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四川省成都市青白江区大弯中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷
一、单项选择题：（每题4分，共32分）。各题均有4个选项，只有二项符合题目要求，每小题选出答案后，用2B铅笔把对应的答案涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
1．（2023九上·青白江期中）实数﹣23的倒数是（　　）
A．23 B．﹣23 C． D．﹣
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 实数﹣23的倒数是﹣.
故答案为：D.
【分析】根据倒数的定义即可求解.
2．（2023九上·青白江期中）国家发展改革委员会印发的《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》中提出，到2025年全国海水淡化总规模达到每日290万吨以上，新增海水淡化规模每日125万吨以上，那么数据290万用科学记数法可表示为（　　）
A．2.9×105 B．2.9×106 C．0.29×107 D．2.9×107
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：290万=2900000=2.9×.
故答案为：B.
【分析】根据科学记数的定义即可求解.
3．（2023九上·青白江期中）如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，从左至右2层，1层，1层.
故答案为：B.
【分析】根据主视图的定义：从正面看得到的图形，即可求解.
4．（2023九上·青白江期中）下列计算正确的是（　　）
A．2x3﹣x2＝x2 B．x3 x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．8x3÷2x2＝4x
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、2x3﹣x2不是同类项不能合并，A不符合题意；B、x3 x2＝x5，B不符合题意；C、（x﹣y）2＝x2-2xy+y2，C不符合题意；D、8x3÷2x2＝4x，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据整式的运算法则进行计算即可求解.
5．（2023九上·青白江期中）已知一组数据：0，6，9，7，0，﹣1，则这组数据的众数，中位数分别是（　　）
A．0、3 B．﹣1、0 C．0、6 D．0、8
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解： 把数据从小到大排序得：﹣1，0，0，6，7，9，
处在中间的是0和6，因此中位数是3，
出现次数最多的是0，因此众数为0.
故答案为：A.
【分析】根据中位数和众数的定义即可求解.
6．（2015八上·阿拉善左旗期末）如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（　　）
A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=AC，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此选项正确；
B、当DB=DC时，AD=AD，∠1=∠2，
此时两边对应相等，但不是夹角对应相等，故此选项错误；
C、∵∠ADB=∠ADC，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此选项正确；
D、∵∠B=∠C，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此选项正确．
故选：B．
【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB=AC与∠1=∠2、AD=AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的．
7．（2022七下·交口期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．求有几个人及该物品的价格．设有x人，该物品价格为y元/件，依题意得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】根据题意得：，
故答案为：B
【分析】根据题意直接列出方程组即可。
8．（2023九上·青白江期中）如图，已知线段AB，按下列步骤作图：分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交AB于点O，分别连接MA、MB、NA、NB，如果四边形MANB是正方形，需要添加的条件是（　　）
A．AO＝MO B．MA∥NB C．MA＝NB D．AB平分∠MAN
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图方法得AM=BM=AN=BN，
∴四边形AMBN为菱形，
∴OM=ON，OA=OB，
∴当OA=OM时，可得AB=MN，
∴四边形AMNB为正方形.
故答案为：A.
【分析】利用作图方法得到AM=BM=AN=BN，从而可判断四边形AMBN为菱形，得到OM=ON，OA=OB，然后当OA=OM时可得对角线相等，根据正方形的判定方法即可求解.
二、填空题：（每空4分，共20分）
9．（2021·和平模拟）因式分解：2m2﹣2=　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵2 ﹣2
=2
= ，
故答案为： ．
【分析】利用提公因式及平方差公式因式分解即可。
10．（2023九上·青白江期中）已知一次函数y＝2x+（k﹣3）的图象经过第一、三、四象限，那么k的取值范围为 　 　．
【答案】k＜3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝2x+（k﹣3）的图象经过第一、三、四象限，
∴k-3＜0，
∴k＜3.
故答案为：k＜3.
【分析】根据一次函数的图象性质可得k-3＜0，解之即可得解.
11．（2023九上·青白江期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为 　 　．
【答案】49
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： ∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，
∴，△ABC∽△DEF，
∴，
∵S△ABC＝9，
∴.
