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3.6.1 和的分布
(1) 离散型场合下的卷积公式
定理7 若 取值 ，
则
是
的可能取值
的可能取值
和
的和，即
由概率的加法公式得
或
特别地，若
和
相互独立，则有
称此式为离散型场合下的卷积公式
1
0
4
.
0
1
.
0
3
2
1
.
0
4
.
0
证
所以
*例3.18
此性质称为泊松分布的可加性
（2）连续型场合下的卷积公式
设 X 和Y 的联合密度为 f (x, y), 求 Z =X+Y 的密度.
Z =X+Y的分布函数是:
x
y
0
z
z
两边关于z 求导，则得 Z 的密度函数为
由 X 和Y 的对称性, fZ (z)又可写成
定理8 如果 X 和Y 独立，设( X ,Y )关于X, Y 的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
这两个公式称为连续型场合下卷积公式.
解
例3.19 设X和Y是相互独立的随机变量,其概率密度分
由卷积公式 ,
别为
先对fX(x)代值
后对z－x做变量替换再代值
它们的
故有
分布函数为
3.6.2 最大值与最小值的分布
即有
类似地,
即
则
分布函数分别为
推广
*例3.21
设某种型号的电子元件的寿命（以h计）
近似服从指数分布
随机地选取3只，
（2）这3只元件的寿命都不超过1000h的概率
求（1）这3只元件寿命都超过100h的概率；
解 设3只电子元件的寿命分别为
由题意得，
其分布函数均为
（1）记
可求得 的分布函数为
所求概率为
（2）记
可求得 的分布函数为
所求概率为
上面讨论了两种特殊情况下的二维随机变量函数的分布.下面再举几个其他的例子,
若
为离散型随机变量，则
为一维离散
离散型随机型变量，根据
的分布列写出
的分布
列，如果此时
的某些取值相同，应合并其对应的概率值
3.6.3 一般情形
例3.22
设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为
试求
的分布列
解 将联合分布列改写成如下形式
整理合并得 的分布列为
练习 设随机变量(X,Y )的联合分布列为
分别求X+Y、X 2+Y 2、min(X,Y )的分布列.
*例3.23
解
由题意知，随机变量 的概率密度函数为
随机变量 的分布函数为
当
时，
当
时，
事件 为必然事件
故
求导，得Z的概率密度
作业：习题三
24；25

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