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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
6.1 与线段有关的问题
在整个初中数学知识体系中，二次函数线段问题是重中之重，也是考查的热点。但在传统教学中，学生针对这一部分知识学习依然停留在浅层阶段中，无法触摸知识的内核本质，学生只能解决简单的问题，一旦遇到较复杂的问题就无从下手。鉴于此，本专题就二次函数中的各类线段问题（线段数量关系、线段最值等）作专题讲解，引导学生完成知识的深度学习，才能真正提升学生的解题效率。
考向1.线段数量关系
1）线段长度的表示：
(1)当线段为竖直线时，线段的长度为线段上端点与下端点纵坐标的差；
(2)当线段为水平线时，线段的长度为线段右端点与左端点横坐标的差；
(3)当线段为斜线段时，利用两点间距离公式表示线段长，AB＝。
2）求解线段数量关系问题：
（1）两条线段在同一条直线上：
①线段与坐标轴平行：先表示出两条线段的长，再根据线段数量关系列方程求解；
②斜线段：先表示出两条线段的长，再根据线段数量关系列方程求解；或先以两条线段为斜边构造两边与坐标轴平行的三角形，再利用锐角三角函数或相似将线段数量关系进行转化；
（2）两条线段不在同一条直线上：
①若两条线段的长可直接表示，则表示出两条线段的长，再利用线段数量关系列方程求解；
②若两条线段的长无法直接表示，则可通过找相似或等角，利用相似或锐角三角函数将其转化为可直接表示的两条线段的数量关系，再求解。
考向2.利用二次函数性质求线段最值
1．竖直线的最值问题：设出点坐标，表示出线段的长，利用二次函数性质求解．
2．斜线段的最值问题：看到斜线段，首先想到构造三角形将斜线段转化为竖直线段求解．如过线段的端点作平行于y轴的线段构造三角形，具体方法如下：
（1）可通过构造的三角形与某三角形相似，将斜线段转化为竖直线段；
（2）利用平行线性质将所构造三角形中的角进行转化，利用锐角三角函数将斜线段转化为竖直线段；
（3）若构造后的三角形含特殊角，则直接利用直角三角形的边角关系将斜线段转化为竖直线段．
3．求线段比值最值问题：找出含有比值线段的两个相似三角形，利用相似的性质将线段比值进行转化，再利用二次函数性质求解。
考向一　单线段长度相关问题
例1．（2023九年级·广东·联考）已知二次函数与轴交于点，点（其中点在点的左侧），记二次函数的最低点为点，过点，点作二次函数的两条切线（即直线与二次函数有且仅有一个交点）交于点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，可得，，由，得该函数图像的最低点为，设函数图像过点的切线为，可求得，由，根据一元二次方程有两个相等的实数根则根的判别式的值为，列方程得，求得，则，用同样的方法可得过点的切线为，再解由两条切线解析式所构成的方程组即可得到，则可得到问题的答案．
【详解】解：∵二次函数与轴交于点，点（其中点在点的左侧），
当时，，解得：，，∴，，
∵，∴，设过点的切线：，
∴，得：，过点的切线为，
∴，∴，
由切线的定义可知：直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴，解得：，∴过点的切线：，
设过点的切线：，∴，得：，
过点的切线为，∴，∴，
由切线的定义可知：直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴，解得：，∴过点的切线：，
∵过点，点作二次函数的两条切线交于点，∴，解得：，
∴，∴，∴线段的长度为．故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，用待定系数法求函数的关系式，一元二次方程根的判别式等知识，根据一元二次方程有两个相等的实数根列方程求出点的坐标是解题的关键．
例2．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长的最小值是（ ）

A．8 B．10 C． D．
【答案】D
【分析】先求解点A、B、C坐标，根据题意得，推出当的长最小时，的长最小，根据垂线段最短，当时，的长最小，利用锐角三角函数求解即可求解．
【详解】解：对于，当时，，则，
当时，由得，，∴，，
∵过点P作⊙B的切线，切点是Q，∴，即，
∴，∴当的长最小时，的长最小，
根据垂线段最短，当时，的长最小，切点为，如图，