故答案为：49.
【分析】根据位似的性质得，△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.
12．（2023九上·青白江期中）已知a为一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根，则以a、a+2、4为三边边长的三角形的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由x2﹣4x+3＝0得，
x=1或x=3，
∵a为一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根，
∴a=1或a=3，
当a=1时，三角形三边长为：1，3，4，不满足三角形三边关系舍去，
当a=3时，三角形三边长为：3，5，4，
∴三角形的周长为 12.
故答案为：12.
【分析】解一元二次方程可得a=1或a=3，根据三角形三边关系可得a只能取3，最后根据三角形的周长公式进行计算即可.
13．（2023九上·青白江期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，10）．将△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点B的对应点B′在直线上，则点A与其对应点A′之间的距离为 　 　．
【答案】12
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： ∵点B的坐标为（0，10），
由平移得B'的纵坐标为10，
把y=10代入 得，x=12，
∴B'（12，10），
∴AA'=BB'=12.
故答案为：12.
【分析】根据平移的性质得B'的纵坐标与B的纵坐标相同为10，代入 解得B'（12，10），从而由平移性质得AA'=BB'=12.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（2023九上·青白江期中）
（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：原式＝3﹣4+1+2
＝2
（2）解：解不等式①得x＞2.5，
解不等式②得x≤4，
所以不等式组的解集为2.5＜x≤4．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)根据实数混合运算的法则进行计算即可求解.
（2）根据不等式组的解法进行求解即可.
15．（2023九上·青白江期中） “保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿．随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表．
社团名称 A（环保义工） B（绿植养护） C（醇素制作） D（回收材料） E（垃圾分类）
人数 4 m 16 n 4
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m＝　 　；扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于 　 　度；
（2）请补全条形统计图：若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团．
（3）请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．
【答案】（1）12；36
（2）解：由（1）知：m＝12，
n＝40﹣4﹣12﹣16﹣4＝4，
补全的条形统计图如右图所示；
2400×＝240（名），
答：估计全校约有240名学生意愿参加回收材料社团；
（3）解：树状图如下所示：
由上可得，一共有25种等可能性，其中选择环保类同一社团项目的可能性有5种，
∴选择环保类同一社团项目的概率为
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1) m=40×30%=12，
扇形统计图中D ( 回收材料)部分的百分率为：1-10%-30%-40%-10%=10%，
∴其扇形的圆心角等于：360°×10%=36°.
故答案为：12，36.
【分析】(1)根据扇形统计图中的B（绿植养护）的百分率，可以计算出m的值，然后再计算出扇形统计图中D (回收材料)部分的百分率，再乘以360°即可求出扇形的圆心角.
(2)根据(1)中m的值，然后再计算出n的值，根据这两个值可将条形统计图补充完整，然后再计算出回收材料社团占样本总体的比例，再乘以全校学生人数即可求解.
(3)根据题意，先画出树状图，根据树状图求出相应的概率即可.
16．（2023九上·青白江期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）当AB＝CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG＝CD，FG∥CD．HE＝CD，HE∥CD．
∴FG＝EH，FG∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：当AB＝CD时，EF⊥GH，
理由：由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
当AB＝CD时，EG＝EH，
∴四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据三角形的中位线定理可得 FG＝EH，FG∥EH， 从而可以证得四边形EGFH的一组对边平行且相等，即可证得.
(2)根据一组邻边相等的四边形EGFH是菱形，根据菱形性质定理即可得到结论.
17．（2023九上·青白江期中）已知一次函数y＝kx+4，一次函数图象经过点（，3）．
（1）求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象；
（2）若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△OAB的面积．
（3）当﹣2≤y＜4时，求自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：将点（，3）代入解析式y＝kx+4得，
3＝k+4，解得k＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+4，
∵一次函数图象是一条直线，且过点（0，4）（1，2）图象如下：
（2）解：令x＝0时，y＝4，
令y＝0时，x＝2，
∴A（2，0）、B（0，4），即OA＝2，OB＝4，
∴S△AOB＝＝4
（3）解：当y＝﹣2时，x＝3，
当y＝4时，x＝0，
∴当﹣2≤y＜4时，自变量x的取值范围0＜x≤3．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)根据待定系数法把 点（，3）代入解析式y＝kx+4求得一次函数的解析式，根据一次函数图象的画法即可画出图象.
