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(总课时51)§6.4 多边形的内角和与外角和(1)
一.选择题：
1．五边形的内角和是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．600°
解：由多边形的内角和公式当n=5时，五边形内角和为（n﹣2） 180°=（5﹣2） 180°=540°
故选C
2．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
解：设这个多边形的边数为n，由题意得：
（n-2）·180°=1080°，解得：n=8，∴这个多边形为八边形，
故选：C．
3．如图1所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）.
A．140° B．130 C．110° D．70°
解∠AED+∠ADE=180°-70°=110°,
∠1+∠2=∠AEC+∠ADB-2∠AED-2∠ADE=360°-2(∠AED+∠ADE)=360°-220°=140°
4．把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图2所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝（　　）A．18° B．20° C．28° D．30°
解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠E＝∠BAE＝×540°＝108°，
又∵EA＝ED，∴∠EAD＝×（180°﹣108°）＝36°，∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
∵正方形GABF的内角∠BAG＝90°，∴∠DAG＝90°﹣72°＝18°，故选：A．
5．图3.1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360°，图3.2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3.3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080°聪明的同学，请你直接写出二环十边形（ ）
A．1440° B．1800° C．2880° D．3600°
解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；
二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．故选：C．
二.填空题：
6．如图4，，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则的度数为__________．
解如图，和内角和均为，
∴，
又∵四边形的内角和为，∴
∴．
7．如图5，四边形ABCD中，∠A=130°，∠D=100°．∠ABC和∠BCD的平分线交于点O，则∠O=_____度．
解：四边形ABCD中，∠A=130°，∠D=100°，，
∠ABC和∠BCD的平分线交于点O，∠ABO=∠OBC，∠DCO=∠BCO，
；
故答案为115．
8．如图6，中，，若沿图中虚线截去，则______.
解∵
故答案为： ．
9．一个多边形的内角和为1620度，这个多边形的边数是________________
解：设这个多边形的边数为n，由题意可得：（n-2）×180°=1620°，解得n=11．
答：这个多边形的边数为11．故答案为：11．
10．在图7中，含的直角三角板的直角边，分别经过正八边形的两个顶点，则图中___________．
解：如图，∠1+∠2+∠3+∠4=，
∵∠C=90°∴，．
故答案为：．
三.解答题：
11．已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.
（1）当θ=900°时，求出边数n；
（2）小明说，θ能取800°，这种说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由.
解（1）900=(n-2)×180°，整理得n-2=5，解得n=7；
（2）小明的说法不对，理由如下：当θ取800°时，800°=(n-2)×180°，解得
∵n为正整数，∴θ不能取800°.
12．如图8，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．
解：连结AD，如图，在△EFG中，∠E+∠F+∠EGF=180°，
在△ADG中，∠1+∠2+∠AGD=180°，∵∠EGF=∠AGD，∴∠E+∠F=∠1+∠2，
∴∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+∠F，
=∠BAF+∠B+ ∠C +∠CDE+ ∠ 1+ ∠ 2，
=∠BAD+ ∠B+ ∠C +∠CDA，
=360°.
13．如图，已知点P是四边形ABCD的外角∠CDE和外角的平分线的交点．若，，求的度数．
解：因为，，，
所以．
因为，，
所以．
因为点是四边形的外角和外角的平分线的交点，
所以，．所以，
所以．
14．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
⑴若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
⑵若点F是AC的中点，求证：∠CFD=∠B．
解：⑴ ∵∠AFD=155°，∴∠DFC=25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△EDC中，∴∠C=90°﹣25°=65°，
∵AB=BC，∴∠C=∠A=65°，∴∠EDF=360°﹣65°﹣155°﹣90°=50°．
⑵ 连接BF，∵AB=BC，且点F是AC的中点，∴BF⊥AC，，
∴∠CFD+∠BFD=90°，∠CBF+∠BFD=90°，∴∠CFD=∠CBF，∴．
15．已知，，点在边上，点是射线上的 一个动点，将沿折叠，使点落在点处，
（1）如图，若，求的度数；
（2）如图，试探究与的数量关系，并说明理由；
（3）连接，当时，直接写出与的数量关系为 ．
解：（1）如图1中由翻折的性质可知，∠DBE=∠DB′E=80°，
∵∠ADB′=125°，∴∠BDB′=180°-125°=55°，∵∠BEB′+∠BDB′+∠DBE+∠DB′E=360°，∴∠BEB′=360°-55°-80°-80°=145°，∴∠CEB′=180°-145°=35°．
（2）结论：∠ADB′=∠CEB′-20°．理由：如图2中，∵，∴B′=CBD=180°-80°=100°，
∵∠ADB′+∠BEB′=360°-2×100°=160°，∴∠ADB′=160°-∠BEB′，
∵∠BEB′=180°-∠CEB′，∴∠ADB′=∠CEB′-20°．
（3）如图1-1中，当点D线段AB上时，结论：∠CB′E+80°=∠ADB′
理由：连接CB′．∵CB′//AB，∴∠ADB′=∠CB′D，
由翻折可知，∠B=∠DB′E=80°，∴∠CB′E+80°=∠CB′D=∠ADB′．
如图2-1中，当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB′E+∠ADB′=80°．
由：连接CB′．∵CB′//AD，∴∠ADB′+∠DB′C=180°，
∵∠ABC=80°，∴∠DBE=∠DB′E=100°，∴∠CB′E+100°+∠ADB′=180°，∴∠CB′E+∠ADB′=80°．
综上所述，∠CB'E与∠ADB'的数量关系为∠CB′E+80°=∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′=80°．
故答案为：∠CB′E+80°=∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′=80°．
图2
图1
图3.1
图3.2
图3.3
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(总课时51)§6.4 多边形的内角和与外角和(1)
【学习目标】掌握多边形内角和定理，并会应用解决问题．
【学习重难点】多边形内角和定理的应用.
