【例5.9】 产品为废品的概率为
，求
件产品
中废品数不超过15
件的概率.
解 设
表示100
件产品中的废品数，则
则
正态分布和泊松分布虽然都是二项分布的极限分布，但后者以
，同时
为条件，而前者
则只要求
这一条件.一般说来，对于
很大，
(或
)很小的二项分布
用正态分布来近似计算
不如用泊松分布计算精确.
【例5.10】 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.
解 设
表示500发炮弹命中的数目, 则
（1）用二项分布公式计算
（2）用泊松公式计算，直接查附表1可得
（3）用拉普拉斯局部极限定理计算
可见后者不如前者精确.

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