（2）根据解析式求出A、B的坐标，根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积.
（3） 求出当y＝-2时，x＝3，当y＝4时，x＝0，从而可得x取值范围.
18．（2023九上·青白江期中）如图
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
（2）【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
（3）【类比迁移】如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得∠C=∠ADE=90°，再由同角的余角相等证∠AED=∠DFC，从而可得解.
(2)首先由HL证得Rt△ADE≌Rt△DCF，得DE=CF，再由SAS证△DCF≌△DCH，得∠DFC=∠H，然后由平行线的性质得∠ADF=∠DFC，从而得出结论.
(3)延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，由SAS证得△ADE≌△DCG ，得∠DGC=∠AED=60°，AE=DG，接着证明△DFG是等边三角形，得FG=DF=11，即可求解.
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2017·泰州模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=　 　．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，
∵m2+2m﹣5=0
∴m2=5﹣2m
m2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8
故答案为：8．
【分析】此题利用一元二次方程根与系数的关系，求出mn，m+n的值，由于所求代数式中含有m2，再将x=m代入方程，求出m2的值，再整体代入所求代数式，即可求得结果。
20．（2023九上·青白江期中）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a1，a2，a9…，an，根据上述规律，则第11个正方形的边长a的表达式为 　 　．
【答案】32
【知识点】正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
同理==2，
==2，
……
∴，
当n=11时，，
故答案为：32.
【分析】由正方形的性质可得，同理计算、，从而可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式.
21．（2023九上·青白江期中）定义新运算， 规定 . 方程 的解为 　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由新定义运算化为，
，
，
∴
检验：是方程的根.
故答案为： .
【分析】根据新定义运算把原方程化为，接着解方程即可求解.
22．（2023九上·青白江期中）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为 　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形AECF是菱形，
∴OA=OC，
∵折叠，
∴BC=OC=OA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，BC=，
∴∠BAC=30°，
∴BC=，
∵AB=6，
∴BC= .
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质和折叠得BC=OC=OA，从而在Rt△ABC中，BC=，得∠BAC=30°，根据含30°角的直角三角形的三边关系即可求解.
23．（2023九上·青白江期中）如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠ADC＞90°）沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠ADB，得到如图2所示的△DB′C，连接AC，BB′，∠DAB＝45°，有下列结论：①AC＝BB′；②AC⊥AB；③∠CDA＝90°；④BB′＝AB．其中正确结论的序号是　 　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②③
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAB＝45°，AD=AB，
∴，
∵旋转角α＝2∠ADB，
∴∠BDB′=α=2∠ADB=135°，
∵∠CDB′=∠ADB=67.5°，
∴∠ADC=360°-∠BDB′-∠CDB′-∠ADB=90°，
∴③正确，
∵DA=DC，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∵∠CDB′=∠DAB=45°，
∴∠ACB′=∠CAB=90°，
∴AB∥CB′，
∵AB=CB′，
∴四边形ABB′C是矩形，
∴AC＝BB′，AC⊥AB，
故①②正确，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AC=AD=AB，
故④错误，
∴正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】由旋转的性质和菱形的性质得，从而得旋转角度为α=135°，由此得到△ADC是等腰直角三角形，再由∠CDB′=∠DAB=45°，得到∠ACB′=∠CAB=90°，从而可以证明四边形ABB′C是矩形，即可求解.
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2023九上·青白江期中）某楼盘7月份的均价为10000元/m2．受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，开发商连续两次下调房价.9月份的均价为8100元/m2．
（1）求该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率；
（2）林叔叔决定等到均价低于7000元/m2时买房子，按这样的月平均下降末，林叔叔能在10月份买房子吗？
【答案】（1）解：设该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为x，
根据题意得：10000（1﹣x）2＝8100，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为10%；
（2）解：8100×（1﹣10%）＝7290（元），
∵7290＞7000，
∴按这样的月平均下降率，林叔叔不能在10月份买房子．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】(1)设该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为x，根据9月份的均价=7月份的均价×(1-7月
到9月期间均价的月平均下降率)2，可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论.
