资源简介

(共24张PPT)
§4.3 方 差
随机变量的期望是对随机变量取值水平的综合评价.
方差是另一个十分重要的数字特征，
用它来度量随机变量
取值在其均值附近的平均偏离程度，
以此来判断随机变量
取值的稳定性.
我们从下面例子引入方差的定义
【例4.10】
甲、乙两名射击手进行射击比赛，
设他们
中靶环数分别为
其分布列为
X
6
7
P
8
0.1
0.8
0.1
Y
3
5
6
0.1
P
9
0.1
0.4
0.2
10
0.2
容易求得，
.单从平均命中环数来看，
甲、乙两人射击水平是一样好。
但是，如果考虑
的取值
比
的取值更集中，
那么我们觉得甲的射击稳定性要比乙好。
因此，仅从数学期望来评价是不够的，
我们还要寻找反映
随机变量取值集中程度的数字特征。
设随机变量
的期望是
，偏离量
本身
也是随机的，
为了刻画偏离程度的大小，不能使用
的期望,
因为其值一定为零，
即正负偏离抵消了.
为了避免
正负彼此抵消，可以使用
作为描述
取值分散
的数字特征，
称之为
的平均绝对差.
由于绝对值运算存有许多不便之处，
因此常用
的平均值来度量
X与
的偏离程度，
这个平均值就是方差.
4.3.1 方差的定义
定义3
设X为一个随机变量，
若
存在，
则
称之为
的方差，
记作
，即
(4.7)
方差的算术平方根
称为标准差或均方差.
它与X具有相同的度量单位,
在实际应用中经常使用.
从方差的定义中易见：
若X的取值比较集中，则方差较
若X的取值比较分散，则方差较大.
小；
4.3.2方差的计算
(1)设X是离散型随机变量，
其分布列
则
(4.8)
(2)设X是连续型随机变量，
概率密度为
，则
(4.9)
由期望的性质，易得计算方差的一个简化公式
(4.10)
证
因为
，而
所以，
1. 若X是离散型随机变量，其概率分布为
则
计算公式:
2. 若X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，
则
某人有一笔资金准备投资房产和股市,其收益都与市场状态有关.通过调查,该投资者认为投资房产的收益X(万元)和投资股市的收益Y (万元)的分布列分别为
【例4.11】
解
问该投资者如何投资为好
先计算平均收益(期望)
从平均收益看,投资房产比投资股市划算,多收益0.1万元.下面再来计算各自的方差.
可以看到,
投资房产的方差比投资股市大.方差越大,
收益的波动越大,从而风险也就越大.
投资股市平均收益
比投资房产仅少0.1万元,
而风险要小得多.
因此,
该投资者还是选择股市投资为好.
4.3.3 常见分布的方差
(1) 0-1分布
设随机变量
，X的分布列为
(2) 二项分布
设随机变量
，X的分布列为
，而
故
(3) 泊松分布
所以
设随机变量
，X的分布列为
，而
(4) 均匀分布
设随机变量
概率密度为
，而
(5) 指数分布
设随机变量
概率密度为
，而
可以看到，
期望和方差的大小总是同向变化，
用经济学，
术语来说，
就是高回报意味着高风险,低回报意味着低风险.
4.3.4方差的性质
性质4 D(C )=0，其中C是常数。
由方差的简化公式，性质4显然成立.
此性质也表明
常数的方差为零.
性质5 若k是常数, 则
证
根据方差简化公式得
直观地讲，常数与其期望没有任何偏离，
所以方差为零。
性质6
其中C是常数。
证
根据方差简化公式得
性质7
证
而
同理可证
特别地，
当X和Y相互独立时，有E(XY)=E(X)E(Y)，
所以
此时
注
对于n维情形，若X1,X2,…,Xn两两独立,则
【例4.12】
设随机变量X具有期望
，方差
，称
为X的标准化变量.且有
解
又X表示n重伯努利试验中的成功次数,
设
因此 X=X1+X2+…+Xn ，
i=1,2,…,n
则
所以
Xi 相互独立，
【例4.13】
(二项分布)设
,求
和
与前面求二项分布的期望，方差过程比较，
利用性质来求解显然要简单得多.
【例4.14】
解
先求标准正态变量
的数学期望和方差.
于是
(正态分布)
因
即得
这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数
分别就是该分布的期望和方差，
因此，
正态分布完全可由
它的期望和方差所确定.
【例4.15】
设
,求
解
因为
，则
又
故
则
分布
概率分布或概率密度
期望
方差
0-1分布
二项分布
均匀分布
指数分布
正态分布
泊松分布
几种常见分布的数学期望与方差

展开更多......

收起↑