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9.2 正弦定理与余弦定理的应用
课程标准 学习目标
（1）结合实例，理解测量不便到达的两点之间的距离的方案，掌握正、余弦定理在测量高度方面的应用； （2）掌握数学建模的应用，理解正、余弦定理在测量距离与角度等方面的应用。 （1）会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，理清利用解斜三角形可解决的各类应用问题及基本图形和基本等量关系； （2）能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题。
知识点01 实际测量中的有关名词、术语
1、基线
（1）定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。
（2）性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度高越高。
2、仰角与俯角：
（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
（2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
3、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）
4、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
5、坡角与坡度（坡比）：
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；
（2）坡度（坡比）：坡面的垂直高度与水平宽度的比值。
【即学即练1】（23-24高一·全国·练习）在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是，且到A的距离为2，C点的俯角为，且到A的距离为3，则B、C间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意可知，
由余弦定理得，所以.故选：D
知识点02 正弦定理和余弦定理的应用
1、测量距离与高度问题的常见类型
（1）测量距离问题：主要是指水平面上两个位置A，B不能直接到达，从而利用手中的工具，通过测量有关数据，构造三角形，应用正弦定理、余弦定理解决。例如当AB的长度不可直接测量时，AB的距离的求法分为以下三类.
两点间不可达又不可视 两点间可视但不可达 两点间都不可达
（2）测量高度问题：在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角（两个仰角或两个俯角）和一边或三角（两个方向角和仰角）和一边，如图所示．
2、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。
3、解三角形应用题的一般步骤
（1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。
【即学即练2】（23-24高一下·全国·专题练习）（多选）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案（的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c），则一定能确定A，B间距离的方案可以是（　　）
A．测量A，B，b B．测量a，b，C
C．测量A，B，a D．测量A，B，C
【答案】ABC
【解析】对于A，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理解出c；
对于B，直接利用余弦定理即可解出c；
对于C，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理解出c；
对于D，不知道边的长度，显然不能求c.故选：ABC.
【题型一：测量距离问题】
例1．（23-24高一下·山东泰安·月考）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知,
由余弦定理可得，故选：D
变式1-1．（22-23高一下·广东东莞·月考）如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
由正弦定理得.故选：C
变式1-2．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）某次军事演习中，炮台向北偏东方向发射炮弹，炮台向北偏西方向发射炮弹，两炮台均命中外的同一目标，则两炮台在东西方向上的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：由题意得，在北偏西方向上，
之间在南北方向上的距离为，
则在东西方向上的距离为，
其中，
因此，
法二：过炮台点作东西方向的水平线交正北方向分别为点，
则由图知.故选：A.
变式1-3．（23-24高一上·江苏无锡·月考）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．
【答案】
【解析】由于四点共圆，所以，
由正弦定理可知，
在中，，
解之得，
显然不合题意.
变式1-4．（23-24高一下·云南红河·月考）为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得，，，，同时测得海里.
（1）求的长度；
（2）求，之间的距离.
【答案】（1）；（2）海里
【解析】（1）如图所示，在中，，，且海里.
可得，
又因为，所以，
由正弦定理，可得.
（2）因为，且，，
可得，所以，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得，
即（海里）所以间的距离为海里.
【方法技巧与总结】
三角形中与距离有关的问题的求解策略：
（1）解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解；
（2）解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决.
【题型二：测量高度问题】
例2．（23-24高一下·广西·开学考试）桂林日月塔又称金塔银塔 情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（ ）
A．米 B．米 C．50米 D．米
【答案】B
【解析】由题意可知，,,
设米，则在中，米，
在中，米.
由余弦定理可得，
即，解得.
因为米，所以米.故选：B.
变式2-1．（23-24高一下·浙江·月考）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，则,
因为，
且，
则，
在中，则.故选：B.
变式2-2．（23-24高一下·重庆·月考）济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为，则小明同学求出泉标的高度约为 米.
（参考数据：，，）
【答案】38.3
【解析】设，在中，，则，
在中，由正弦定理得，所以，
结合，，解得.所以泉标的高度约为38.3米.