( 2 )利用10月份的均价=9月份的均价×(1-7月到9月期间均价的月平均下降率)，可求出该楼盘10月份的均价，再将其与7000元比较后，即可得出结论.
25．（2023九上·青白江期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
【答案】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC＝ab＝1．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】(1)根据勾系一元二次方程的定义，设a＝3，b＝4，c＝5即可求解.
(2)由 是"勾系一元二次方程”得a2+b2＝c2 ，因为 = 2c2﹣4ab=2（a﹣b）2≥0 ，所以关于x的"勾系一元二次方程”必有实数根.
(3)把x=-1代入方程得a- c+b=0，整理得 a+b＝c ，由四边形ACDE的周长是6，可得 2（a+b）+c＝6，解得c=2，则 a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，变形整理得 ab＝2，从而得到△ABC面积.
26．（2023九上·青白江期中）如图
（1）提出问题：
如图1，在△ABC中，BC＝5，点A为动点，且满足AC＝4，则△ABC的面积最大值为 　 　；
（2）问题探究：
如图2，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的长；
（3）解决问题：
如图3，某景区内有一块形状为直角三角形ABC的空地，点D为BC边上的中点，△ABD为珍宝馆，计划沿AD边向外扩建一个比较大的自然馆△ADE，地方又不够用，设计师借助外部地皮，想在空地外找一点E，满足 DE⊥CE，连接AE，其中∠ABC＝90°，测得AB＝300 米，BC＝800 米，问自然馆△ADE的面积是否存在最大值？若存在，请求出△ADE面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10
（2）解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠C＝∠B＝90°，
∵∠CDE＝∠BDA，
∴△DCE∽△DBA，
∴，
∵AB＝12，BD＝15，DC＝5，
∴，
∴EC＝4．
（3）解：∵点D是BC边上的中点，BC＝800米，
∴BD＝CD＝BC＝400米，
在Rt△ABD 中，AB＝300 米，BD＝400 米，
∴AD＝＝50 （米）．
取CD的中点O，连接EO，过点O作OH⊥AD，交AD的延长线于点H，过点E作EG⊥AH于G，如图1．
∵EG≤EO+OH，
∴S△ADE＝AD EG≤AD （EO+OH），
如图2，当E、O、H三点共线时，取等号，此时EG取最大值．
在Rt△DEC中，O是CD的中点，
∴OE＝OD＝DC＝×400＝200（米），
∵∠ADB＝∠ODH，∠ABD＝∠DHO＝90°，
∴△ABD∽△OHD，
∴，
即，
∴OH＝120（米），
∴S△ADE＝AD EG≤AD （EO+OH）＝×500×（200+120）＝80000（平方米）．
故△ADE的面积存在最大值，其最大值为80000平方米．
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵A为动点，且AC=4，
∴点A到BC的距离小于或等于4，
∴当A点到BC的距离最大值为4，
即△ABC的面积最大值为.
故答案为：10.
【分析】(1)根据点到直线的距离垂线段最短得到点A到BC的距离小于或等于4，所以当A点到BC的距离最大值等于4，此时△ABC的面积最大.
(2)根据两角相等证明△DCE∽△DBA，接着由相似三角形的性质得出 ， 即可求解.
(3) 在Rt△ABD 中， 根据勾股定理求出AD的长， 取CD的中点O，连接EO，过点O作OH⊥AD，交AD的延长线于点H，过点E作EG⊥AH于G， 当E、O、H三点共线时，EG取最大值，证明△ABD∽△OHD，由相似三角形的性质得出 ， 从而求出OH的长，即可求解.
