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专题02 排列组合综合应用
一．数字排列问题
1．（22-23高二下·江苏扬州·期中）用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由种选择，
根据分步乘法计数原理可得共有个不重复的三位偶数，故选：D
2．（22-23高二下·江苏扬州·期中）从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个奇数和两个偶数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ）
A．9个 B．24个 C．36个 D．54个
【答案】D
【解析】从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个奇数和两个偶数，共有种选法，
所以组成一个没有重复数字的三位数，共有个.故选：D.
3．（22-23高二下·江苏泰州·期中）（多选）从1，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（ ）
A．若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为125
B．若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为375
C．若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为70
D．若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为72
【答案】ABD
【解析】A选项：若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为，故A正确；
B选项：若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为，故B正确；
C选项：若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为，故C错；
D选项：若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为，
故D正确.故选：ABD.
4．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）（多选）下列正确的是（ ）
A．由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数
B．由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C．由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码
D．由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数
【答案】ACD
【解析】由数字1，2，3，4能够组成没有重复数字的三位数有个，故A正确；
若三个数是偶数，则个位可以是2，4，则共有没有重复数字有个，故B错误；
数字1，2，3，4能够组成三位密码有个，故C正确；
若三位数比320大，则百位是4时，有个，
若百位是3，则十位可以是2，3，4时，个位可以是1，2，3，4，共有个，
则比320大的三位数有个，故D正确．故选：ACD．
5．（22-23高二下·吉林延边·期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是 .
（1）可以组成个四位数
（2）可以组成个四位偶数
（3）可以组成个能被3整除的四位数
（4）将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2310
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）先从1,2,3,4,5五个数字中选出1个放在千位上，有种选择，
再从添上0后的剩余5个数中选出4个，放在百位，十位和个位上，有种选择，
所以可以组成没有重复数字的四位数个数为, （1）正确；
（2）分两种情况，当个位为0时，从1,2,3,4,5五个数中，
选择3个放在千位，百位和十位上，有中选择，
当个位不为0时先从2，4中选择1个放在个位上，有种选择，
再考虑千位，从除去0外的剩余4个数中，选择1个放在千位，有种选择，
再从添上0后的4个数中，选择2个，和剩余的百位和十位进行全排列，有种选择，故可
组成没有重复数字的四位偶数个数为, （2）正确；
（3）能被3整除的四位数，数位上的数字之和要能被3整除，
先从0,1,2,3,4,5六个数中，选出四个数，数字之和能被3整除的有
0,1,2,3；0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5和1,2,4,5；
其中0,1,2,3，先考虑千位，从除去0的三个数中，选出1个，有种选择，
再考虑剩余的3个数，有种选择，
故可以组成的没有重复数字的四位数个数为,
同理0,2,3,4；0，1，3，5；0,3,4,5均可组成没有重复数字的四位数个数有18个，
1,2,4,5，能组成没有重复数字的四位数个数为,
所以可以组成个能被3整除的四位数，（3）正确；
（4）若组成的没有重复数字的四位数千位为1,
此时从剩余的5个数中，选择3个，分别安排在百位，十位和个位，有个，
若组成的没有重复数字的四位数千位为2,此时剩余的5个数中，选择3个，
分别安排在百位，十位和个位，有个，，
故将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个四位数千位为2,
若组成的没有重复数字的四位数千位为2，百位为0，
此时从剩余的4个数字中选择2个，放在十位和个位，
组成的没有重复数字的四位数有个，,
同理可得：若组成的没有重复数字的四位数千位为2，百位为1，
组成的没有重复数字的四位数有个，,
故将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2301,（4）错误．
6．（22-23高二下·江苏扬州·期中）用0 1 2 3四个数字组成没有重复数字的自然数.
（1）其中三位数偶数有多少个？
（2）把这些数从小到大排成一个数列，1230是这个数列的第几项？
【答案】（1）10个；（2）第35项.
【解析】（1）三位数是偶数有个位是0和个位是2两种情况，
其中个位是0有种；个位是2有种.
所以三位数偶数共有个.
