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专题03 复数（重点+难点）
一、单选题
1．（22-23高一下·新疆喀什·期中）复数，其中为虚数单位，则（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】
根据复数的模的公式计算即得.
【解析】因，则.
故选：C.
2．（2018·江西·一模）若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.
【解析】若，则为纯虚数；
若为纯虚数，，则有，解得.
所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件.
故选：C
3．（2024·青海·一模）已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
先根据求出或，再结合z在复平面内对应的点位于第二象限排除即可.
【解析】由题意，得，得或，
因z在复平面内对应的点位于第二象限，所以，故，故，
故选：A
4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知是关于的方程的一个根，则实数（ ）
A．12 B．25 C．38 D．51
【答案】C
【分析】根据题意是方程的另一个根，由韦达定理求出答案.
【解析】由题意得是关于的方程的另一个根，
由韦达定理得，，
解得，故.
故选：C
5．（2024高一下·全国·专题练习）复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由复数的三角形式定义以及诱导公式即可求解.
【解析】.
故选：D.
6．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知复数，则在复平面内对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【解析】
由复数的运算法则，可得，所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为.
故选：A.
7．（23-24高一下·山东·阶段练习）若复数，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用复数模的意义，建立不等式并求解即得.
【解析】依题意，复数，而，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
8．（20-21高一下·上海宝山·期末）设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合，再把选项中的值分别代入计算得到集合，一一判断即可求解.
【解析】由，得，
即，故，0，1，2，4，5，
因此集合.
当时，同理得，
此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，
同理可知，时，也不满足题意，故ACD错；
当时，得：
，
当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确.
故选B.
二、多选题
9．（2024·辽宁·一模）已知满足，则（ ）
A．
B．复平面内对应的点在第一象限
C．
D．的实部与虚部之积为
【答案】ACD
【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，求出复数，逐一判断各选项是否正确.
【解析】设，
则由已知得，即，
所以解得
所以，则，故A项正确，B项错误；
，的实部为，虚部为1，
所以的实部与虚部之积为，故C，D项正确.
故选：ACD
10．（23-24高三上·湖北宜昌·期中）设是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【分析】根据举例说明即可判断ABD；设，结合复数的模和乘法运算即可判断C.
【解析】A：若，则互为共轭复数，故，故A正确；
B：若，则，而，故B错误；
C：设，
若，则，即，
又，
故，故C正确；
D：若，则，而，故D错误．
故选：AC
11．（22-23高一下·河南郑州·期中）设复数（）（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．“”的充要条件是“”
B．若，则的最大值为3
C．若，，则
D．方程在复数集中有6个解
【答案】ABD
【分析】对于A，由复数与共轭复数的概念即可判定；对于B，由复数的几何意义即可判断；对于C，由复数的乘方计算即可；对于D，由复数的运算计算即可.
【解析】对于A，若是实数，则，显然，
若，则显然是实数，故A正确；
对于B，由复数的几何意义可知在复平面中以原点为圆心的单位圆上，即该圆上一点到的距离，如图所示，显然最大值为3，故B正确；