∵，，，∴，，
∴，则，∴的最小值为，故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标系的交点问题、圆的切线性质、勾股定理、垂线段最短、解直角三角形等知识，熟练掌握圆的切线性质，得到取得最小值时点P的位置是解答的关键.
例3．（2023年江苏连云港市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．
(1)当时，求点的坐标；(2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．
　　
【答案】(1)(2)或(3)，见解析
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标，根据对称性，即可求解．
（2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，，则抛物线．进而得出可得，①当时，如图1，过作轴，垂足为．求得，代入解析式得出，求得．②当时，如图2，过作，交的延长线于点．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③当时，此情况不存在．（3）由（2）知，当时，，此时的面积为1，不合题意舍去．当时，，此时的面积为3，符合题意．由题意可求得．取的中点，在中可求得．在中可求得．易知当三点共线时，取最小值，最小值为．
【详解】（1）∵，∴抛物线的顶点坐标．
∵，点和点关于直线对称．∴．
（2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，
∴，抛物线．∴当时，可得．
①当时，如图1，过作轴，垂足为．
∵，∴．∵∴．∴．
∵，∴．∵直线轴，∴．
∴．∵，∴．∴．
又∵点在图像上，∴．解得或．
∵当时，可得，此时重合，舍去．当时，符合题意．
将代入，得．
　　 　　
②当时，如图2，过作，交的延长线于点．同理可得．
∵，∴．
∵，∴．∴．
又∵点在图像上，∴．解得或．
∵，∴．此时符合题意．
将代入，得．
③当时，此情况不存在．
综上，所对应的函数表达式为或．
（3）如图3，由（2）知，当时，，此时
则，，则的面积为1，不合题意舍去．
当时，，则，
∴，此时的面积为3，符合题意∴．
依题意，四边形是正方形，∴．
取的中点，在中可求得．
在中可求得．
∴当三点共线时，取最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键．
考向二　线段的数量关系问题
例1．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（b，c为常数）的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，若点P在第四象限，过点P作于点H，当的长度最大时，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在第三象限，直线和分别交y轴于E，F两点，求证：．
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
【分析】（1）根据点和，利用待定系数法求解即可得；
（2）连接，过点作轴的垂线，交于点，先求出直线的解析式为，再确定出要使的长度最大，则只要最大，然后设点的坐标为，则，利用二次函数的性质求解即可得；
（3）过点作轴于点，设点的坐标为，则，再证出，，根据相似三角形的性质可得的长，由此即可得证．
【详解】（1）解：将点，代入得：，
解得，则二次函数的表达式为．
（2）解：如图，连接，过点作轴的垂线，交于点，
对于二次函数，当时，，解得或，，
，，设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，则直线的解析式为，
，∴要使的长度最大，则只要最大，
设点的坐标为，则，，
，
由二次函数的性质，在内，当时，取最大值，最大值为，
，则点的坐标为．
（3）证明：如图，过点作轴于点，
设点的坐标为，则，，
，，，，，，
∵轴，轴，，，，
，，即，，
解得，，，，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、相似三角形的判定与性质、求二次函数的解析式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
例2．（2023年山东省济宁市中考数学真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？(3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)(2)(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；（3）分3种情况求解：当时；当时；当时；根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，∴，
当四边形是平行四边形时，，∴，
∴，，设直线的解析式为，
把代入可得，解得，∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下．由题意，，∴，．
当时，点P在x轴的上方，∵，∴点E为线段的中点，
∴，，∴，
代入整理得，，解得（不合题意，舍去），．
当时，点P在x轴上，此时点E与点M重合，所以此种情况不存在；
当时，点P在x轴的下方，点E在射线上，如图，设线段的中点为R，

∴，，∴．
∵，∴M为的中点，∴，，∴，
代入整理得，，解得（不合题意，舍去），．
综上可知，存在或，使．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键．
例3．（23-24九年级·广东·校考期中）已知抛物线与直线交于两点，其中位于抛物线对称轴的两侧．(1)若．求的值．(2)设直线与直线交于点，过、、分别向轴作垂线，垂足分别为、、．若（为坐标原点），求．

【答案】(1)(2)
【分析】本题考查二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，联立函数解析式，建立方程，得，是解决问题的关键．（1）联立，整理可得：，可得，，根据位于抛物线对称轴的两侧，可知，由，可得，求解即可；（2）由（1）可知，，，，联立，可得，由，得，即，代入，得值即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于两点，
联立，整理可得：，∴，，
对于，当时，，∵位于抛物线对称轴的两侧，
∴直线上的点在抛物线顶点的上方，∴，
∵，即：，∴，即：，
解得：，（不符合题意，舍去），∴；
（2）由（1）可知，，，，则交点、均在第一象限，∴，
联立，解得：，即：，由题意可知：，，
∵，∴，即：．
例4．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)(2)或或(3)，理由见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；（3）设，直线的解析式为，的解析式，求得解析式，然后求得，即可求解．
【详解】（1）解：将点，，代入
得解得：，∴抛物线解析式为；
（2）∵点，，∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，∴，
∵，∴，∴，
设，则，∴，
∵点在抛物线上∴
解得：（舍去）或,∴，
如图所示，设与交于点，过点作于点
∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，∴，
∵，∴，∴，
设，则，∴，
∵点在抛物线上∴
解得：（舍去）或，∴，
当点与点重合时，如图所示，

∵，是等腰直角三角形，且，∴此时，
综上所述，或或；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点，，，∴，解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴∴为定值．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考向三　线段比值、乘积相关问题
例1．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式和的值．(2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．

【答案】(1)，(2)不存在，理由见解析(3)
【分析】（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值；
（2）不存在．设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断；
（3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，∴，解得：，∴二次函数的解析式为，
当时，得：，解得：，，∴，
∴二次函数的解析式为，；
（2）不存在．理由如下：如图，设，
∵，，，∴，，，
∵点在二次函数位于轴上方的图像上，且，
∴，整理得：，
∵，∴方程无实数根，∴不存在符合条件的点；