（2）1位自然数有个；2位自然数有个；
3位自然数有个；
4位自然数中小于1230的有1023，1032，1203共3个；
所以1230是此数列的第项.
7．（22-23高二下·山西晋中·期中）从0-9这10个数字取出3个数字，试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）能组成多少个没有重复数字的三位数奇数？
【答案】（1）648；（2）320；
【解析】（1）由题意，第一类，不含0：个；
第二类，个位数字是0：个；
第三类，十位数字是0：个；
根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数；
（2）由题意，第一类：个位数字是1时，百位不能为0，个；
第二类: 个位数字是3时，百位不能为0，个；
第三类: 个位数字是5时，百位不能为0，个；
第四类: 个位数字是7时，百位不能为0，个；
第五类: 个位数字是9时，百位不能为0，个；
根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数奇数.
8．（22-23高二下·江苏徐州·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数
（1）在组成的五位数中，所有偶数有多少个？
（2）在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？
（3）在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？
【答案】（1）60；（2）42；（3）60
【解析】（1）根据题意，当末位是0共有个，当末位是2或4共有个,
所以共有偶数为个.
（2）由题意，万位是4共有个，万位为3千位为2或4共有个，
万位为3千位为1共有个，
所以大于31000的数共有个.
（3）先排0,1,3,第一种：0排在三个数的第一位，共有个；
第二种0不排在三个数的第一位，共有个
所以数字2和4不相邻的数共有个.
二．队列排序问题
9．（23-24高三上·黑龙江鸡西·期末）2023年杭州亚运会期间，甲 乙 丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
【答案】B
【解析】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，
先排除去丙的5个元素，共有种排法，
再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法，
所以甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有种.故选：B.
10．（22-23高二下·江苏扬州·期中）在学校元旦文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有（ ）种.
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】把6个节目按照先后出场顺序依次记为编号1，2，3，4，5，6，
则3名男教师只有共4种位置安排，
由于夫妻教师的节目又不能相邻，可得以上4种安排的每种安排里，3名女教师的安排均是1种，
故该6名教师的节目不同的编排顺序共有．故选：B．
11．（22-23高二下·浙江嘉兴·期中）（多选）要从候选的位男同学、位女同学中选出位同学站成一排主持“庆祝‘五四’青年节”文艺汇演，要求至少要有位男同学，若两位男生均被选上，则这两位男同学站位不能相邻，那么（ ）
A．若位男同学同时被选中，则不同的站位方式有种
B．若位男同学中恰有一位被选中，则不同的站位方式有种
C．若女同学乙不能站两边，则不同的站位方式有种
D．若男同学甲必须被选中，则不同的站位方式有种
【答案】AD
【解析】对于A选项，若位男同学同时被选中，且这两位男同学站位不能相邻，
只需从位女同学中选出位女同学，先排女同学的位置，
然后将位男同学插入位女同学所形成的个空位中的个空位，
所以，不同的站位方式种数为种，A对；
对于B选项，若位男同学中恰有一位被选中，则只需从位女同学中选出位女同学，
然后将选出的位同学排序即可，则不同的站位方式种数为种，B错；
对于C选项，若只有一位男同学被选中，女同学乙未被选中，
则不同的站位方式种数为种，
若只有一位男同学被选中，女同学乙被选中，则女同学乙只能站中间，
不同的站位方式种数为种，
若两位男同学都被选中，女同学乙未被选中，则需从除乙以外的位女同学中选择位，
然后将位男同学插入位女同学所形成的个空位中的个空位，
则不同的站位方式种数为种，
若两位男同学都被选中，女同学乙被选中，则女同学乙只能站中间，则还需选择位女同学，
则不同的站位方式种数为种，
综上所述，不同的站位方式种数为种，C错；
对于D选项，若男同学甲必须被选中，另一位男同学未被选中，
则只需从位女同学中选出位女同学，则不同的站位方式种数为种，
若两位男同学都被选中，由A选项可知，不同的站位方式种数为种，
综上所述，不同的站位方式种数为种，D对.故选：AD.