1 / 1四川省成都市青白江区大弯中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷
一、单项选择题：（每题4分，共32分）。各题均有4个选项，只有二项符合题目要求，每小题选出答案后，用2B铅笔把对应的答案涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
1．（2023九上·青白江期中）实数﹣23的倒数是（　　）
A．23 B．﹣23 C． D．﹣
2．（2023九上·青白江期中）国家发展改革委员会印发的《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》中提出，到2025年全国海水淡化总规模达到每日290万吨以上，新增海水淡化规模每日125万吨以上，那么数据290万用科学记数法可表示为（　　）
A．2.9×105 B．2.9×106 C．0.29×107 D．2.9×107
3．（2023九上·青白江期中）如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023九上·青白江期中）下列计算正确的是（　　）
A．2x3﹣x2＝x2 B．x3 x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．8x3÷2x2＝4x
5．（2023九上·青白江期中）已知一组数据：0，6，9，7，0，﹣1，则这组数据的众数，中位数分别是（　　）
A．0、3 B．﹣1、0 C．0、6 D．0、8
6．（2015八上·阿拉善左旗期末）如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（　　）
A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C
7．（2022七下·交口期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．求有几个人及该物品的价格．设有x人，该物品价格为y元/件，依题意得（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023九上·青白江期中）如图，已知线段AB，按下列步骤作图：分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交AB于点O，分别连接MA、MB、NA、NB，如果四边形MANB是正方形，需要添加的条件是（　　）
A．AO＝MO B．MA∥NB C．MA＝NB D．AB平分∠MAN
二、填空题：（每空4分，共20分）
9．（2021·和平模拟）因式分解：2m2﹣2=　 　．
10．（2023九上·青白江期中）已知一次函数y＝2x+（k﹣3）的图象经过第一、三、四象限，那么k的取值范围为 　 　．
11．（2023九上·青白江期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为 　 　．
12．（2023九上·青白江期中）已知a为一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根，则以a、a+2、4为三边边长的三角形的周长为　 　．
13．（2023九上·青白江期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，10）．将△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点B的对应点B′在直线上，则点A与其对应点A′之间的距离为 　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（2023九上·青白江期中）
（1）计算：
（2）解不等式组：
15．（2023九上·青白江期中） “保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿．随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表．
社团名称 A（环保义工） B（绿植养护） C（醇素制作） D（回收材料） E（垃圾分类）
人数 4 m 16 n 4
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m＝　 　；扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于 　 　度；
（2）请补全条形统计图：若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团．
（3）请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．
16．（2023九上·青白江期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）当AB＝CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由．
17．（2023九上·青白江期中）已知一次函数y＝kx+4，一次函数图象经过点（，3）．
（1）求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象；
（2）若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△OAB的面积．
（3）当﹣2≤y＜4时，求自变量x的取值范围．
18．（2023九上·青白江期中）如图
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
（2）【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
（3）【类比迁移】如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2017·泰州模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=　 　．
20．（2023九上·青白江期中）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a1，a2，a9…，an，根据上述规律，则第11个正方形的边长a的表达式为 　 　．
21．（2023九上·青白江期中）定义新运算， 规定 . 方程 的解为 　 　．
22．（2023九上·青白江期中）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为 　 　．
23．（2023九上·青白江期中）如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠ADC＞90°）沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠ADB，得到如图2所示的△DB′C，连接AC，BB′，∠DAB＝45°，有下列结论：①AC＝BB′；②AC⊥AB；③∠CDA＝90°；④BB′＝AB．其中正确结论的序号是　 　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2023九上·青白江期中）某楼盘7月份的均价为10000元/m2．受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，开发商连续两次下调房价.9月份的均价为8100元/m2．
（1）求该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率；
（2）林叔叔决定等到均价低于7000元/m2时买房子，按这样的月平均下降末，林叔叔能在10月份买房子吗？
25．（2023九上·青白江期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
26．（2023九上·青白江期中）如图
（1）提出问题：
如图1，在△ABC中，BC＝5，点A为动点，且满足AC＝4，则△ABC的面积最大值为 　 　；
（2）问题探究：
如图2，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的长；
（3）解决问题：
如图3，某景区内有一块形状为直角三角形ABC的空地，点D为BC边上的中点，△ABD为珍宝馆，计划沿AD边向外扩建一个比较大的自然馆△ADE，地方又不够用，设计师借助外部地皮，想在空地外找一点E，满足 DE⊥CE，连接AE，其中∠ABC＝90°，测得AB＝300 米，BC＝800 米，问自然馆△ADE的面积是否存在最大值？若存在，请求出△ADE面积的最大值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 实数﹣23的倒数是﹣.