（3）如图，设交轴于点，∵，，∴，
∵点与点关于原点对称，∴，
∵，∴，∴，
∵为圆的直径，∴，∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，
①当点与点不重合时，∴，，∴四边形是平行四边形，
∴，，∴，，∴，
在和中，∵，，∴，
∵，∴，又∵，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
②当点与点重合时，此时点与点重合，∴，，
∴，综上所述，的值为．
【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键．
例2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．P是线段上的动点（点P不与点B，C重合），连接并延长交抛物线于另一点Q，连接，设点Q的横坐标为x．(1)求证：是直角三角形．(2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式．(3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)(3)存在，
【分析】（1）分别求出二次函数与坐标轴的交点坐标，由两点之间的距离公式即可求出的长度，再运用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形；（2）连接，设点Q的坐标为，根据三角形面积公式即可得出答案；（3）过点Q作于点H，则，根据相似三角形的性质得出，再结合得出，利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）由图可知，A、B点是二次函数与x轴的交点
∴解得：∴，
∵C点是二次函数与y轴的交点，∴当时，∴，
∴，，
∴，∴是直角三角形．
（2）连接，如图所示，设点Q的坐标为，
；
（3）存在；过点Q作于点H，如图所示，
∵由（1）可知，是直角三角形，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴
∴当时，最大，最大为．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活掌握以上性质解决问题是本题的关键．
例3．（2023年四川省南充市中考数学真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)(2)或或(3)定值，理由见详解
【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；（3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，解得，故抛物线的解析式为．
（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，，，解得：，，；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，四边形是平行四边形，，
在和中，，()，
，，，解得：，，；
如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；综上所述：的坐标为或或．
（3）解：是定值，理由：如图，直线经过，可设直线的解析式为，
、在抛物线上，可设，，
，整理得：，，，
，当时，，，
设直线的解析式为，则有，解得，
直线的解析式为，
当时，，解得：，，
，同理可求：，
；
当与对调位置后，同理可求；故的定值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键．
考向四　线段（周长）相关最值问题
例1．（2023九年级·广东·专题练习）如图：二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最大时，则点P的坐标为 ；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小时，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】（1）设点关于直线的对称点为，直线与对称轴的交点即为点，此时最大，先根据二次函数求出点，坐标，进而求出直线的解析式，最后令代入直线的解析式求解即可；（2）连接，，过点作于点，对称轴交轴于点，连接，过点作于点，设交于点，由题意可得，从而得出，通过勾股定理和三角函数得，从而得到，当点与点重合时，值最小，求出此时点坐标即可．
【详解】解：（1）∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点，
令，，解得或，∴，，
令，得到，∴，设点关于直线的对称点为，则，
直线与对称轴的交点即为点，此时最大
设直线的解析式为，则，∴，
∴直线的解析式为，当时，，∴，故答案为：；
（2）如图，连接，，过点作于点，对称轴交轴于点，连接，过点作于点，交于点，∵，，，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，∴,
∴，∴，
∴，
∴当点与点重合时，的值最小，此时，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，动点线段问题，利用数形结合，正确建立辅助线是解题的关键
例2．（2023年山东省烟台市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为
(2)存在，点M的坐标为或 或(3)
【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，∴，
将代入直线，得，解得，
∴直线的解析式为；将代入，得
，解得，∴抛物线的解析式为；
（2）存在点，∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，∴，
①当时，设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
解方程组，得或，∴点M的坐标为；
②当时，设直线的解析式为，将代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
解方程组，解得或，∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
（3）如图，在上取点，使，连接，∵，∴，∵，、∴，

又∵，∴，∴，即，∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，∴，∴最小值．
【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
例3．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；②时，的最小值为2，求的值；③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围．

【答案】(1)①抛物线的解析式为，顶点的坐标为；②的值为或1；③取得最大值(2)的取值范围为或
【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；②分三种情况：当，即时，随增大而减小，当时，则若时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可；③把代入，可得，设点，可得，进而，利用二次函数的性质即可求得答案；（2）利用配方法可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，可得，，分两种情况：当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，则，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，同理可求得答案．
【详解】（1）∵抛物线经过原点，∴，解得：或，∵，∴，
①抛物线的解析式为，
∵，∴顶点的坐标为；
②当，即时，随增大而减小，由题意得：，解得：，（舍去），∴的值为，
当时，则若时，的最小值为，不符合题意，
当时，随增大而增大，由题意得：，解得：（舍去），，∴的值为1，
综上所述，的值为或1；
③由题意得：当时，则，
∵经过点，∴，可得，∴，
由，可得，，设点，且，
∵轴，∴，可得：，则，
∴，
∵，，∴当时，取得最大值；
（2）∵，∴，
∵直线：经过点、，∴，解得：，
∴直线的解析式为，令，得，∴，
联立方程得：，解得：，，
当时，，∴，
当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图，
则，，