12．（23-24高二上·湖北武汉·期中）（多选）传承红色文化，宣扬爱国精神，东湖中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是（ ）
A．6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为120种
B．6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240种
C．6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480种
D．6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有540种不同的安排方法
【答案】ABC
【解析】A：可用倍缩法，6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，
则有种，故A正确；
B：小明、小红两人相邻共有种排法，
将两人插空到其余四人全排列中共有种，故B正确；
C：6人站成一排，小明、小红两人不相邻，先将除小明、小红外的4人进行全排列，
有种排法，
再将小明、小红两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，故C正确；
D：6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），
则有种，故D错误；故选：ABC
13．（22-23高二下·江苏南通·期中）（多选）在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（ ）
A．3名男生排在一起，有6种不同排法 B．2名女生排在一起，有48种不同排法
C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法
【答案】BC
【解析】由题意得：对于选项A：3名男生排在一起，
先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有种，A错误；
对于选项B：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，
共有种，B正确；
对于选项C：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，
共有种，C正确；
对于选项D：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有种，
然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有种，D错误.故选：BC
14．（23-24高二上·重庆北碚·期中）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是 ．
【答案】84
【解析】先考虑五个音阶任意排列，有种情况，
再减去宫、角、羽三音阶都相邻的情况，
把宫、角、羽三音阶看做一个一个整体，则一共变成3个元素，有种情况，
而宫、角、羽三音阶又可以任意排列，有种情况，
所以一共的音序有种.
15．（22-23高二下·河南·期中）有4名男生，4名女生，全排成一行，求下列情形的排法种数．
（1）甲、乙两人必须排在两端；
（2）男女相间．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先排甲、乙，有种排法，再排其余6人，所以共有（种）排法.
（2）先排4名男生有种方法，男生之间包括两端共有5个空，
由于要男女相间，故再将4名女生插空，空出男生最左侧或最右侧的位置，
有种方法，故共有（种）排法.
16．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】（1）576；（2）144；（3）960
【解析】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）先将3名男生排好，共有种排法，
在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法，
再由分步乘法计数原理，共有种排法；
（3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法，
由于甲乙相邻，则有种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，共有种排法，
由分步计数原理，共有种排法.
三．几何涂色问题
17．（22-23高二下·江苏南京·期中）如图，用4种不同的颜色给图中四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】区域同色的方法数为
区域不同色的方法数为，
总的方法数为．故选：C．
18．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．360 C．480 D．600
【答案】C
【解析】将区域标号，如下图所示：
因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；
所以共有种不同的涂色方法.故选：C.
19．（22-23高二下·河北唐山·期中）如图，某城区的一个街心花园共有五个区域，中心区域⑤是代表城市特点的标志性塑像，要求在周围①②③④四个区域内种植鲜花，现有四个品种的鲜花供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法共有（ ）

A．48种 B．60种 C．84种 D．108种
【答案】C
【解析】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分以下三类：
当种植的鲜花为两种时：①和③相同，②和④相同，共有种种植方法；
当种植鲜花为三种时：①和③相同或②和④相同，此时共有种种植方法；
当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法，
综上：则不同的种植方法的种数为种，故选：C.
20．（23-24高二·辽宁沈阳·月考）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）

A．120 B．96 C．72 D．48
【答案】C
【解析】由题意知，与任意一点均不同色.
只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为；
用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色.
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为；
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为.
根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为.故选：C.
21．（22-23高二下·山东菏泽·期中）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．360种 B．264种 C．192种 D．144种
【答案】B
【解析】如图，
若4种颜色都用到，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，
再给D、E、F涂色，因为D、E、F中必有一点用到第4种颜色，有种涂法，
另外两点用到A、B、C三点所用颜色中的两种，有种涂法，
由乘法原理得种．
若只用3种颜色，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，
再给D、E、F涂色，因为D点与A点不同色，有种涂法，
若D点与B点同色，则F与C、D不同色，有种涂法，此时E有种涂法；
若D点与C点同色，则E与B、D不同色，有种涂法，此时F有种涂法.
由乘法原理得种．
所以，不同的涂色方法共有种．故选：B
22．（22-23高二下·河北邯郸·期中）某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有 .