对于C，由复数的乘方可知此时，故C错误；
对于D，，
若，
若或，即或或或或或共六组解，故D正确.
故选：ABD
12．（20-21高二下·江苏南京·期中）已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则且
B．方程可能有两个实数根
C．时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根，则或
【答案】ACD
【分析】将方程进行等价变形为，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当且时，有纯虚根判断C.
【解析】解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有，则有，，即且，故A正确；
B选项：方程可变形为：，
即，则，只有一解，故B错误；
C选项：当且时，方程为，是该方程的一个纯虚根，故C正确；
D选项：若方程存在实数根，则，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正确
故选：ACD
三、填空题
13．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）写出一个同时满足①；②的复数 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】
设，根据条件化简可得的取值范围，即可得解.
【解析】设，
因为，
所以，则，
又因为，
所以，解得或
即只需满足或，复数都满足条件①②.
故答案为：（答案不唯一）
14．（23-24高三上·天津·期中）已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 .
【答案】
【分析】
l利用纯虚数的概念可求的值，再结合复数除法运算可求复数的值.
【解析】因为复数为纯虚数，可得，所以.
故答案为: .
15．（23-24高三上·上海虹口·期中）设复数（i为虚数单位）且，若，则 ．
【答案】
【分析】
由诱导公式、复数模的求法列方程求得，结合角的范围可得，再应用倍角正切公式求值即可.
【解析】由题设，则，
所以，又，则，，
所以，则.
故答案为：
16．（22-23高二下·广东汕头·期中）被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到 （用含有的式子表示）
【答案】
【分析】根据已知可推得，根据二项式定理展开，结合复数相等的条件以及，整理即可得出答案.
【解析】由题意可知，.
根据二项式定理展开可得，
.
根据复数相等的条件可知，.
因为，
所以.
故答案为： .
【点睛】关键点睛：根据已知可推得.
四、解答题
17．（22-23高一下·江苏连云港·期中）若复数，当实数m为何值时
(1)z是实数；
(2)z对应的点在第二象限．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据已知条件，结合复数的分类，即可求解；
（2）根据复数的几何意义，即可列不等式求解．
【解析】（1）因为，是实数，
则，解得或；
（2）若对应的点在第二象限，
则，解得，
即的取值范围为．
18．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知复数满足（是虚数单位）.
(1)求；
(2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据复数的除法计算法则和模的运算公式求解即可；
（2）根据复数乘法计算法则和在复平面对应点的特征求解即可.
【解析】（1）由，
得，所以
（2）因为，
所以
，
因为该复数在复平面内对应的点在第三象限，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
19．（22-23高一下·山东泰安·期中）已知复数，其中.
(1)当时，表示实数；当时，表示纯虚数.求的值.
(2)复数的长度记作，求的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】
（1）由题意可得，，且，从而可求出，然后利用两角差的正切公式可求得结果，
（2）由题意可得，化简后利用正弦函数的性质可求得其最大值.
【解析】（1）因为当时，表示实数，所以，
所以.
又因为当时表示纯虚数，所以，且
所以.
从而.
（2）因为
.
当时，，则取得最大值，
此时的最大值为.
20．（9-10高二下·辽宁·阶段练习）已知关于的方程有实数根.
(1)求实数的值；
(2)若复数满足，求当为何值时，有最小值，并求出的最小值.
【答案】(1)
(2)当时，有最小值为
【分析】
（1）根据复数相等的条件列式可求出结果；
（2）设，代入可得复数对应的点的轨迹是圆，根据复数的模的几何意义可求出结果.
【解析】（1）因为是方程的实数根，
所以，即，
所以，解得，
（2）
设，由，得，
得，整理得，
所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，