故答案为：D.
【分析】根据倒数的定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：290万=2900000=2.9×.
故答案为：B.
【分析】根据科学记数的定义即可求解.
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，从左至右2层，1层，1层.
故答案为：B.
【分析】根据主视图的定义：从正面看得到的图形，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、2x3﹣x2不是同类项不能合并，A不符合题意；B、x3 x2＝x5，B不符合题意；C、（x﹣y）2＝x2-2xy+y2，C不符合题意；D、8x3÷2x2＝4x，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据整式的运算法则进行计算即可求解.
5．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解： 把数据从小到大排序得：﹣1，0，0，6，7，9，
处在中间的是0和6，因此中位数是3，
出现次数最多的是0，因此众数为0.
故答案为：A.
【分析】根据中位数和众数的定义即可求解.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=AC，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此选项正确；
B、当DB=DC时，AD=AD，∠1=∠2，
此时两边对应相等，但不是夹角对应相等，故此选项错误；
C、∵∠ADB=∠ADC，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此选项正确；
D、∵∠B=∠C，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此选项正确．
故选：B．
【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB=AC与∠1=∠2、AD=AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的．
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】根据题意得：，
故答案为：B
【分析】根据题意直接列出方程组即可。
8．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图方法得AM=BM=AN=BN，
∴四边形AMBN为菱形，
∴OM=ON，OA=OB，
∴当OA=OM时，可得AB=MN，
∴四边形AMNB为正方形.
故答案为：A.
【分析】利用作图方法得到AM=BM=AN=BN，从而可判断四边形AMBN为菱形，得到OM=ON，OA=OB，然后当OA=OM时可得对角线相等，根据正方形的判定方法即可求解.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵2 ﹣2
=2
= ，
故答案为： ．
【分析】利用提公因式及平方差公式因式分解即可。
10．【答案】k＜3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝2x+（k﹣3）的图象经过第一、三、四象限，
∴k-3＜0，
∴k＜3.
故答案为：k＜3.
【分析】根据一次函数的图象性质可得k-3＜0，解之即可得解.
11．【答案】49
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： ∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，
∴，△ABC∽△DEF，
∴，
∵S△ABC＝9，
∴.
故答案为：49.
【分析】根据位似的性质得，△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.
12．【答案】12
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由x2﹣4x+3＝0得，
x=1或x=3，
∵a为一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根，
∴a=1或a=3，
当a=1时，三角形三边长为：1，3，4，不满足三角形三边关系舍去，
当a=3时，三角形三边长为：3，5，4，
∴三角形的周长为 12.
故答案为：12.
【分析】解一元二次方程可得a=1或a=3，根据三角形三边关系可得a只能取3，最后根据三角形的周长公式进行计算即可.
13．【答案】12
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： ∵点B的坐标为（0，10），
由平移得B'的纵坐标为10，
把y=10代入 得，x=12，
∴B'（12，10），
∴AA'=BB'=12.
故答案为：12.
【分析】根据平移的性质得B'的纵坐标与B的纵坐标相同为10，代入 解得B'（12，10），从而由平移性质得AA'=BB'=12.
14．【答案】（1）解：原式＝3﹣4+1+2
＝2
（2）解：解不等式①得x＞2.5，
解不等式②得x≤4，
所以不等式组的解集为2.5＜x≤4．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)根据实数混合运算的法则进行计算即可求解.
（2）根据不等式组的解法进行求解即可.