变式2-3．（23-24高一下·陕西西安·月考）瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，瑞云塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得瑞云塔顶部M的仰角为15°，瑞云塔的高度为 .
【答案】m
【解析】在Rt中，，由题意可得，
由图知，，
所以，
在中，由正弦定理可得：
即，解得
在Rt中，如图可得.
变式2-4．（23-24高一下·山西大同·月考）如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为 ；古塔的塔高为 ．
【答案】；
【解析】如图，在，，
由正弦定理，
又，
所以，即，
延长交于，则，
又无人机飞行的海拔高度为，所以该座小山的海拔为，
在中，，
又，
由正弦定理有，得到，
【方法技巧与总结】
1、测量高度问题的解题策略：
（1）“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题；
（3）“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路。
2、测量高度问题需要注意3个问题
（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
【题型三：测量角度问题】
例3．（22-23高一下·湖南邵阳·月考）前卫斜塔位于辽宁省葫芦岛市绥中县，始建于辽代，又名瑞州古塔，其倾斜度（塔与地面所成的角）远超著名的意大利比萨斜塔，是名副其实的世界第一斜塔．已知前卫斜塔的塔身长，一旅游者在正午时分测得塔在地面上的投影长为，则该塔的倾斜度（塔与地面所成的角）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，线段为塔身长，线段为投影长度，，
所以在中，，
因为，所以，故选：A
变式3-1．（22-23高一下·福建宁德·期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，
由余弦定理得，，
∴，
由正弦定理得，，
即，解得．故选：A．
变式3-2．（22-23高一下·湖北武汉·月考）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（ ）
A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向
C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向
【答案】C
【解析】由题，1小时后，甲船来到C处，则，则.
又由题可知，此时，乙船来到D处，，结合BD是北偏东60°方向，则.
又，则，即此时乙在甲的北偏东30°方向，甲在乙的南偏西30°方向.故选：C
变式3-3．（22-23高一下·安徽·月考）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则 ．
【答案】
【解析】如图，在中，，
则，
因为，所以，
在中，，
则，所以，
则.
变式3-4．（22-23高一下·广东佛山·月考）通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则 ．
【答案】
【解析】依题意，作出图形，如图，
，则，
在中，由正弦定理得：，即，
于是得，
所以.
【方法技巧与总结】
1、测量角度问题主要涉及光线（入射角、折射角)，海上、空中的追击与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念。解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中己知哪些量，然后解三角形即可.
2、测量角度问题需要注意3个问题
（1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；
（2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
（3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。
【题型四：综合应用问题】
例4．（22-23高二上·广西·月考）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路(长度均超过3千米)，在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米.
（1）求线段的长度；
（2）若，求两条观光线路与之和的最大值.
【答案】（1）3千米；（2）最大值为6千米．
【解析】（1）在中，由余弦定理得，
，所以线段的长度为3千米；
（2）设，因为，所以，
在中，由正弦定理得，.
所以，，
因此
，
因为，所以.
所以当，即时，取到最大值6.
所以两条观光线路与之和的最大值为6千米．
变式4-1．（23-24高一下·宁夏石嘴山·月考）某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）
（1）求两点之间的距离；
（2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
【答案】（1）；（2）直线与直线不垂直，理由详见解析.
【解析】（1）依题意，，，，
所以，
，所以，
在三角形中，由正弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得.
（2）在三角形中，由余弦定理得，
，
在三角形中，由正弦定理得，
，
直线与直线不垂直，理由如下：
,
所以直线与直线不垂直.
变式4-2．（23-24高一下·广东广州·月考）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿匀速步行，速度为，在甲出发后，乙从A乘缆车到B，在B处停留后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量得，．
（1）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（2）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意，，且为钝角、为锐角，
所以，，
在中，
由正弦定理，可得，解得.
所以索道的长为，
假设乙出发后（乙在缆车上），甲、乙两游客距离为，
此时甲行走了，乙距离处，
由余弦定理得，
因为，即，
又函数的对称轴为，开口向上，
所以当时，甲、乙两游客之间距离最短.