【答案】540
【解析】如图：给5块不同的区域标上字母，
可先在A中布置花卉，有5种不同的布置方案，
再在B中布置花卉，有4种不同的布置方案，
再在D中布置花卉，有3种不同的布置方案，
若区域B，E布置同种花卉，则C有3种不同的布置方案，
若区域B，E布置不同的花卉，则E有2种不同的布置方案，C有3种不同的布置方案，
故不同的布置方案有种.
23．（22-23高二下·江苏徐州·期中）如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形和一个小正方形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有 种.
【答案】
【解析】如图所示，把5个区域，分为①②③④⑤，
当①③或②④中，恰有一个处同色时，此时用4中颜色涂色，共有种涂法；
当①与③同色，且②与④同色时，此时用你3中颜色涂色，共有种涂法，
由分类计数原理，可得共有中不同的涂色方法.
24．（2024·全国·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有 种.
【答案】72
【解析】①使用3种形状风铃，只能同，同，同.此时共有：种挂法，
②使用4种形状风铃，此时有两种情况；
1）同，不同：直接将4种风铃挂到四个点上，全排列有：种，
2）不同，同：此时与1）相同，共有种，
综上，共有24+24+24=72种.
四．分组分配问题
25．（22-23高二下·贵州黔西·期中）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等6名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．12
【答案】B
【解析】小明和小李必须安装不同的吉祥物，
则有种情况，根据题设条件，剩余4人分两组，有两种情况：
一组1人，一组3人，有种情况；或每组各2人，有种情况，
然后分配到参与两个吉祥物的安装，有，故选：B．
26．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）2023年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”60周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方法数是（ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
【答案】C
【解析】将4名志愿者分配到两所敬老院，则由以下两种分配方案：
①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有种，
②两所敬老院各安排两名志愿者，则有种，
故共有种方案，故选：C
27．（22-23高二下·陕西榆林·期中）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为的三组，共有种；
第二种：分人数为的三组，共有种；
所以不同的安排方法共有种，故选：A.
28．（22-23高二下·河南许昌·期中）为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题进行改编，则每种题型至少至少指派1名教师的不同分派方法种数为（ ）
A．144 B．120 C．150 D．180
【答案】C
【解析】5名老师分为的情况时：共有；
5名老师分为的情况时：共有，
故共有种不同的分派方法.故选：C.
29．（22-23高二下·河南·期中）将5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中不去甲班，则不同的分配方案有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】根据题意，去甲班实习的教师可以是1人或2人.
有1人去甲班时，因为不去甲班，可从另外4人中选1人去甲班，有种选法，
再选2人去乙班，有种选法，剩下2人去丙班，有种方法，
这是分3步完成的，故有种方案；
有2人去甲班时，因为不去甲班，可从另外4人中选2人去甲班，有种选法，
再剩余3人分配到2个班的分法有种方法，
所以这类办法有种.
故不同的分配方案有:.故选：D
30．（23-24高二上·江西南昌·期中）现有4名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，若每个小组至少要有1人参加，则共有 种不同的安排方法.
【答案】
【解析】第一步，将4名同学随机分成三组，每组至少一人的分法为，
第二步，将三组全排列有，所以共有种不同的安排方法.
31．（22-23高二下·吉林延边·期中）有5名学生志愿者到3个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为 .
【答案】150
【解析】若分组为，则方法数有;
若分组为，则方法数有；
所以不同的安排方法为种.
32．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的情况有 种.
【答案】42
【解析】甲不去场馆，分两种情况讨论，
情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种；
情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种，
场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时，
场馆仅有2名志愿者的情况共有.
五．定序问题
33．（22-23高二下·北京东城·期中）一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】当两个节目放在相邻的位置，有种结果，
当两个节目不相邻，从原来形成的五个空中选两个空排列，共有种结果，
根据分类计数原理知共有种结果，故选：C．
34．（22-23高二下·山东烟台·期中）某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20 B．120 C．360 D．720
【答案】B
【解析】因为甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，
所以不同的上台顺序种数为.故选：B.
35．（23-24高三上·陕西汉中·期中）“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】选将“仁、义、礼”放好保持顺序不变，将“智”插空放入有4种方法，
将“信”插空放入有5种方法，共有20种方法，
将“仁义礼智信”排成一排共有种方法，
因此将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为.故选：D
36．（22-23高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
【答案】D
【解析】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法，
如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误.故选：D.