15．【答案】（1）12；36
（2）解：由（1）知：m＝12，
n＝40﹣4﹣12﹣16﹣4＝4，
补全的条形统计图如右图所示；
2400×＝240（名），
答：估计全校约有240名学生意愿参加回收材料社团；
（3）解：树状图如下所示：
由上可得，一共有25种等可能性，其中选择环保类同一社团项目的可能性有5种，
∴选择环保类同一社团项目的概率为
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1) m=40×30%=12，
扇形统计图中D ( 回收材料)部分的百分率为：1-10%-30%-40%-10%=10%，
∴其扇形的圆心角等于：360°×10%=36°.
故答案为：12，36.
【分析】(1)根据扇形统计图中的B（绿植养护）的百分率，可以计算出m的值，然后再计算出扇形统计图中D (回收材料)部分的百分率，再乘以360°即可求出扇形的圆心角.
(2)根据(1)中m的值，然后再计算出n的值，根据这两个值可将条形统计图补充完整，然后再计算出回收材料社团占样本总体的比例，再乘以全校学生人数即可求解.
(3)根据题意，先画出树状图，根据树状图求出相应的概率即可.
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG＝CD，FG∥CD．HE＝CD，HE∥CD．
∴FG＝EH，FG∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：当AB＝CD时，EF⊥GH，
理由：由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
当AB＝CD时，EG＝EH，
∴四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据三角形的中位线定理可得 FG＝EH，FG∥EH， 从而可以证得四边形EGFH的一组对边平行且相等，即可证得.
(2)根据一组邻边相等的四边形EGFH是菱形，根据菱形性质定理即可得到结论.
17．【答案】（1）解：将点（，3）代入解析式y＝kx+4得，
3＝k+4，解得k＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+4，
∵一次函数图象是一条直线，且过点（0，4）（1，2）图象如下：
（2）解：令x＝0时，y＝4，
令y＝0时，x＝2，
∴A（2，0）、B（0，4），即OA＝2，OB＝4，
∴S△AOB＝＝4
（3）解：当y＝﹣2时，x＝3，
当y＝4时，x＝0，
∴当﹣2≤y＜4时，自变量x的取值范围0＜x≤3．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)根据待定系数法把 点（，3）代入解析式y＝kx+4求得一次函数的解析式，根据一次函数图象的画法即可画出图象.
（2）根据解析式求出A、B的坐标，根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积.
（3） 求出当y＝-2时，x＝3，当y＝4时，x＝0，从而可得x取值范围.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得∠C=∠ADE=90°，再由同角的余角相等证∠AED=∠DFC，从而可得解.
(2)首先由HL证得Rt△ADE≌Rt△DCF，得DE=CF，再由SAS证△DCF≌△DCH，得∠DFC=∠H，然后由平行线的性质得∠ADF=∠DFC，从而得出结论.
(3)延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，由SAS证得△ADE≌△DCG ，得∠DGC=∠AED=60°，AE=DG，接着证明△DFG是等边三角形，得FG=DF=11，即可求解.
19．【答案】8
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，
∵m2+2m﹣5=0
∴m2=5﹣2m
m2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8
故答案为：8．
【分析】此题利用一元二次方程根与系数的关系，求出mn，m+n的值，由于所求代数式中含有m2，再将x=m代入方程，求出m2的值，再整体代入所求代数式，即可求得结果。
20．【答案】32
【知识点】正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
同理==2，
==2，
……
∴，
当n=11时，，
故答案为：32.
【分析】由正方形的性质可得，同理计算、，从而可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式.
21．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由新定义运算化为，
，
，
∴
检验：是方程的根.
故答案为： .
【分析】根据新定义运算把原方程化为，接着解方程即可求解.
22．【答案】
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形AECF是菱形，
∴OA=OC，
∵折叠，
∴BC=OC=OA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，BC=，
∴∠BAC=30°，
∴BC=，
∵AB=6，
∴BC= .
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质和折叠得BC=OC=OA，从而在Rt△ABC中，BC=，得∠BAC=30°，根据含30°角的直角三角形的三边关系即可求解.