（2）在中由正弦定理，解得，
乙从出发时，甲已走了，还需要走才能到达，
设乙步行的速度为，
由题意得，解得，
所以为了使两位游客在处互相等待的时间不超过，
乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内.
变式4-3．（23-24高一下·重庆渝中·月考）为改进城市旅游景观面貌 提高市民的生活幸福指数，城建部拟在以水源为圆心空地上，规划一个四边形形状的动植物园．如图：四边形内接于圆（注：圆的内接四边形的对角互补），为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的植物浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米．
（1）若，且，求边的长为多少千米？
（2）若线段千米，求动植物园的面积（即四边形的面积）的取值范围（单位：平方千米）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），则
在中，，即
在中，，
由正弦定理知：，即，
则千米；
（2）设，则，则，
所以，当且仅当时等号成立，
在中：
在中：
则，得，解得，
所以，所以，
所以
所以动植物园的面积（即四边形的面积）的取值范围为．
变式4-4．（23-24高一下·上海闵行·月考）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB BC CD DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.
（1）若米，求烧烤区的面积？
（2）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？（精确到0.1米）
（3）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
【答案】（1）平方米；（2）米；（3）修建观赏步道时应使得，
【解析】（1）由余弦定理可知，所以
所以平方米.
（2），解得，
因为是钝角，所以，
，
故需要修建米的隔离防护栏；
（3），
当且仅当时取到等号，此时，
设，
在中，，
解得：，
花卉观赏区的面积为
，
因为，所以，
故当，即时，取的最大值为1，
，
当且仅当时取到等号，此时
综上，修建观赏步道时应使得，.
一、单选题
1．（22-23高一下·贵州遵义·期末）如图所示，为测量河对岸一点与岸边一点之间的距离，已经测得岸边的，两点间的距离为，，，则，间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以.故选：C.
2．（22-23高一下·湖北武汉·月考）如图，要计算汤逊湖岸边两建筑物B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，则两建筑物B与C的距离为（ ）
A．km B．km C．km D．km
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理可得，
即，整理得，解得或（舍去），
在中，由题意可得，
由正弦定理可得，所以（km）.故选：C.
3．（22-23高一下·江苏镇江·月考）金山寺位于江苏省镇江市润州区，始建于东晋时期，是中国佛教禅宗名寺，民间传说《白蛇传》中的金山寺即指此，与普陀寺 文殊寺 大明寺并列为中国的四大名寺，其中慈寿塔为金山标志，砖木结构，七级八面，矗立于数重楼台殿宇之上，如图：记慈寿塔塔高OT，某测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得.，，在B点处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为（ ）
A．36m B． C．45m D．
【答案】A
【解析】在中，因为.，
所以，
由正弦定理可知：，
在直角三角形中，，故选：A
4．（23-24高一下·河北沧州·月考）某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的，两点，在点测得红豆树根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在北偏西的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【解析】依题意可得如下图形：
在中，，，，，
所以由正弦定理得：，解得：，
在，，
所以，则红豆树的高度为米.故选：D
5．（22-23高一下·福建龙岩·期中）如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】B
【解析】在三角形中，，
，
由正弦定理得，
，
在三角形中，，
所以，所以，
由余弦定理得海里.故选：B
6．（23-24高一下·吉林通化·月考）为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ）
A．北偏东， B．北偏东，
C．北偏东， D．北偏东，
【答案】C
【解析】据题意知，在中，，海里，海里，
所以，
所以海里，
又，所以，
又因为为锐角，所以，
所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里.故选：C.
7．（22-23高一下·江苏南京·月考）如图，小明欲测校内某旗杆高MN，选择地面A处和他所在教学楼四楼C处为测量观测点（其中A处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面）．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得．已知C处距地面10m，则旗杆高（ ）
A．12m B．15m C．16m D．18m
【答案】B
【解析】由题意可知，，，，所以，
在中，，，所以，
由正弦定理可知，，即，解得：，
在直角三角形中，，，
则.故选：B
8．（23-24高一下·江苏江阴·月考）为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，
由正弦定理得，所以，
，
在中，，
所以，即此建筑物的高度是.故选：A.