∵，∴，即，∴，化简得：，
令，解得：（舍去），，∴，
∵，∴，∴；
当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，如图，
则，，∵，∴，即，∴，化简得：，
令，解得：，（舍去），∴，
∵，∴，∴；综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，一次函数图象与抛物线的交点等，涉及知识点多，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键．
一、选择题
1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）定义：若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数. 函数（c为常数，）的图像与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N. 若，求b的值（ ）
A． B．或1 C．3或 D．3
【答案】B
【分析】先求出函数与x轴交于，与y轴交于点，再将代入中得出，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，得到，结合得出，代入即可得到答案．
【详解】解：在函数中，当时，，当时，，解得：，
函数与x轴交于，与y轴交于点，
其轴点函数经过点，
，；，即，
其轴点函数与x轴的另一交点为，
，即，，，
，，，
当时，，当时，或1，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与坐标轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系等知识点，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键．
2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点 M 的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点 P，使得的周长最小，则点 P 的坐标为（ ）

A．(0 ，2） B．( ，0） C．(0 ，2）或( ，0） D．以上都不正确
【答案】A
【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可；
【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点，
∴，解得，∴该抛物线的解析式为，，
的周长，且是定值，所以只需最小．
如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．

设直线的解析式为：，
由点和点可得：，解得，
故该直线的解析式为，当时，，即，
∵，，，∴
此时三角形的周长；
同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，设直线的解析式为：，
由点和点可得：，解得，
故该直线的解析式为，当时，，即，
∵，，，∴，
此时三角形的周长；∵，，∴
∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是．故选： A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，不要漏解，这是同学们容易忽略的地方．
3．（2023·湖北荆门·模拟预测）设为坐标原点，点、为抛物线上的两个动点，且．连接点、，过作于点，则点到轴距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】分别作、垂直于轴于点、，设，则，，作于，交轴于点，连接交轴于点，设点，可证明，则．再证明，可得，则，说明直线过定点，点坐标为，点是在以为直径的圆上运动，当点到轴距离为时，点到轴的距离最大．
【详解】解：如图，分别作、垂直于轴于点、，
设，，由抛物线解析式为，则，，
作于，交轴于点，连接交轴于点，
设点，，，，即，化简得：．
，，又，，
又，，，即，化简得，
则，说明直线过定点，点坐标为，
，，点是在以为直径的圆上运动，
当点到轴距离为时，点到轴的距离最大，故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，确定点的轨迹是解题的关键．
4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接，交于，连接，，求解抛物线的顶点坐标为：，即，再求解，，可得，证明，可得在以为圆心，半径为1的半圆周上运动，则当，，三点共线时，最短，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，交于，连接，，
∵，∴抛物线的顶点坐标为：，即，
∵当时，解得：，，∴，，
∴，∴为的中点，而为的中点，∴，
∴在以为圆心，半径为1的半圆周上运动，当，，三点共线时，最短，
此时，∴的最小值为：，故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的顶点坐标，与x轴的交点坐标，三角形的中位线的性质，圆的基本性质，确定在以为圆心，半径为1的半圆周上运动是解本题的关键．
5．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，点 为线段 上一动点，点 的坐标为 ，连接 ，以 为底边向右侧作等腰直角 ，若点 恰好在抛物线上，则 长为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
【分析】过点C作轴，垂足为E，过点D作，交延长线于点F，设点，然后证明≌，则，，即可求出点C的坐标，再求出点B的坐标，从而求出的长度．
【详解】解：根据题意，∵，
令，则，，∴点A的坐标为：，
过点C作轴，垂足为E，过点D作，交延长线于点F，设点，如图：∵是等腰直角三角形，∴，，
∵轴，∴，∴，
∴，∴≌，∴，，
∵，，∴，
∴，解得：，；
∵，∴，∴点C的坐标为，∴，
∴点B的横坐标为，∴的长度为；故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
二、填空题
6．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．

（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ；（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ．
【答案】 6
【分析】（1）设点E的坐标为：，则抛物线的表达式为：，则点C的坐标为：，点，再用待定系数法即可求解；（2）确定直线的表达式为：，求出，，进而求解．
【详解】解：（1）以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：