当复数对应的点在的延长线上时，取最小值，
因为，圆的半径，所以的最小值为.
此时复数对应的点与关于原点对称，则.
21．（21-22高一下·上海闵行·期末）已知为虚数，若，且.
(1)求的实部的取值范围；
(2)设，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设复数，根据复数的四则运算化简可得，进而可得的取值范围；
（2）根据复数的四则运算，结合基本不等式可得最小值.
【解析】（1）设，
则，
又，则，
所以，
所以，即，
解得；
（2），
由（1）得，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，
即的最小值为.
22．（22-23高一下·辽宁锦州·期末）已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且.
(1)若为纯虚数，求；
(2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值.
【答案】(1)或
(2)①存在，；②，最大值为2
【分析】
（1）计算，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合可求出的值，从而可求出求；
（2）①方法一：由题意可得，然后解关于的方程组可得结果，方法二：设则，再由题意得，从而可求得结果，
②设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为则，化简后再利用可求得其最大值.
【解析】（1）因为复数，
所以，
而为纯虚数，因此，即.
又因为，且，所以，
由，解得或，
所以或.
（2）①存在，理由如下：
法一：由题意知：，得，
解得或 ，
因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以；
法二：设是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则，
所以即，
所以，所以 ，
且时，满足.
所以.
②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线，
所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为
则且，
因此的面积，
，
设，则，
当且仅当且，即或时等号成立，
所以，其最大值为2.
【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查复数的有关概念的应用，考查复数的几何意义的综合应用，解题的关键是对复数的几何意义的正确理解，考查数学计算能力，属于较难题.
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果.
【解析】设，
则，
由题意可得：
可得关于的方程的根为，
故，
整理得，
即，
令，可得，
且2022为偶数，所以.
故选：B.
2．（21-22高一下·浙江·期中）已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】B
【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值.
【解析】根据题意，得，
当，，时，，此时，
所以.
故选：B.
3．（20-21高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知复数满足且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据条件求得复数，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值.
【解析】设，
，即，
，解得：
，
当时，
，
则
，
当时，
则
，
故选：D
4．（23-24高二上·上海·期末）设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（ ）
A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根
B．可能方程有四个实数根的解
C．可能有两个实数根，两个纯虚数根
D．可能方程没有纯虚数根的解
【答案】A
【分析】
根据给定条件，设，再利用方程根的意义结合复数相等，推理计算判断作答.
【解析】，，关于的方程有纯虚数根，设纯虚数根为，
则有，即，即有，，，
方程化为，方程有两个纯虚数根为，
方程化为：，
整理得，于是得或，
因此方程有两个纯虚数根，
而方程中，，
因此方程无实数根，有两个虚数根，不是纯虚数根，
所以选项A正确，选项B，C，D均不正确.
故选：A
【点睛】思路点睛：复数问题，常设出复数的代数形式，再利用复数及相关运算，探讨关系式求解.
5．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】设从而可得即对应平面内距离为的点，从而利用数学结合求解即可.
【解析】设
,,
即
化为
故对应平面内距离为的点，如下图中,

,
与对应点的距离为或
构成了点共个点，
故的最大值为
故选：
【点睛】方法点睛：(1)本题是复数的综合应用，考查的主要是复数的模的几何意义的应用．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，利用复数的模的几何意义进行求解．
二、多选题
6．（17-18高三·北京·强基计划）设x，y，z，w是复数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【分析】
根据共轭复数及其运算性质，结合已知关系，可判断各项的正误.
【解析】
由
又，则，
所以，A正确；
由，
，B正确；
由，即，故，又，
则，即，
所以，同理得，C、D正确；
故选：ABCD
7．（2022·福建莆田·模拟预测）意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程中的用来替换，得到方程；
第二步，利用公式将因式分解；
第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）；
第四步，写出方程的根：，，.
某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项.
【解析】
依题意可知是次项系数，所以，A选项正确.
第一步，把方程中的，用来替换，
得，
第二步，对比与，
可得，解得，B选项正确.
所以，C选项正确.
，D选项错误.
故选：ABC
三、填空题
8．（21-22高一下·浙江宁波·期末）设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为 .
【答案】
【分析】设，由得，进而求得，，即可求得.
【解析】设，由可得，
即，整理得，
即，
则；又复数对应的向量为，
则，，
则，
，
则，则，则.
故答案为：.
9．（21-22高一下·上海虹口·期末）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题.
【解析】解：因为复数对应的点为
且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上
又，所以为圆的直径，即关于原点对称
所以
因为
所以
又，，
则
所以
即的最大值为，所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
10．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点．
(1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标；
(2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由；
(3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．
【答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析
【分析】
（1）根据题中的新定义求解即可；
（2）由题意可得，进而由条件得出关于的方程组，求解即可；
（3）满足条件的一个有序实数对为，即，，结合复数模的求法及复数的运算证明即可.
【解析】（1）由知，则，故；
设，则，
由知，则，即.
（2）直线l上的任意一点“对应”到点，
，且，
，即，
由题意，点仍在直线上，则，又，
则，
展开整理得，
则，解得，
所以，所求的有序实数对为.
（3）满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下：
设，则，，
∵，∴，
，即，满足条件①；
设，且，即，得，
由得，
则
，
则，满足条件②，
综上，满足条件的一个有序实数对为.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
11．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.