二、多选题
9．（23-24高一下·广东广州·月考）装货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．A处与D处之间的距离是24海里 B．灯塔C与D处之间的距离是海里
C．灯塔C在D处的西偏南 D．D在灯塔B的北偏西
【答案】ABC
【解析】根据题意作出图形：
由货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里，得，，
又在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里，得，，
又货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，得，
所以在中，.
对于A：在中，由正弦定理得，
所以（海里)，故A正确；
对于B：在中，由余弦定理得，
即（海里)，故B正确；
对于C：因为，所以，
所以灯塔在处的南偏西方向，即灯塔C在D处的西偏南，故C正确；
对于D：由，在灯塔的南偏东处，在灯塔的北偏西处，故D错误.
故选：ABC.
10．（23-24高一下·山东栖霞·月考）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ）
A．观测点位于处的北偏东方向
B．当天10：00时，该船到观测点的距离为
C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D．该船在由行驶至的这内行驶了
【答案】ACD
【解析】A选项中，,，
因为在D的正北方向，所以位于的北偏东方向，故A正确.
B选项中，在中，，，则，
又因为，所以km,故B错误.
C选项中，在中，由余弦定理，得
，即km，故C正确.
D选项中，在中，，，则.
由正弦定理，得AC=km，故D正确.故选：ACD．
11．（22-23高一下·河北石家庄·月考）石家庄电视塔是石家庄的地标性建筑，吸引众多游客来此拍照，如图所示，现某中学数学兴趣小组对电视塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为电视塔的最顶端，B为基座（即B在A的正下方），在世纪公园上（B在同一水平面内）选取两点，测得的长为100m．小组成员利用测角仪已测得，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出电视塔高度的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A：由题意得，在中，这是两边夹角情况，
故由正弦定理求得，从而再解求得，故A正确；
对于B；由题意得四个条件，
在中，已知，三角形形状不确定，即无法确定其他边和角，
而分别在中，也无法确定其他的边和角，
因此无法通过解三角形，求得，故B错误；
对于C︰由题意得，在中，已知两边和夹角，
由正弦定理求得，从而再解求得，故C正确；
对于D∶可设，利用和，分别表示出,
然后在中，结合和，利用余弦定理列出关于h的方程，
即可求得h，D正确，故选︰ACD．
三、填空题
12．（22-23高一下·江苏·月考）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为 .
【答案】
【解析】由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
13．（22-23高一下·广东东莞·月考）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：）
【答案】15
【解析】设缉私艇最快在处追上走私船，追上走私船需t小时，则，，
∴在中，已知,,
，
由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，则，
，∴为东西走向，，
在中，由正弦定理得，
则，且为锐角，
，∴，
即，∴小时，即分钟.
14．（23-24高一下·江苏无锡·月考）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东方向上，距离为n mile；在处看灯塔在货轮的北偏西方向上，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东方向上，处与处之间的距离是 n mile，灯塔与处之间的距离是 n mile．
【答案】；
【解析】中，由已知得，，所以，
由正弦定理得
所以与之间的距离为；
中，，由余弦定理，得
所以灯塔与处之间的距离为.
四、解答题
15．（2016·福建厦门·一模）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D三地位于同一水平面上，这种仪器在B地进行弹射实验，两地相距，，在C地听到弹射声音的时间比D地晚秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为．（已知声音的传播速度为），求：

（1）B，C两地间的距离；
（2）这种仪器的垂直弹射高度AB．
【答案】（1）420米；（2）米
【解析】（1）设，
∵在C地听到弹射声音的时间比D地晚秒，
∴，
在中，由余弦定理，
∴，解得，
故B，C两地间的距离为420米；
（2）在中，，
∴米，
故该仪器的垂直弹射高度为米．
16．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，．
（1）若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，由正弦定理得，
即，解得，所以，
则为等腰直角三角形，所以，
则．
在中，由余弦定理得
，
则，故A，C两点间距离为．
（2）设，则由题意可知，，．
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以，
解得，所以．
17．（22-23高一下·黑龙江七台河·月考）如图，某兴趣小组为测量河对岸直塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，，，可测的量有，，，，，，．

（1）若，，，，求塔高；
（2）用表示塔高；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）令，由题意，在直角中．
在直角中．
在中．
故，化简得，
解得，或（舍），所以塔高为．
（2）同（1）设，直角中，
在中，且由正弦定理，
所以，解得.