37．（22-23高二下·江苏盐城·阶段练习）书架上已有《诗经》《西游记》《菜根谭》《呐喊》《文化苦旅》五本书，现欲将《围城》《骆驼祥子》《四世同堂》三本书放回到书架上，要求不打乱原有五本书的顺序，且《骆驼祥子》和《四世同堂》必须相邻，则不同的放法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】分以下两种情况讨论：
（1）《围城》与《骆驼祥子》《四世同堂》这两本书不相邻，
将《骆驼祥子》和《四世同堂》捆绑，形成一个“大元素”，
然后将“大元素”与《围城》插入由《诗经》《西游记》《菜根谭》《呐喊》《文化苦旅》
五本书所形成的个空位中的个，
由捆绑法结合插空法可知，不同的放法种数为种；
（2）《围城》与《骆驼祥子》相邻且《四世同堂》与《围城》或《骆驼祥子》相邻，
将《骆驼祥子》和《四世同堂》捆绑，
然后《四世同堂》放在《骆驼祥子》或《四世同堂》旁边（相邻），
然后将这三本书形成的“大元素”插入五本书所形成的个空位中的个，
此时，不同的放法种数为.
由分类加法计数原理可知，不同的放法种数为种.故选：D.
38．（22-23高二下·北京·期中）2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法．
【答案】360
【解析】2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，∴共有种不同排法，
39．（22-23高二下·山西运城·期中）某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的6个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来6个节目的出场顺序不变，则有 种不同排法.（用数字作答）
【答案】56
【解析】6个学生节目形成7个空，
①当2个教师节目相邻时利用插空法则有：种情况；
②当2个教师节目不相邻时有：种情况，
所以共有种情况.
40．（22-23高二下·湖北武汉·期中）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课
（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
（2）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
【答案】（1）种；（2）种
【解析】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种.
（2）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有种.
六．标号排位问题
41．（22-23高二下·湖北荆门·期末）编号为1，2，3，4，5的五位同学分别就坐于编号为1，2，3，4，5的五个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学的编号和座位编号一致的坐法种数为（ ）
A．20 B．45 C．40 D．90
【答案】A
【解析】由题意人中选人出来，他们的两编号一致，剩下人编号不一致，则有两种坐法，
所以恰有两位同学的编号和座位编号一致的坐法种数为．故选：A.
42．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球，要使得恰有2个小球与所在盒子编号相同，则有（ ）种不同的放球方法，
A．60 B．40 C．30 D．20
【答案】D
【解析】如果有2个小球与所在的盒子的编号相同，
第一步：先从5个小球里选2个编号与所在的盒子相同，有种选法；
第二步：不妨设选的是1、2号球，则再对后面的3，4，5进行排列，
且3个小球的编号与盒子的编号都不相同，则有两种，
所以有2个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法，故D正确.故选：D.
43．（22-23高二下·河北石家庄·期末）将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，分以下两步进行：
（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里，有种选法，
假设选出的个小球的编号为、；
（2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里，
对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子.
则对于编号为的小球，有个盒子可以放入，
对于编号为、的小球，只有种放法.
综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.故选：B.
44．（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每个座位坐一位学生，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位时，
1号学生有3种坐法，2号学生有2种坐法，3号学生只有1种坐法，
所以一共有6种坐法，其中座位号与学生的编号恰好都不同的坐法只有2种，
所以所求的概率.故选：B.
45．（22-23高二下·福建福州·期中）将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　）
A．10种 B．25种 C．36种 D．52种
【答案】B
【解析】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，
分析可得，1号盒子至少放一个，最多放3个小球，
分情况讨论：
1号盒子中放1个球，其余4个放入2号盒子，有种方法；
1号盒子中放2个球，其余3个放入2号盒子，有种方法；
1号盒子中放3个球，其余2个放入2号盒子，有种方法；
则不同的放球方法有种，故选：B．
46．（22-23高二下·福建泉州·期中）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为 .