设点E的坐标为：，则抛物线的表达式为：，
则点C的坐标为：，点，将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，即抛物线的表达式为：①，
，故答案为：；
（2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为，设直线的解析式为，
将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：②，
联立①②并整理得：，则，，
则，则，
由的表达式知，其和x轴的夹角为，则，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
7．（22-23九年级上·浙江·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点D是抛物线上的一个点，作交抛物线于D、E两点，以线段为对角线作菱形，点P在x轴上，若时，则菱形对角线的长为 ．
【答案】或
【分析】设菱形对角线的交点为M，则，，设点D的横坐标为t，由此表示出的长，的长，进而可得的长，根据建立方程，求解即可．
【详解】解：如图，由抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，
设菱形对角线的交点为M，则，，
∵点D是抛物线上的一个点，且，设点D的横坐标为t，∴，
∵，∴点D，点E关于对称轴对称，∴点P和点Q在对称轴上，
∴，∴，∴，
∵，∴，解得， (舍去)，，(舍去)，∴或．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质由点D的坐标表示出的长是解题关键．
8．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）已知点在抛物线上，过点P的直线与抛物线交y轴右侧于点N，过点N的直线与抛物线交y轴左侧于点M，直线，与y轴的正半轴分别交于点C，D，且，则点M的坐标是 ．
【答案】
【分析】方法一：先求出抛物线的解析式为．设，，直线的解析式为，，将P点坐标代入求得直线的解析式为，联立，得，由根与系数关系求得，进而得．设直线的解析式为，联立，得，由根与系数关系可求得．
方法二：先求出抛物线的解析式为．设点和点，设直线的解析式为，则可得的解析式为，设直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，由
，即可求得m的值，进而可得．
【详解】方法一：把代入，得，故，根据题意，作图，
设，，过点C的直线的解析式为，则依题意得，故，
故直线的解析式为，联立得：，得①，
设，是P，N两点的横坐标，故，是方程①的两根，
由根与系数关系得：，把代入，可求得，故，
设过点直线的解析式为，把代入得，故，
∴直线的解析式为，联立：，得②，
设，是M，N两点的横坐标，故，是方程②的两根，由根与系数关系得：，
把代入求得，把代入得，故；
方法二：同法一可求得抛物线，
设点和点，设直线的解析式为，
则把M，N的坐标分别代入可得，解得，
∴直线的解析式为，故直线与y轴交点D的坐标为，
∴，设直线的解析式为，
同理，把M，N的坐标分别代入，可得直线的解析式为，
∴直线与y轴交点C的坐标为，∴，
∵，∴，故，把代入，得，故；故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数综合题，二次函数与一次函数交点问题，解题的关键是将二次函数与一次函数联立转化成解一元二次方程，明确一元二次方程的两根就是二次函数与一次函数两交点横坐标．
9．（2023·江苏盐城·三模）已知，如图点在直线上运动，点在抛物线上运动，以为底边构造底角为的等腰三角形（、、按顺时针顺序排列），则的最小值为 ．

【答案】
【分析】根据题意，当点运动到直线上时，取得最小值，此时，进而求得点的坐标，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：∵直线，当时，，当时，，
设直线交，轴于点，则，，则，
∴直线与轴的夹角为，
∵点在直线上运动，点的轨迹也是直线，当运动到上时，取得最小值，
∴轴时，，如图所示，
∵抛物线的顶点坐标为，∴的纵坐标为，
，解得：，则∴，故答案为：．

【点睛】本题考查了解直角三角形，二次函数的性质，勾股定理，得出点的运动轨迹是解题的关键．
10．（2023·吉林·一模）如图，抛物线与轴交于点，顶点为（点在轴上方），抛物线的对称轴交轴于点，交于点，．直线与抛物线的另一个交点为．当时，的值是 ．
【答案】
【分析】根据，设点A(2m，3m)，点B(2n，3n)，在利用△ADB∽△OCB，得出m、n之间的关系，最后将A、B两点代入抛物线解析式，求值即可．
【详解】∵∴设点A(2m，3m)，点B(2n，3n)
∵抛物线与轴交于点∴C(0，c)
∵DE⊥x轴，∴DE∥y轴∴∠ADB=∠OCB
∵∠ABD=∠OBC∴△ADB∽△OCB∴，即点D是BC的中点
∴点D的横坐标为：∴n=2m，B(4m，6m)∵点A在抛物线的对称轴上，∴
则可联立方程组解得：(舍)，或故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的综合，解题关键是利用△ADB∽△OCB，推导求出点D的坐标．
11．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，二次函数与轴交于两点，与轴交于，点在以为圆心2为半径的圆上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】二次函数及圆的综合题，涉及勾股定理，相似三角形的判定和性质，动点最值问题-阿氏圆模型，在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点、、三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可，掌握动点最值问题-阿氏圆模型的解法是解题的关键．
【详解】解：在上取点，使，连接，如图所示：
，，，，
又，，，即，，
当点、、三点共线时，的值最小，即为线段的长，
，，，
的最小值为，故答案为：．
12．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A、B（点A在点右侧），交轴于点，点为抛物线上第四象限的动点，连接交于点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】连接、、，根据面积可得，可求得，，，为定值，可得当达到最大值时，取得最大值，过点D作轴于点F，交于点E，可证得，，再由面积可求得，利用待定系数可求得直线的解析式为，设点，可求得，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值为2，此时，为最大值，即可求得其结果．
【详解】解：如图：连接、、，
，．
在中，令，则，解得，，
，，令，则，，
，，，为定值，
∴当达到最大值时，取得最大值．
过点D作轴于点F，交于点E，如图所示，
，，
．
设直线的解析式为，
得解得直线的解析式为，设点，
∴当时，有最大值，最大值为2，
此时，为最大值，，为最大值．故答案为：．
【点睛】本题考查了求二次函数与坐标轴的交点问题，求一次函数的解析式，不规则图形面积的求法，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，利用面积求值是解决本题的关键．
13．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】先求得，，设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，则，，由勾股定理，得，从而得，当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大，然后求出点，，从而求得，即可由求解．
【详解】解：∵线段，且轴，∴设点，则，
把点，代入，得
，解得，∴，，
设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，如图，
∴，，由勾股定理，得，∴，
∵Q是的中点，∴当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，
∴当经过圆心K时，此时最大，∵，，∴的中点，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴将AB下方的部分沿直线AB向上翻折，翻折后抛物线的顶点坐标为，
∴翻折后抛物线的解析式为，令，则，∴，
∴，∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的几何变换，点的坐标，勾股定理，垂径定理，本题属抛物线与几何图形综合题目，解题关键是得出当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大．
三、解答题
14．（23-24九年级上·浙江台州·期末）阅读材料：已知：如图，、、、是抛物线上的四个点，其横坐标依次记为、、、，连接，，且．
求证：．
证明：设直线的解析式为，直线的解析式为，由得，则；同理，所以．
应用知识：(1)由阅读材料可知：当时，有，所以．那么线段，中点的连线和轴的位置关系为______；
(2)如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，过点作直线的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．
①过点作轴，交于点．求证：；②若，求的值．
【答案】(1)平行；(2)①见解析；②
【分析】（1）套用题目材料中给的结论可得中点和中点的横坐标相等，即可得到、中点连线与轴的位置关系；（2）①先证明四边形和四边形为平行四边形，再根据平行四边形对边相等的性质即可证明；②利用①的结论得到，由平行判断成比例的线段可得，利用、关于抛物线的对称轴对称求出、两点坐标，再择其一代入抛物线解析式即可求得．
【详解】（1）解：设中点为，横坐标为，中点为，横坐标为，连接，
由材料可得，即，的横坐标相等，且都在上，
、中点的连线轴．故答案为：平行．
（2）解：①取的中点为，的中点为，连接，
由（1）得：轴，又且，
四边形和四边形均为平行四边形，，，
，，，，即．
②由①得，，，，
轴，，设，，抛物线的对称轴为，
抛物线解析式为，对称轴为，，，
将代入可得，，解得．
【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质证明、二次函数的图象与性质、利用平行四边形的性质证明、由平行判断成比例的线段，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质及善于运用题目中的结论．
15．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；(3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值．