23．【答案】①②③
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAB＝45°，AD=AB，
∴，
∵旋转角α＝2∠ADB，
∴∠BDB′=α=2∠ADB=135°，
∵∠CDB′=∠ADB=67.5°，
∴∠ADC=360°-∠BDB′-∠CDB′-∠ADB=90°，
∴③正确，
∵DA=DC，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∵∠CDB′=∠DAB=45°，
∴∠ACB′=∠CAB=90°，
∴AB∥CB′，
∵AB=CB′，
∴四边形ABB′C是矩形，
∴AC＝BB′，AC⊥AB，
故①②正确，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AC=AD=AB，
故④错误，
∴正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】由旋转的性质和菱形的性质得，从而得旋转角度为α=135°，由此得到△ADC是等腰直角三角形，再由∠CDB′=∠DAB=45°，得到∠ACB′=∠CAB=90°，从而可以证明四边形ABB′C是矩形，即可求解.
24．【答案】（1）解：设该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为x，
根据题意得：10000（1﹣x）2＝8100，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为10%；
（2）解：8100×（1﹣10%）＝7290（元），
∵7290＞7000，
∴按这样的月平均下降率，林叔叔不能在10月份买房子．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】(1)设该楼盘7月到9月期间均价的月平均下降率为x，根据9月份的均价=7月份的均价×(1-7月
到9月期间均价的月平均下降率)2，可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论.
( 2 )利用10月份的均价=9月份的均价×(1-7月到9月期间均价的月平均下降率)，可求出该楼盘10月份的均价，再将其与7000元比较后，即可得出结论.
25．【答案】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC＝ab＝1．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】(1)根据勾系一元二次方程的定义，设a＝3，b＝4，c＝5即可求解.
(2)由 是"勾系一元二次方程”得a2+b2＝c2 ，因为 = 2c2﹣4ab=2（a﹣b）2≥0 ，所以关于x的"勾系一元二次方程”必有实数根.
(3)把x=-1代入方程得a- c+b=0，整理得 a+b＝c ，由四边形ACDE的周长是6，可得 2（a+b）+c＝6，解得c=2，则 a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，变形整理得 ab＝2，从而得到△ABC面积.
26．【答案】（1）10
（2）解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠C＝∠B＝90°，
∵∠CDE＝∠BDA，
∴△DCE∽△DBA，
∴，
∵AB＝12，BD＝15，DC＝5，
∴，
∴EC＝4．
（3）解：∵点D是BC边上的中点，BC＝800米，
∴BD＝CD＝BC＝400米，
在Rt△ABD 中，AB＝300 米，BD＝400 米，
∴AD＝＝50 （米）．
取CD的中点O，连接EO，过点O作OH⊥AD，交AD的延长线于点H，过点E作EG⊥AH于G，如图1．
∵EG≤EO+OH，
∴S△ADE＝AD EG≤AD （EO+OH），
如图2，当E、O、H三点共线时，取等号，此时EG取最大值．
在Rt△DEC中，O是CD的中点，
∴OE＝OD＝DC＝×400＝200（米），
∵∠ADB＝∠ODH，∠ABD＝∠DHO＝90°，
∴△ABD∽△OHD，
∴，
即，
∴OH＝120（米），
∴S△ADE＝AD EG≤AD （EO+OH）＝×500×（200+120）＝80000（平方米）．
故△ADE的面积存在最大值，其最大值为80000平方米．
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵A为动点，且AC=4，
∴点A到BC的距离小于或等于4，
∴当A点到BC的距离最大值为4，
即△ABC的面积最大值为.
故答案为：10.
【分析】(1)根据点到直线的距离垂线段最短得到点A到BC的距离小于或等于4，所以当A点到BC的距离最大值等于4，此时△ABC的面积最大.
(2)根据两角相等证明△DCE∽△DBA，接着由相似三角形的性质得出 ， 即可求解.
(3) 在Rt△ABD 中， 根据勾股定理求出AD的长， 取CD的中点O，连接EO，过点O作OH⊥AD，交AD的延长线于点H，过点E作EG⊥AH于G， 当E、O、H三点共线时，EG取最大值，证明△ABD∽△OHD，由相似三角形的性质得出 ， 从而求出OH的长，即可求解.
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