【导学过程】
一.知识回顾
1.三角形的三个内角的和等于_____.
2.正方形、长方形的内角和等于_____,对于一般的四边形它的内角和是_____.
3.多边形与三角形的关系
四边形可以被从同一顶点出发的对角线分成_____个三角形
五边形可以被从同一顶点出发的对角线分成_____个三角形
六边形可以被从同一顶点出发的对角线分成_____个三角形
..........
n边形可以被从同一顶点出发的对角线分成__________个三角形
二.探究新知
（一）探索多边形的内角和
提出问题：三角形的内角和是_____，根据三角形的内角和，你能否求出五边形的内角和呢？
方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的内角和为：___×180 =_____
方法2：如图2，在AB上任取点F，连FC、FD、FE，则五边形的内角和为：___×180-180 =____
方法3：如图3，在五边形外任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：__×180 -180 =____°
方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：__×180 -360 =____°
归纳：可把求多边形的内角和转化为求____________________.
定理：n边形的内角和等于_______________.
（二）探索正多边形每个内角的度数
正三角形（等边三角形）的内角和等于____度；每个内角等于____度；计算：__________
正四边形（正方形）的内角和等于360度；每个内角等于90度；计算：__________
正五边形____________、正六边形___________、正n边形__________.
（三）议一议
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？
三.典例与练习
例1.已知四边形ABCD，∠A+∠C=180°，求∠B+∠D
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=_____×180 =_____∴∠B+∠D=_____-（∠A+∠C）=_____-180°=_____
练习1.一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加_____度
例2.有两个多边形，边数之比为3﹕4，内角和之比为1﹕2，求这两个多边形的边数.
练习2.小明求出一个正多边形的一个内角为145°，他的计算正确吗？如果正确，求出这样正多边形的边数；如果不正确，请你什么理由。
四.课堂小结
1.多边形内角和定理：n边形的内角和等于__________.2.利用多边形内角和定理解决简单的问题.
3.正多边形的的内角为_______________
五.分层过关
1.若一个多边形的每个内角都为120°，则这个多边形的边数是（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
2.一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
3.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
4.一个多边形每个内角的度数是150°，则这个多边形的边数是_____
5.一个多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形是_____边形.
6.一个多边形，除了一个内角，其余内角的和为1370°，则这个内角的度数为_____.
这个多边形是_____边形
7.一个多边形的内角和比四边形内角和的3倍多180°，这个多边形的边数.
8.如图，在四边形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，且∠1与∠2互余，∠A与∠C有怎样的数量关系？为什么？
9.如图①所示，在三角形纸片ABC中，∠C=70°，∠B=65°，将纸片的一角折叠，使点A落在△ABC内的点A’处.（1）若∠1=40°，∠2=_____.
（2）如图①，若各个角度不确定，直接写出∠1，∠2，∠A之间的数量关系_______________
②当点A落在四边形BCDE外部时（如图②），∠A，∠1，∠2之间存在的关系是：__________.
(3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_____.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
五边形时内角和是：_____
四边形时内角和是：_____
三角形时内角和是：_____
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(总课时51)§6.4 多边形的内角和与外角和(1)
一.选择题：
1．五边形的内角和是（　　）A．180° B．360° C．540° D．600°
2．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
3．如图1所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）.
A．140° B．130 C．110° D．70°
4．把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图2所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝（　　）A．18° B．20° C．28° D．30°
5．图3.1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360°，图3.2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3.3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080°聪明的同学，请你直接写出二环十边形（ ）
A．1440° B．1800° C．2880° D．3600°
二.填空题：
6．如图4，，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则的度数为__________．
7．如图5，四边形ABCD中，∠A=130°，∠D=100°，∠ABC和∠BCD的平分线交于点O，则∠O=_____度．
8．如图6，△ABC中，∠C=75，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=______.
9．一个多边形的内角和为1620度，这个多边形的边数是________________
10.在图7中,含30°的直角三角板的直角边AC,BC分别经过正八边形的两个顶点,则图中∠1+∠2=____．
三.解答题：
11．已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.（1）当θ=900°时，求出边数n；
（2）小明说，θ能取800°，这种说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由.