【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答；
（2）过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答；
（3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直线的解析式为：，得，令，解得，分别表示出和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，∴，
∵对称轴为，∴，，∴抛物线的解析式为；
（2）如图，过作x轴的垂线，垂足为H，

令，解得：，∴，，
∴，由翻折可得，∵对称轴为，∴，
∵，∴，
∴，在中，，∴；
（3）设所在直线的解析式为，
把B、C坐标代入得：，解得，∴，
∵，∴，∵，∴直线与x轴所成夹角为，
设，设所在直线的解析式为：，
把点P代入得，∴，令，则，
解得，∴
∴
∵点P在直线上方，∴，∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键．
16．（2023年四川省绵阳市中考数学真题）如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1．
(1)求抛物线的解析式；(2)证明：圆C与x轴相切；(3)过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为F，求的值．

【答案】(1)；(2)见解析；(3)．
【分析】〔1〕可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点，可求得抛物线的解析式；
〔2〕联立直线和抛物线解析式可求得、两点的坐标，那么可求得C点坐标和线段的长，可求得圆的半径，可证得结论；
〔3〕过点C作于点H，连接，可求得，利用〔2〕中所求B、D的坐标可求得，那么可求得和的长，可求得其比值．
【详解】（1）解：抛物线的图象的顶点坐标是，
可设抛物线解析式为，抛物线经过点，，解得，
抛物线解析式为；
（2）解：联立直线和抛物线解析式可得，解得或，
，，为的中点，点的纵坐标为，
，圆的半径为，
点到轴的距离等于圆的半径，圆与轴相切；
（3）解：如图，过点作，垂足为H，连接，

由〔2〕可知，，在中，由勾股定理可求得，
，，
，．
【点睛】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、切线的判定和性质、勾股定理等知识．在〔1〕中注意利用抛物线的顶点式，在〔2〕中求得B、D的坐标是解题的关键，在〔3〕中求得、的长是解题的关键．此题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．
17．（2023·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点，连接，当线段时，求点的坐标；(3)以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值．
【答案】(1)，顶点坐标为(2)点M的坐标为(3)的最小值为
【分析】（1）由，解得，然后代入解析式求解；（2）当线段时，则点C在的中垂线上，即时，即可求解；（3）先证明，然后利用当B、P、G三点共线时，最小，最小值为即可求解．
【详解】（1）∵对称轴是直线，故，解得，
故抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点为；
（2）对于，令，解得或，令，则，
故点A、B、C的坐标分别为，
设直线的表达式为，则，解得，故直线的表达式，
设点M的坐标为，则点D的坐标为，
当线段时，则点C在的中垂线上，即，
即，解得（舍去）或2，故点M的坐标为；
（3）在上取点G，使，即，则，则点，
∵，，∴，∴，故，
则，
故当B、P、G三点共线时，最小，最小值为，
则的最小值．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来以及利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．.
18．（2023·浙江金华·三模）如图，一次函数与坐标轴交于，两点，以为顶点的抛物线过点，过点作轴的垂线交该抛物线另一点于点，以，为边构造，延长交抛物线于点．