【答案】45
【解析】先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，
例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为，，，，
，，，，共9种，
故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，
并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法种数为种.
47．（22-23高二下·天津武清·期中）编号为的四位同学，分别就座于编号为的四个座位上．
（1）每位座位恰好坐一位同学，求恰有两位向学编号和座位编号一致的坐法种数？
（2）每位座位恰好坐一位同学，求每位同学编号和座位编号都不一致的坐法种数？
（3）每位座位恰好坐一位同学，求编号的两位同学必须相邻坐在一起的坐法种数？
【答案】（1）6；（2）9；（3）12
【解析】（1）由题意从4人中选出2人，他们的编号和座位编号一致，
其余两人的不一致，只有一种坐法，故坐法种数为；
（2）不妨第一位同学先选座位，有3种选法，
如果与他选的座位编号相同编号的同学选和第一位同学编号相同的座位，
则其余两人只有1种坐法；
如果与他选的座位编号相同编号的同学选其余两编号的座位，有2种选法，
其余2人只有1种坐法，故共有的坐法种数为；
（3）编号的两位同学必须相邻，可以坐编号为或或的座位，两人内部全排列，
其余两人在余下的位置上随便选座位，有种坐法，
故共有的坐法种数为.
48．（22-23高二下·江苏常州·月考）设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内．
（1）只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？
（2）没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
（3）每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？
【答案】（1）1200种；（2）119种；（3）31种
【解析】（1）首先选定两个不同的球，作为一组，选法有种，
再将组排到个盒子，有种投放法．共计种方法；
（2）没有一个盒子空着，相当于个元素排列在个位置上，有种，
而球的编号与盒子编号全相同只有1种，
所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有种．
（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种；
第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种；
第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：种；
第四类，两个球的编号与盒子编号相同的放法：种．
所以满足条件的放法数为：种．专题02 排列组合综合应用
一．数字排列问题
1．（22-23高二下·江苏扬州·期中）用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（22-23高二下·江苏扬州·期中）从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个奇数和两个偶数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ）
A．9个 B．24个 C．36个 D．54个
3．（22-23高二下·江苏泰州·期中）（多选）从1，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（ ）
A．若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为125
B．若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为375
C．若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为70
D．若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为72
4．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）（多选）下列正确的是（ ）
A．由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数
B．由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C．由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码
D．由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数
5．（22-23高二下·吉林延边·期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是 .
（1）可以组成个四位数
（2）可以组成个四位偶数
（3）可以组成个能被3整除的四位数
（4）将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2310
6．（22-23高二下·江苏扬州·期中）用0 1 2 3四个数字组成没有重复数字的自然数.
（1）其中三位数偶数有多少个？
（2）把这些数从小到大排成一个数列，1230是这个数列的第几项？
7．（22-23高二下·山西晋中·期中）从0-9这10个数字取出3个数字，试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）能组成多少个没有重复数字的三位数奇数？
8．（22-23高二下·江苏徐州·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数
（1）在组成的五位数中，所有偶数有多少个？
（2）在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？
（3）在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？
二．队列排序问题
9．（23-24高三上·黑龙江鸡西·期末）2023年杭州亚运会期间，甲 乙 丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
10．（22-23高二下·江苏扬州·期中）在学校元旦文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有（ ）种.