所以塔高为．
18．（22-23高一下·广西柳州·月考）一艘海轮从出发，沿北偏东70°的方向航行后到达海岛，然后从出发，沿北偏东10°的方向航行到达海岛.
（1）求的长;
（2）如果下次航行直接从出发到达，应沿什么方向航行多少？
【答案】（1） n mile；（2）应沿北偏东的方向航方向航行 n mile
【解析】（1）由题意知，在中， ，
，，
根据余弦定理，
得，
所以n mile．
（2）由正弦定理得，
即，
又，所以．
所以应沿北偏东的方向航方向航行 n mile即可到达C处.
19．（22-23高一下·江苏镇江·月考）南京市人民中学创建于1887年，是南京市办学历史最长的中学之一，位于南京市的珠江路南侧，中山路东侧，长江路北侧如图所示的位置.南京人民中学到长江路和中山路十字路口约330米，长江路和中山路夹角约为70.5°，现小王和小张正位于如图所示的位置分别距长江路和中山路十字路口200米，300米，并分别按如图所示的方向散步，速度均为60米/分钟
（1）起初两人直线距离多少米？（参考数据：）；
（2）t分钟后两人间直线的距离是多少？（从现位置开始计时到小张到南京市人民中学大门结束）；
（3）什么时候两人间的直线距离最短，最短距离时多少？（忽略路宽 等侯红绿灯时间）
【答案】（1）300；（2）；（3）分钟时距离最短，最短距离为米.
【解析】（1）设起初两人直线距离为，
由题意可得，
即起初两人直线距离为300米；
（2）设t分钟后两人间直线的距离是，则当时，易知小王此时仍在中山路东侧，
此时由余弦定理可知
，
当时，易知小王此时在中山路与长江路十字路口，显然两人相距米，
当时，此时小王在中山路西侧，小张仍在长江路南侧，
则由余弦定理可得
，
当时，此时小张在中山路与长江路十字路口，两人相距米，
当时，此时小张在长江路北侧，小王在中山路西侧，
则由余弦定理可知
，
又当和时，两人的直线距离也符合关系式，
故综上所示t分钟后两人间直线的距离是；
（3）由二次函数的单调性可知当分钟时，
此时.9.2 正弦定理与余弦定理的应用
课程标准 学习目标
（1）结合实例，理解测量不便到达的两点之间的距离的方案，掌握正、余弦定理在测量高度方面的应用； （2）掌握数学建模的应用，理解正、余弦定理在测量距离与角度等方面的应用。 （1）会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，理清利用解斜三角形可解决的各类应用问题及基本图形和基本等量关系； （2）能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题。
知识点01 实际测量中的有关名词、术语
1、基线
（1）定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。
（2）性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度高越高。
2、仰角与俯角：
（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
（2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
3、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）
4、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
5、坡角与坡度（坡比）：
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；
（2）坡度（坡比）：坡面的垂直高度与水平宽度的比值。
【即学即练1】（23-24高一·全国·练习）在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是，且到A的距离为2，C点的俯角为，且到A的距离为3，则B、C间的距离为（ ）
A． B． C． D．
知识点02 正弦定理和余弦定理的应用
1、测量距离与高度问题的常见类型
（1）测量距离问题：主要是指水平面上两个位置A，B不能直接到达，从而利用手中的工具，通过测量有关数据，构造三角形，应用正弦定理、余弦定理解决。例如当AB的长度不可直接测量时，AB的距离的求法分为以下三类.