12．如图8，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．
13．如图9，已知点P是四边形ABCD的外角∠CDE和外角∠DCF的平分线的交点．若∠A=149°，∠B=91°，求∠P的度数．
14．如图10，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
⑴若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
⑵若点F是AC的中点，求证：∠CFD=∠B．
图2
图1
图3.1
图3.2
图3.3
图6
图4
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图7
图8
图9
图10
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(总课时51)§6.4 多边形的内角和与外角和(1)
【学习目标】掌握多边形内角和定理，并会应用解决问题．
【学习重难点】多边形内角和定理的应用.
【导学过程】
一.知识回顾
1.三角形的三个内角的和等于180°
2.正方形、长方形的内角和等于360°,对于一般的四边形它的内角和是360°.
3.多边形与三角形的关系
四边形可以被从同一顶点出发的对角线分成2个三角形
五边形可以被从同一顶点出发的对角线分成3个三角形
六边形可以被从同一顶点出发的对角线分成4个三角形
..........
n边形可以被从同一顶点出发的对角线分成(n-2)个三角形
二.探究新知
（一）探索多边形的内角和
提出问题：三角形的内角和是180 ，根据三角形的内角和，你能否求出五边形的内角和呢？
方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的内角和为：3×180 =540
方法2：如图2，在AB上任取点F，连FC、FD、FE，则五边形的内角和为：4×180-180 =540
方法3：如图3，在五边形外任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：4×180 -180 =540°
方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：5×180 -360 =540°
归纳：可把求多边形的内角和转化为求多个三角形的内角和.
定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°
（二）探索正多边形每个内角的度数
正三角形（等边三角形）的内角和等于180度；每个内角等于60度；计算：
正四边形（正方形）的内角和等于360度；每个内角等于90度；计算：
正五边形、正六边形···正n边形
（三）议一议
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？
三.典例与练习
例1.已知四边形ABCD，∠A+∠C=180°，求∠B+∠D
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180 =360°∴∠B+∠D=360 -（∠A+∠C）=360 -180°=180
练习1.一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加180度
例2.有两个多边形，边数之比为3﹕4，内角和之比为1﹕2，求这两个多边形的边数.
解：设两个多边形边数分别为3n、4n，根据题意得：
180（3n-2）﹕180（4n-2）=1﹕2
解得n=1，所以两个多边形的边数为3和4.
练习2.小明求出一个正多边形的一个内角为145°，他的计算正确吗？如果正确，求出这样正多边形的边数；如果不正确，请你什么理由。
解：不正确.
设这个正多边形的边数为n,由公式得：=145°，解得：n=不是整数，
∴小明的计算不正确.
四.课堂小结
1.多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°.2.利用多边形内角和定理解决简单的问题.
3.正多边形的的内角为
五.分层过关
1.若一个多边形的每个内角都为120°，则这个多边形的边数是（ D ）
A.9 B.8 C.7 D.6
2.一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ B ）
A.9 B.8 C.7 D.6
3.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（D）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
4.一个多边形每个内角的度数是150°，则这个多边形的边数是12
5.一个多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形是10边形.
6.一个多边形，除了一个内角，其余内角的和为1370°，则这个内角的度数为70°，
这个多边形是10边形
7.一个多边形的内角和比四边形内角和的3倍多180°，这个多边形的边数.
解：（n-2）×180 =3×360 +180 ,解得：n=9
8.如图，在四边形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，且∠1与∠2互余，∠A与∠C有怎样的数量关系？为什么？
解：∠A+∠C=180°，理由如下：
∵DF、BE分别平分∠ADC和∠ABC∴∠ADC=2∠1，∠ABC=2∠2
又∠1+∠2=90°∴∠ADC+∠ABC=180°
∴∠A+∠C=360°-∠ADC-∠ABC=180°
9.如图①所示，在三角形纸片ABC中，∠C=70°，∠B=65°，将纸片的一角折叠，使点A落在△ABC内的点A’处.（1）若∠1=40°，∠2=50°.
（2）如图①，若各个角度不确定，直接写出∠1，∠2，∠A之间的数量关系∠1+∠2=2∠A.
②当点A落在四边形BCDE外部时（如图②），∠A，∠1，∠2之间存在的关系是：∠2=2∠A+∠1.
(3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.
解：（1）∵，，∴∠A′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，
∴∠A′ED+∠A′DE =180°-∠A′=135°，
∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE）=360°-310°=50°；
（2）①,理由如下
由折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，
∵∠AEB+∠ADC=360°，
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED，
∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED）=2∠A；
②，理由如下：
∵是的一个外角
∴.
∵是的一个外角
∴
又∵∴
（3）如图
由题意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=(∠1+∠2)+(∠3+∠4)+(∠5+∠6)=2∠B+2∠A+2∠C=2(∠A+∠B+∠C)=360°
n-3
3
2
n-2
4
3
（n-2）×180
4×180 =720
3×180 =540
2×180 =360
2
1
180°
无
无
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
五边形时内角和是：540
四边形时内角和是：360
三角形时内角和是：180
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