(1)设复数，，求、的三角形式；
(2)设复数，，其中，求；
(3)在中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②，，.
注意：使用复数以外的方法证明不给分.
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】
（1）直接利用复数的乘除法计算即可；
（2）设，的模为，的模为，，通过题意可得，发现，从而无意义，再根据角的范围求解即可；
（3）建立平面直角坐标系，根据，利用复数的向量表示，以及复数的定义列式计算即可.
【解析】（1）
,
；
（2）设，的模为，的模为，，
对于有，，
对于有，，
所以，
所以，
，
所以无意义，即的角的终边在轴上，
又，
所以，
即
（3）
如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，则，
所以，
即，
即
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得，
所以，，
同理，，
，，
所以，，，.

【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.专题03 复数（重点+难点）
一、单选题
1．（22-23高一下·新疆喀什·期中）复数，其中为虚数单位，则（ ）
A． B．2 C． D．5
2．（2018·江西·一模）若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·青海·一模）已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知是关于的方程的一个根，则实数（ ）
A．12 B．25 C．38 D．51
5．（2024高一下·全国·专题练习）复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知复数，则在复平面内对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·山东·阶段练习）若复数，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（20-21高一下·上海宝山·期末）设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、多选题
9．（2024·辽宁·一模）已知满足，则（ ）
A．
B．复平面内对应的点在第一象限
C．
D．的实部与虚部之积为
10．（23-24高三上·湖北宜昌·期中）设是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（22-23高一下·河南郑州·期中）设复数（）（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．“”的充要条件是“”
B．若，则的最大值为3
C．若，，则
D．方程在复数集中有6个解
12．（20-21高二下·江苏南京·期中）已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则且
B．方程可能有两个实数根
C．时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根，则或
三、填空题
13．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）写出一个同时满足①；②的复数 .
14．（23-24高三上·天津·期中）已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 .
15．（23-24高三上·上海虹口·期中）设复数（i为虚数单位）且，若，则 ．
16．（22-23高二下·广东汕头·期中）被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到 （用含有的式子表示）
四、解答题
17．（22-23高一下·江苏连云港·期中）若复数，当实数m为何值时
(1)z是实数；
(2)z对应的点在第二象限．
18．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知复数满足（是虚数单位）.
(1)求；
(2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
19．（22-23高一下·山东泰安·期中）已知复数，其中.
(1)当时，表示实数；当时，表示纯虚数.求的值.
(2)复数的长度记作，求的最大值.
20．（9-10高二下·辽宁·阶段练习）已知关于的方程有实数根.
(1)求实数的值；
(2)若复数满足，求当为何值时，有最小值，并求出的最小值.
21．（21-22高一下·上海闵行·期末）已知为虚数，若，且.
(1)求的实部的取值范围；
(2)设，求的最小值.
22．（22-23高一下·辽宁锦州·期末）已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且.
(1)若为纯虚数，求；
(2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值.
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
2．（21-22高一下·浙江·期中）已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．1
3．（20-21高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知复数满足且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·上海·期末）设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（ ）
A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根
B．可能方程有四个实数根的解
C．可能有两个实数根，两个纯虚数根
D．可能方程没有纯虚数根的解
5．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
6．（17-18高三·北京·强基计划）设x，y，z，w是复数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·福建莆田·模拟预测）意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程中的用来替换，得到方程；
第二步，利用公式将因式分解；
第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）；
第四步，写出方程的根：，，.
某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．（21-22高一下·浙江宁波·期末）设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为 .
9．（21-22高一下·上海虹口·期末）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 .
四、解答题
10．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点．
(1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标；
(2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由；
(3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．
11．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.

(1)设复数，，求、的三角形式；
(2)设复数，，其中，求；
(3)在中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②，，.
注意：使用复数以外的方法证明不给分.

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