(1)若，如图．①求该抛物线的表达式．②求点的坐标．
(2)如图2，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)①抛物线的解析式为；②(2)是，
【分析】（1）①将的值代入一次函数解析式，可求出点的坐标，利用待定系数法可得出结论；②由抛物线的对称性可得点的坐标，根据平行四边形的性质可求出点的坐标，进而求出直线的表达式，联立直线和抛物线的解析式即可得出结论；（2）根据待定系数法可求出点的坐标，从而可得抛物线的解析式为：；由抛物线的对称性可得，由平行四边形的性质可知，进而求出直线的表达式，联立求出点的坐标，进而求出的长度，求出比值即可得出结论．
【详解】（1）解：①当时，一次函数为，
令，则；令，则，，，
设抛物线的表达式为：，将代入可得，，解得；
抛物线的解析式为：；
②由抛物线的对称性可得，，由平行四边形的性质可知，，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式可得：，解得：，直线的解析式为：，
令，解得舍或，；
（2）解：是定值，理由如下：对于，
令，则；令，则，，，
设抛物线的表达式为：，，
将代入可得，，解得；
抛物线的解析式为：；由抛物线的对称性可得，，
由平行四边形的性质可知，，设直线的解析式为：，
将，代入解析式可得：，解得：，
直线的解析式为：，令，解得舍或，；
，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，抛物线的对称性，二次函数图象与一次函数图象交点问题等相关知识点，表达出点的坐标是解此题的关键．
19．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，当线段长度是线段长度的倍时，求点的横坐标；
(3)如图，当点运动到抛物线顶点时，点是轴上的动点，连接，过点作直线，连接并延长交直线于点，当时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设，则，，则，由列出等式，即可求解；（3）设，过点作轴交于点，通过证明，求出，再求直线的解析式，进而求解．
【详解】（1）将点，点代入，
，解得：，抛物线的解析式为；
（2）点，点，设直线的解析式为，
，解得，直线的解析式为，
设，则，，，
，，解得： ；
（3）由抛物线的表达式知，，轴，，设，
如图：过点作轴交于点，

，，，，
，，，，，
设直线的解析式为，，解得，
直线的解析式为，将点代入，，解得：，
或
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（2023年天津市中考数学真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．(1)若．①求点和点的坐标；②当时，求点的坐标；(2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．
【答案】(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为(2)
【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标；②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解；（2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为．
∵，∴点的坐标为．
当时，．解得．又点在点的左侧，∴点的坐标为．
②过点作轴于点，与直线相交于点．

∵点，点，∴．可得中，．∴中，．
∵抛物线上的点的横坐标为，其中，
∴设点，点．得．即点．
∴．中，可得．
∴．又，得．即．解得(舍)．
∴点的坐标为．
（2）∵点在抛物线上，其中，∴．得．
∴抛物线的解析式为．得点，其中．
∵，
∴顶点的坐标为，对称轴为直线．
过点作于点，则，点．
由，得．于是．∴．
即．解得(舍)．
同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，
则点，点，点．
∵，∴．
即．解得(舍)．∴点的坐标为．

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
6.1 与线段有关的问题
在整个初中数学知识体系中，二次函数线段问题是重中之重，也是考查的热点。但在传统教学中，学生针对这一部分知识学习依然停留在浅层阶段中，无法触摸知识的内核本质，学生只能解决简单的问题，一旦遇到较复杂的问题就无从下手。鉴于此，本专题就二次函数中的各类线段问题（线段数量关系、线段最值等）作专题讲解，引导学生完成知识的深度学习，才能真正提升学生的解题效率。
考向1.线段数量关系
1）线段长度的表示：
(1)当线段为竖直线时，线段的长度为线段上端点与下端点纵坐标的差；
(2)当线段为水平线时，线段的长度为线段右端点与左端点横坐标的差；
(3)当线段为斜线段时，利用两点间距离公式表示线段长，AB＝。
2）求解线段数量关系问题：
（1）两条线段在同一条直线上：
①线段与坐标轴平行：先表示出两条线段的长，再根据线段数量关系列方程求解；
②斜线段：先表示出两条线段的长，再根据线段数量关系列方程求解；或先以两条线段为斜边构造两边与坐标轴平行的三角形，再利用锐角三角函数或相似将线段数量关系进行转化；
（2）两条线段不在同一条直线上：
①若两条线段的长可直接表示，则表示出两条线段的长，再利用线段数量关系列方程求解；
②若两条线段的长无法直接表示，则可通过找相似或等角，利用相似或锐角三角函数将其转化为可直接表示的两条线段的数量关系，再求解。
考向2.利用二次函数性质求线段最值
1．竖直线的最值问题：设出点坐标，表示出线段的长，利用二次函数性质求解．
2．斜线段的最值问题：看到斜线段，首先想到构造三角形将斜线段转化为竖直线段求解．如过线段的端点作平行于y轴的线段构造三角形，具体方法如下：
（1）可通过构造的三角形与某三角形相似，将斜线段转化为竖直线段；
（2）利用平行线性质将所构造三角形中的角进行转化，利用锐角三角函数将斜线段转化为竖直线段；
（3）若构造后的三角形含特殊角，则直接利用直角三角形的边角关系将斜线段转化为竖直线段．
3．求线段比值最值问题：找出含有比值线段的两个相似三角形，利用相似的性质将线段比值进行转化，再利用二次函数性质求解。
考向一　单线段长度相关问题
例1．（2023九年级·广东·联考）已知二次函数与轴交于点，点（其中点在点的左侧），记二次函数的最低点为点，过点，点作二次函数的两条切线（即直线与二次函数有且仅有一个交点）交于点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长的最小值是（ ）