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
11．（22-23高二下·浙江嘉兴·期中）（多选）要从候选的位男同学、位女同学中选出位同学站成一排主持“庆祝‘五四’青年节”文艺汇演，要求至少要有位男同学，若两位男生均被选上，则这两位男同学站位不能相邻，那么（ ）
A．若位男同学同时被选中，则不同的站位方式有种
B．若位男同学中恰有一位被选中，则不同的站位方式有种
C．若女同学乙不能站两边，则不同的站位方式有种
D．若男同学甲必须被选中，则不同的站位方式有种
12．（23-24高二上·湖北武汉·期中）（多选）传承红色文化，宣扬爱国精神，东湖中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是（ ）
A．6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为120种
B．6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240种
C．6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480种
D．6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有540种不同的安排方法
13．（22-23高二下·江苏南通·期中）（多选）在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（ ）
A．3名男生排在一起，有6种不同排法 B．2名女生排在一起，有48种不同排法
C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法
14．（23-24高二上·重庆北碚·期中）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是 ．
15．（22-23高二下·河南·期中）有4名男生，4名女生，全排成一行，求下列情形的排法种数．
（1）甲、乙两人必须排在两端；
（2）男女相间．
16．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
三．几何涂色问题
17．（22-23高二下·江苏南京·期中）如图，用4种不同的颜色给图中四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A． B． C． D．
18．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．360 C．480 D．600
19．（22-23高二下·河北唐山·期中）如图，某城区的一个街心花园共有五个区域，中心区域⑤是代表城市特点的标志性塑像，要求在周围①②③④四个区域内种植鲜花，现有四个品种的鲜花供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法共有（ ）

A．48种 B．60种 C．84种 D．108种
20．（23-24高二·辽宁沈阳·月考）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）

A．120 B．96 C．72 D．48
21．（22-23高二下·山东菏泽·期中）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．360种 B．264种 C．192种 D．144种
22．（22-23高二下·河北邯郸·期中）某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有 .

23．（22-23高二下·江苏徐州·期中）如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形和一个小正方形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有 种.
24．（2024·全国·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有 种.
四．分组分配问题
25．（22-23高二下·贵州黔西·期中）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等6名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．12
26．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）2023年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”60周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方法数是（ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
27．（22-23高二下·陕西榆林·期中）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
28．（22-23高二下·河南许昌·期中）为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题进行改编，则每种题型至少至少指派1名教师的不同分派方法种数为（ ）
A．144 B．120 C．150 D．180
29．（22-23高二下·河南·期中）将5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中不去甲班，则不同的分配方案有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
30．（23-24高二上·江西南昌·期中）现有4名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，若每个小组至少要有1人参加，则共有 种不同的安排方法.
31．（22-23高二下·吉林延边·期中）有5名学生志愿者到3个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为 .
32．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的情况有 种.
五．定序问题
33．（22-23高二下·北京东城·期中）一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
34．（22-23高二下·山东烟台·期中）某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20 B．120 C．360 D．720
35．（23-24高三上·陕西汉中·期中）“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为（ ）
A． B． C． D．
36．（22-23高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
37．（22-23高二下·江苏盐城·阶段练习）书架上已有《诗经》《西游记》《菜根谭》《呐喊》《文化苦旅》五本书，现欲将《围城》《骆驼祥子》《四世同堂》三本书放回到书架上，要求不打乱原有五本书的顺序，且《骆驼祥子》和《四世同堂》必须相邻，则不同的放法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
38．（22-23高二下·北京·期中）2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法．
39．（22-23高二下·山西运城·期中）某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的6个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来6个节目的出场顺序不变，则有 种不同排法.（用数字作答）
40．（22-23高二下·湖北武汉·期中）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课
（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
（2）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
六．标号排位问题
41．（22-23高二下·湖北荆门·期末）编号为1，2，3，4，5的五位同学分别就坐于编号为1，2，3，4，5的五个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学的编号和座位编号一致的坐法种数为（ ）
A．20 B．45 C．40 D．90
42．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球，要使得恰有2个小球与所在盒子编号相同，则有（ ）种不同的放球方法，
A．60 B．40 C．30 D．20
43．（22-23高二下·河北石家庄·期末）将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A． B． C． D．
44．（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每个座位坐一位学生，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
45．（22-23高二下·福建福州·期中）将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　）
A．10种 B．25种 C．36种 D．52种
46．（22-23高二下·福建泉州·期中）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为 .
47．（22-23高二下·天津武清·期中）编号为的四位同学，分别就座于编号为的四个座位上．
（1）每位座位恰好坐一位同学，求恰有两位向学编号和座位编号一致的坐法种数？
（2）每位座位恰好坐一位同学，求每位同学编号和座位编号都不一致的坐法种数？
（3）每位座位恰好坐一位同学，求编号的两位同学必须相邻坐在一起的坐法种数？
48．（22-23高二下·江苏常州·月考）设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内．
（1）只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？
（2）没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
（3）每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？

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