两点间不可达又不可视 两点间可视但不可达 两点间都不可达
（2）测量高度问题：在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角（两个仰角或两个俯角）和一边或三角（两个方向角和仰角）和一边，如图所示．
2、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。
3、解三角形应用题的一般步骤
（1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。
【即学即练2】（23-24高一下·全国·专题练习）（多选）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案（的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c），则一定能确定A，B间距离的方案可以是（　　）
A．测量A，B，b B．测量a，b，C
C．测量A，B，a D．测量A，B，C
【题型一：测量距离问题】
例1．（23-24高一下·山东泰安·月考）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．（22-23高一下·广东东莞·月考）如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）某次军事演习中，炮台向北偏东方向发射炮弹，炮台向北偏西方向发射炮弹，两炮台均命中外的同一目标，则两炮台在东西方向上的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式1-3．（23-24高一上·江苏无锡·月考）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．
变式1-4．（23-24高一下·云南红河·月考）为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得，，，，同时测得海里.
（1）求的长度；
（2）求，之间的距离.
【方法技巧与总结】
三角形中与距离有关的问题的求解策略：
（1）解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解；
（2）解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决.
【题型二：测量高度问题】
例2．（23-24高一下·广西·开学考试）桂林日月塔又称金塔银塔 情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（ ）
A．米 B．米 C．50米 D．米
变式2-1．（23-24高一下·浙江·月考）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A． B． C． D．
变式2-2．（23-24高一下·重庆·月考）济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为，则小明同学求出泉标的高度约为 米.
（参考数据：，，）
变式2-3．（23-24高一下·陕西西安·月考）瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，瑞云塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得瑞云塔顶部M的仰角为15°，瑞云塔的高度为 .
变式2-4．（23-24高一下·山西大同·月考）如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为 ；古塔的塔高为 ．
【方法技巧与总结】
1、测量高度问题的解题策略：
（1）“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题；
（3）“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路。
2、测量高度问题需要注意3个问题
（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
【题型三：测量角度问题】
例3．（22-23高一下·湖南邵阳·月考）前卫斜塔位于辽宁省葫芦岛市绥中县，始建于辽代，又名瑞州古塔，其倾斜度（塔与地面所成的角）远超著名的意大利比萨斜塔，是名副其实的世界第一斜塔．已知前卫斜塔的塔身长，一旅游者在正午时分测得塔在地面上的投影长为，则该塔的倾斜度（塔与地面所成的角）为（ ）
A． B． C． D．
变式3-1．（22-23高一下·福建宁德·期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（ ）
A． B． C． D．
变式3-2．（22-23高一下·湖北武汉·月考）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（ ）
A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向
C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向
变式3-3．（22-23高一下·安徽·月考）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则 ．
变式3-4．（22-23高一下·广东佛山·月考）通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则 ．
【方法技巧与总结】
1、测量角度问题主要涉及光线（入射角、折射角)，海上、空中的追击与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念。解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中己知哪些量，然后解三角形即可.
2、测量角度问题需要注意3个问题
（1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；
（2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
（3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。
【题型四：综合应用问题】
例4．（22-23高二上·广西·月考）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路(长度均超过3千米)，在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米.
（1）求线段的长度；
（2）若，求两条观光线路与之和的最大值.
变式4-1．（23-24高一下·宁夏石嘴山·月考）某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）
（1）求两点之间的距离；
（2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
变式4-2．（23-24高一下·广东广州·月考）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿匀速步行，速度为，在甲出发后，乙从A乘缆车到B，在B处停留后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量得，．
（1）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（2）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
变式4-3．（23-24高一下·重庆渝中·月考）为改进城市旅游景观面貌 提高市民的生活幸福指数，城建部拟在以水源为圆心空地上，规划一个四边形形状的动植物园．如图：四边形内接于圆（注：圆的内接四边形的对角互补），为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的植物浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米．
（1）若，且，求边的长为多少千米？
（2）若线段千米，求动植物园的面积（即四边形的面积）的取值范围（单位：平方千米）.
变式4-4．（23-24高一下·上海闵行·月考）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB BC CD DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.