A．8 B．10 C． D．
例3．（2023年江苏连云港市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．
(1)当时，求点的坐标；(2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．
　　
考向二　线段的数量关系问题
例1．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（b，c为常数）的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，若点P在第四象限，过点P作于点H，当的长度最大时，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在第三象限，直线和分别交y轴于E，F两点，求证：．
例2．（2023年山东省济宁市中考数学真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？(3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

例3．（23-24九年级·广东·校考期中）已知抛物线与直线交于两点，其中位于抛物线对称轴的两侧．(1)若．求的值．(2)设直线与直线交于点，过、、分别向轴作垂线，垂足分别为、、．若（为坐标原点），求．

例4．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

考向三　线段比值、乘积相关问题
例1．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式和的值．(2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．

例2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．P是线段上的动点（点P不与点B，C重合），连接并延长交抛物线于另一点Q，连接，设点Q的横坐标为x．(1)求证：是直角三角形．(2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式．(3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
例3．（2023年四川省南充市中考数学真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
考向四　线段（周长）相关最值问题
例1．（2023九年级·广东·专题练习）如图：二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最大时，则点P的坐标为 ；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小时，则点P的坐标为 ．
例2．（2023年山东省烟台市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

例3．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；②时，的最小值为2，求的值；③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围．

一、选择题
1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）定义：若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数. 函数（c为常数，）的图像与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N. 若，求b的值（ ）
A． B．或1 C．3或 D．3
2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点 M 的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点 P，使得的周长最小，则点 P 的坐标为（ ）

A．(0 ，2） B．( ，0） C．(0 ，2）或( ，0） D．以上都不正确
3．（2023·湖北荆门·模拟预测）设为坐标原点，点、为抛物线上的两个动点，且．连接点、，过作于点，则点到轴距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，点 为线段 上一动点，点 的坐标为 ，连接 ，以 为底边向右侧作等腰直角 ，若点 恰好在抛物线上，则 长为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
二、填空题
6．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．

（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ；（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ．
7．（22-23九年级上·浙江·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点D是抛物线上的一个点，作交抛物线于D、E两点，以线段为对角线作菱形，点P在x轴上，若时，则菱形对角线的长为 ．
8．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）已知点在抛物线上，过点P的直线与抛物线交y轴右侧于点N，过点N的直线与抛物线交y轴左侧于点M，直线，与y轴的正半轴分别交于点C，D，且，则点M的坐标是 ．
9．（2023·江苏盐城·三模）已知，如图点在直线上运动，点在抛物线上运动，以为底边构造底角为的等腰三角形（、、按顺时针顺序排列），则的最小值为 ．

10．（2023·吉林·一模）如图，抛物线与轴交于点，顶点为（点在轴上方），抛物线的对称轴交轴于点，交于点，．直线与抛物线的另一个交点为．当时，的值是 ．
11．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，二次函数与轴交于两点，与轴交于，点在以为圆心2为半径的圆上一动点，则的最小值为 ．
12．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A、B（点A在点右侧），交轴于点，点为抛物线上第四象限的动点，连接交于点，则的最大值为 ．
13．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是 ．
三、解答题
14．（23-24九年级上·浙江台州·期末）阅读材料：已知：如图，、、、是抛物线上的四个点，其横坐标依次记为、、、，连接，，且．
求证：．
证明：设直线的解析式为，直线的解析式为，由得，则；同理，所以．
应用知识：(1)由阅读材料可知：当时，有，所以．那么线段，中点的连线和轴的位置关系为______；
(2)如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，过点作直线的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．
①过点作轴，交于点．求证：；②若，求的值．
15．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；(3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值．

16．（2023年四川省绵阳市中考数学真题）如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1．
(1)求抛物线的解析式；(2)证明：圆C与x轴相切；(3)过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为F，求的值．

17．（2023·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点，连接，当线段时，求点的坐标；(3)以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值．
18．（2023·浙江金华·三模）如图，一次函数与坐标轴交于，两点，以为顶点的抛物线过点，过点作轴的垂线交该抛物线另一点于点，以，为边构造，延长交抛物线于点．(1)若，如图．①求该抛物线的表达式．②求点的坐标．(2)如图2，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

19．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点．
(1)求抛物线的解析式；(2)如图，当线段长度是线段长度的倍时，求点的横坐标；
(3)如图，当点运动到抛物线顶点时，点是轴上的动点，连接，过点作直线，连接并延长交直线于点，当时，请直接写出点的坐标．

20．（2023年天津市中考数学真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．(1)若．①求点和点的坐标；②当时，求点的坐标；(2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．
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