（1）若米，求烧烤区的面积？
（2）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？（精确到0.1米）
（3）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
一、单选题
1．（22-23高一下·贵州遵义·期末）如图所示，为测量河对岸一点与岸边一点之间的距离，已经测得岸边的，两点间的距离为，，，则，间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一下·湖北武汉·月考）如图，要计算汤逊湖岸边两建筑物B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，则两建筑物B与C的距离为（ ）
A．km B．km C．km D．km
3．（22-23高一下·江苏镇江·月考）金山寺位于江苏省镇江市润州区，始建于东晋时期，是中国佛教禅宗名寺，民间传说《白蛇传》中的金山寺即指此，与普陀寺 文殊寺 大明寺并列为中国的四大名寺，其中慈寿塔为金山标志，砖木结构，七级八面，矗立于数重楼台殿宇之上，如图：记慈寿塔塔高OT，某测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得.，，在B点处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为（ ）
A．36m B． C．45m D．
4．（23-24高一下·河北沧州·月考）某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的，两点，在点测得红豆树根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在北偏西的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．（22-23高一下·福建龙岩·期中）如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
6．（23-24高一下·吉林通化·月考）为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ）
A．北偏东， B．北偏东，
C．北偏东， D．北偏东，
7．（22-23高一下·江苏南京·月考）如图，小明欲测校内某旗杆高MN，选择地面A处和他所在教学楼四楼C处为测量观测点（其中A处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面）．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得．已知C处距地面10m，则旗杆高（ ）
A．12m B．15m C．16m D．18m
8．（23-24高一下·江苏江阴·月考）为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一下·广东广州·月考）装货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．A处与D处之间的距离是24海里 B．灯塔C与D处之间的距离是海里
C．灯塔C在D处的西偏南 D．D在灯塔B的北偏西
10．（23-24高一下·山东栖霞·月考）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ）
A．观测点位于处的北偏东方向
B．当天10：00时，该船到观测点的距离为
C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D．该船在由行驶至的这内行驶了
11．（22-23高一下·河北石家庄·月考）石家庄电视塔是石家庄的地标性建筑，吸引众多游客来此拍照，如图所示，现某中学数学兴趣小组对电视塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为电视塔的最顶端，B为基座（即B在A的正下方），在世纪公园上（B在同一水平面内）选取两点，测得的长为100m．小组成员利用测角仪已测得，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出电视塔高度的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（22-23高一下·江苏·月考）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为 .
13．（22-23高一下·广东东莞·月考）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：）
14．（23-24高一下·江苏无锡·月考）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东方向上，距离为n mile；在处看灯塔在货轮的北偏西方向上，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东方向上，处与处之间的距离是 n mile，灯塔与处之间的距离是 n mile．
四、解答题
15．（2016·福建厦门·一模）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D三地位于同一水平面上，这种仪器在B地进行弹射实验，两地相距，，在C地听到弹射声音的时间比D地晚秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为．（已知声音的传播速度为），求：
（1）B，C两地间的距离；
（2）这种仪器的垂直弹射高度AB．
16．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，．
（1）若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离；
（2）求的值．
17．（22-23高一下·黑龙江七台河·月考）如图，某兴趣小组为测量河对岸直塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，，，可测的量有，，，，，，．

（1）若，，，，求塔高；
（2）用表示塔高；
18．（22-23高一下·广西柳州·月考）一艘海轮从出发，沿北偏东70°的方向航行后到达海岛，然后从出发，沿北偏东10°的方向航行到达海岛.
（1）求的长;
（2）如果下次航行直接从出发到达，应沿什么方向航行多少？
19．（22-23高一下·江苏镇江·月考）南京市人民中学创建于1887年，是南京市办学历史最长的中学之一，位于南京市的珠江路南侧，中山路东侧，长江路北侧如图所示的位置.南京人民中学到长江路和中山路十字路口约330米，长江路和中山路夹角约为70.5°，现小王和小张正位于如图所示的位置分别距长江路和中山路十字路口200米，300米，并分别按如图所示的方向散步，速度均为60米/分钟
（1）起初两人直线距离多少米？（参考数据：）；
（2）t分钟后两人间直线的距离是多少？（从现位置开始计时到小张到南京市人民中学大门结束）；
（3）什么时候两人间的直线距离最短，最短距离时多少？（忽略路宽 等侯红绿灯时间）

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